普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国I卷解析版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国I卷解析版
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x:
:
1/,B=、x3:
:
:
V,则()
A.AnB^xx:
:
。
,B.Al」B二R
C.AUB=:
xx.1』D.
【答案】A
【解析】A=\xx:
:
:
1f,B-lx3x:
:
:
仁-〔xx:
:
:
0?
•••A"BJ.xx<0?
AUB」.xx:
:
1?
选A
2.
如图,正方形abcd内的图形来自中国古代的太极图•正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方
形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()
n
则此点取自黑色部分的概率为2=n
4一8
故选B
3.设有下面四个命题()
1
P1:
若复数z满足R,则zR;
z
P2:
若复数z满足z2•R,则zR;
P3:
若复数z,,Z2满足WZ2•R,则z1=z2;
P4:
若复数zR,则z■R.
A.P1,P3B.P1,P4C.P2,P3D.P2,P4
【答案】B
11a-bi_
【解析】P1:
设z=a+bi,则一=〒77=2齐2匸R,得到b=0,所以R•故R正确;
za〒biaTb
P2:
若z2=-1,满足z2•R,而z=i,不满足z2•R,故P2不正确;
P3:
若Zi=1,Z2=2,则乙Z2=2,满足Z1Z2R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故P3不正
确;
P4:
实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故P4正确;
4.记Sn为等差数列的前n项和,若a4=24,=48,则/的公差为()
D.8
A.1B.2
【答案】C
【解析】a4a5=a13da14d=24c6x5
£二6a〔d=48
12
(2ai+7d=24①
联立求得1-
阳+15d=48②
①3-②得21-15d=24
6d=24
d=4
选C
5.函数fx在」:
,•:
:
单调递减,且为奇函数.若f1]=-1,则满足-Kfx-2<1的x的取值范围是()
A.1-2,2丨B.1-1,11C.0,4]D.1,3丨
【答案】D
【解析】因为fx为奇函数,所以f-1二-f1=1,
于是-1 又fx在-: : 亠「1单调递减 .-1 .1 故选D 16 6.1*孑1*x展开式中x2的系数为 A.15B.20C.30D.35 【答案】C. i16616 【解析】・1+-TJ+x)=1叮+x)f1+x) IX丿x 6^5 对1x6的x2项系数为c6=——=15 f2 16 对-T^+x)的x2项系数为c6=15, x 二x2的系数为1575=30 故选C 7. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为 【答案】B 【解析】由三视图可画出立体图 该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 S弟42-2=6 S全梯=62=12 故选B A. A1000和n=n■1 B. A-1000和n=n2 C. Aw1000和n=n■1 D. A<1000和n=n2 【答案】 D 【答案】 因为要求A大于1000时输出,且框图中在 否”时输出 ”中不能输入A1000 排除A、B 又要求n为偶数,且n初始值为0, 故选D ”中n依次加2可保证其为偶 得到曲线C2 得到曲线C2 得到曲线C2 得到曲线C2 {2“ 【解析】G: y=cosx,C2: y=sin]2x= 【答案】D 2n 3丿 首先曲线G、C2统一为一三角函数名,可将C1: y=cosx用诱导公式处理. 2n 2xsin2x亠 I3丿I3丿 >y=sin nn 注意「的系数,在右平移需将,=2提到括号外面,这时XI平移至x3, 菽,即再向左平移$ 根据“左加右减”原则,“x;”到“x;”需加上 2 10.已知F为抛物线C: y=4x的交点,过F作两条互相垂直线12与C交于D, A. 【答案】 【解析】 16 A E两点,ab|-|de的最小值为() B.14 C.12 AK2垂直x轴 l1,I2,直线h与C交于 D.10 A、B两点,直 AFcost-GF||AK1(几何关系)易知AK1! AF(抛物线特性) P GP=PI- 「2I2丿 .AFcosvP=AF P 同理AF二 1—cos8 ..2P.AB和「os=z 1-cosu ,BFJ 2P sin2t1 又DE与AB垂直, n 即DE的倾斜角为一-二 2 DE三—sin2;+9 2 而y=4x,即P=2. 2P cos2r •••ABDE=2P研 sin2cos4 °°sin2cos2t1 cosrsin2vcos? 二 4 -sin22r 4 AO -2>16,当r取等号 sin24 即AB|-|DE最小值为16,故选A 11.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则() 2x<3yc5zb.5zc2x<3y D 取对数: A.【答案】【答案】 3y: : 5z: : 2x D.3yc2xc5z xln2=yIn3=1n5. xln3 yln2 2x3y xln2=zln5 3 >- 2 则―亜二 zIn22 2x: : : 5z3y: : 2x: : 5z,故选D 12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件, 数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案: 已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是接下来的三项式 和为2的整数幕. 440 为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解 A.【答案】【解析】 A 设首项为第 26,21,22,依次类推,求满足如下条件的最小整数那么该款软件的激活码是( B.330 1组,接下来两项为第2组, 设第n组的项数为n,则n组的项数和为 ) C.220 20,接下来的两项是20,21,在 N: N100且该数列的前N项 D.110 再接下来三项为第3组,以此类推. n1n 由题,N100,令100Tn>14且n・N*,即N出现在第13组之后 12n 第n组的和为匕兰=2n_1 1-2 n n组总共的和为_n=2n一2_n 1—2 若要使前N项和为2的整数幕,贝UN_——项的和2^1应与<「n互为相反数 2 即2k_1=2nkN*,n>14 k=log2n3 tn=29,k=5 “29xf1+29\ 则N5=440 2 故选A 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知向量a,b的夹角为60,a=2,b=1,则a+2b=. 【答案】2.3 片彳2专专2^2呻|呵42212 【解析】a+2b|=(a+2b)2=d+2a2bcos60°+(2b)=2+22X2沃? +2=4+4+4=12•••: 2^=12=23 x2y_1 14.设x,y满足约束条件£2x+yK—1,则z=3x-2y的最小值为. x—y_0 【答案】-5 x2y_1 不等式组2x•y一-1表示的平面区域如图所示 x-y_0 由z=3x-2y得y=3x-Z, 22' 求z的最小值,即求直线y二-|的纵截距的最大值当直线丫二彳乂-兰过图中点A时,纵截距最大 22 J2xy=_1由x2y=1 解得A点坐标为(-1,1),此时z=3(一1)一21=-5 2 x 15.已知双曲线C: 2 a 2 -y2,(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲b 线C的一条渐近线交于M,N两点,若NMAN=60。 ,则C的离心率为. 【答案】U 3 【解析】 16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O,D、E、F为 元O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是一BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开 后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱 【答案】4J5 【解析】由题,连接OD,交BC与点G,由题,OD_BC OG3bc,即OG的长度与BC的长度或成正比 6 设OG=x,贝VBC=2「3x,DG=5_x 三棱锥的高 h=.DG_OG虫25_10xx_x=*25_10x Saabc—233x•-=3、,3x 2 则VABC 3 2. h=3x25_10x=3.25x4_10x5 4553 fx二25x-10x,x三©? ),fx二100x-50x fx0,即x4-2x3: : : 0,X: : : 2 fx 则 则V<、3.80=45 3 三、解答题: 共都必须作答。 第 (一)必考题: 共60分。 70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 17-21题为必考题,每个试题考生 17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知△ABC的面积为 2 a 3sinA (1)求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长. 【解析】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用 a21 (1)•/△ABC面积S=—.且S=—bcsinA 3sinA2 -bcsinA 3sinA2 232 abcsinA 2 3 t由正弦定理得sin2AsinBsinCsin2A 2, 2 由sinA严0得sinBsinC. 3 2 (2)由 (1)得sinBsinC=-cosBcosC 3, •/ABC二n .cosA=cosn—B-C=—cosBC二sinBsinC-cosBcosC* A=60, 由余弦定理得 J31 sinA,cosA=一 22 =b2c2—be=9① 由正弦定理得 =—sinB,c=—asinCsinA'sinA 2 a …bC2. sinA 由①②得b-e=]33 •••a•b•e=3•33,即△ABC周长为333 sinBsinC=8② 18.(12分) 如图, 在四棱锥 /CDP=90 证明: 平面PAB_平面PAD; 若PA=PD二AB二DC,/APD=90,求二面角 (1)证明: •••.BAP=/CDP=90 •PA_AB,PD_CD 又•••ABIICD,.PD_AB 又•••PD门PA=P,PD、PA二平面PAD •AB_平面PAD,又AB二平面PAB •平面PAB_平面PAD (2)取AD中点O,BC中点E,连接PO,OE •/AB二CD •••四边形ABCD为平行四边形 •OE: AB 由 (1)知, (1) (2)【解析】 AB_平面PAD •OE_平面PAD,又PO、AD平面PAD •OE_PO,OE_AD 又•••PA二PD,•PO_AD •PO、OE、AD两两垂直 •••以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O_xyz 设PA=2,•D-2,0,0、B2,2,0、P0,0,2、。 : [一;;2,2,0, PD--.2,0,-2、PB=[®,2,-2、BC--2.2,0,0 n=x,y,z为平面PBC的法向量 ”―( nPB=02x2y-.2z=0 得 nBC=0-2.2x=0 y=1,则z=、、显,x=0,可得平面PBC的一个法向量 •/.APD=90,•PD_PA又知AB_平面PAD,PD二平面PAD •PD_AB,又PA「AB=A •••PD_平面PAB 即PD是平面PAB的一个法向量,PD=(t/2,0,—心2) I彳- cosPD,n PDn__3 PDn2、33 由图知二面角A_PB_C为钝角,所以它的余弦值为__2 3 19.(12分) 为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量 其尺寸(单位: cm)•根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N: ;=,;「2. (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在: ;: 二「3二,匚之外的零件数,求PX>1及X的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在二,」•士之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (I)试说明上述监控生产过程方法的合理性: (II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95 _162'1.■■■16- 经计算得Xi=9.97,s瓦(Xi_x)=」一臣Xi2—16M2*0.212,其中X为抽取的第i个零7¥16y'‘丫16(二丿 件的尺寸,i=1,2,⑴,16. 用样本平均数X作为"的估计值? 用样本标准差s作为二的估计值■: ? 利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除? -3;? ? 3? 之外的数据,用剩下的数据估计’和匚(精确到 0.01). 附: 若随机变量Z服从正态分布N: A,¥,则P: [L「3二: : : Z•;: 」-=0.9974. 0.997416: 0.9592,.0.008: 0.09. 【解析】 (1)由题可知尺寸落在"-3二,=【3二之内的概率为0.9974,落在-3二,J之外的概 率为0.0026. 0016 PX=0i=c061—0.99740.9974160.9592 PX_1]=1-PX=01-0.9592=0.0408 由题可知X~B16,0.0026 .EX严160.0026=0.0416 (2)(i)尺寸落在卩-3二,."3二之外的概率为0.0026, 由正态分布知尺寸落在[丄-3二,二之外为小概率事件, 因此上述监控生产过程的方法合理. (ii) .二「3;丁=9.97-30.212=9.334 J3;「-9.9730.212=10.606 : ;: 二一3二-9.334,10.606 : ‘9.22「-9.334,10.606,需对当天的生产过程检查. 因此剔除9.22 剔除数据之后: 宀15叫10.02. 222222 =[9.95_10.02|-,10.12_10.02|-(9.96-10.029.96_10.02|-,10.0^10.02 22222 9.92—10.029.98-10.02-10.04—10.0210.26-10.029.91-10.02 222221 10.13—10.02]亠|10.02—10.02j亠110.04—10.02j亠门0.05—10.02j「9.95—10.02] 15 : : 0.008 二=0.0080.09 20.(12分) 22( 已知椭圆C: 冷+占=1(a>b>0),四点P(1,1),B(0,1),R—1 — p£0 中恰有三 a2b2( 2丿 I2丿 点在椭圆C上. (1)求C的方程; (2)设直线l不经过巳点且与C相交于A、B两点,若直线&A与直线F2B的斜率的和为-1,证明: 1过定点. 【解析】 (1)根据椭圆对称性,必过F3、P4 又P4横坐标为1,椭圆必不过P1,所以过P2,P3,P4三点 冷代入椭圆方程得 8kb2-8k_8kb28kb 2 1+4k 4b2—4 14k2 =b--2k-1,此时厶--64k,存在k使得=;-0成立. •••直线l的方程为y二kx-2k—1所以I过定点2,一1. 21.(12分) 已知函数fx=ae2xa一2ex-x. (1)讨论fx的单调性; (2)若fx有两个零点,求a的取值范围. 【解析】 (1)由于fx=ae2x亠[a-2ex-x 故fx=2ae2xa-2ex-1二aex-12ex1 1当a冬0时,aex_1: : : 0,2ex10.从而fx: : : 0恒成立.fx在R上单调递减 2当a0时,令fx=0,从而aex一1=0,得x=-Ina. x (—,—Ina) -Ina (—Ina,) f'(x) — 0 + f(x) 单调减 极小值 单调增 综上,当a岂0时,f(x)在R上单调递减; 当a0时,f(x)在(-: : ,-1na)上单调递减,在(-1na,;)上单调递增 (2)由 (1)知, 当a岂0时,fx在R上单调减,故fx在R上至多一个零点,不满足条件. 1 当a0时,fmin=f—Ina=1Ina. a +1 令ga=1Ina. a 111 令ga=1Inaa0,则g'a20.从而ga在0,•二上单调增,而 aaa g1=0.故当0: a.1时,ga: : : 0.当a=1时ga=0.当a1时ga0 1工 若a1,则fmin=1-•Ina=ga0,故fx0恒成立,从而fx无零点,不满足条件. a 1 若a=1,贝yfmin=1Ina=0,故fx=0仅有一个实根x=-Ina=0,不满足条件. a 1aa2 若0: : a: : : 1,则fmin-1Ina<0,注意到Tna0.f^=-10. aeee 『3)1 故fx在-1,-1na上有一个实根,而又In--1In;=Tna. fin(a-i) 个实根. -Ina,In! 3-1上有 IVa丿丿 又fX在na上单调减,在—Ina,•: : 单调增,故fx在R上至多两个实根. C(3H 又fx在: ;-1,-Ina及|Ina,出一1丿J上均至少有一个实数根,故fX在R上恰有两个实 根. 综上,0: : : a<1. (二)选考题: 共10分。 请考生在第22、 22.[选修4-4: 坐标系与参考方程] 23题中任选一题作答。 如果多做, 则按所做的第一题计分。 x=3cosr, 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(v为参数) 』=sin日, ,直线I的参数方程为 4-x=a4t, \(t为参数). y=1-t, (1)若a=—1,求C与I的交点坐标; (2)若C上的点到I距离的最大值为,17,求a. 【解析】 (1)a=_1时,直线I的方程为x,4y-3“. 2 曲线C的标准方程是—y2=1, 9 x亠4y-3=0 联立方程x22,解得: 6y「 x=3 y=0 21 x= 或丿2f, y』 25 ( 则C与I交点坐标是3,0和—,V2525丿 (2)直线I一般式方程是x•4y-4「a=0. 设曲线C上点p3cosv,sinv. 2124 则p到I距离丄论卄響一4^」5sin(日二)-4"|,其中ta^.3. V17J174 依题意得: dmax二17,解得a=T6或a=8 23.[选修4-5: 不等式选讲]已知函数f_-x2ax4,gx=x1x-1. (1)当a=1时,求不等式fx>gx的解集; (2)若不等式fx>gx的解集包含〔-1,11,求a的取值范围. 【解析】 2 (1)当a=1时,fX=_xx4,是开口向下,对称轴 1 x的二次函数. 2 2x,x1gx=x1_1=2,-1 -2x,x: _1 当X.(1,;)时,令_x2x^2x,解得 17-1 x= gx在1,•: : 上单调递增,fx在1,•: : 上单调递减 (J171 •••此时f(x尸g(x)解集为1,*. 当x: =[1,1]时,gX=2,fx>f-1=2.
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