小学数学简便运算和巧算.docx

小学数学简便运算和巧算.docx

《小学数学简便运算和巧算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学数学简便运算和巧算.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

小学数学简便运算和巧算

  小学数学简便运算和巧算

一、数的加减乘除有时可以运用运算定律、性质、或数量间的特殊关系进性较快的运算这就是简便运算。

（1）其方法有：

一：

利用运算定律、性质或法则。

（1）加法：

交换律，a+b=b+a,结合律，（a+b）+c=a+（b+c）.

（2）减法运算性质：

a-（b+c）=a-b-c,a-（b-c）=a-b+c,a-b-c=a-c-b,

         （a+b）-c=a-c+b=b-c+a.

（3）:

乘法：

利用运算定律、性质或法则。

交换律，a×b=b×a,结合律，（a×b）×c=a×（b×c）,

分配率，（a+b）×c=a×c+b×c,（a-b）×c=a×c-b×c.

（4）除法运算性质：

a÷（b×c）=a÷b÷c,a÷（b÷c）=a÷b×c,a÷b÷c=a÷c÷b,

（a+b）÷c=a÷c+b÷c,（a-b）÷c=a÷c-b÷c.

前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。

其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。

后面数值的运算符号不变。

例1:

283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600（运用加法交换律和结合律）。

减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。

例2：

657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。

）

例3：

195-（95+24）=195-95-24=100-24=76（运用减法性质）

例4;150-（100-42）=150-100+42=50+42=92.（同上）

例5：

（0.75+125）×8=0.75×8+125×8=6+1000=1006.（运用乘法分配律））

例6：

（125-0.25）×8=125×8-0.25×8=1000-2=998.（同上）

例7：

（1.125-0.75）÷0.25=1.125÷0.25-0.75÷0.25=4.5-3=1.5。

（运用除法性质）

例8:

（450+81）÷9=450÷9+81÷9=50+9=59.（同上，相当乘法分配律）

例9：

375÷（125÷0.5）=375÷125*0.5=3*0.5=1.5.（运用除法性质）

例10：

4.2÷（0。

6×0.35）=4.2÷0.6÷0.35=7÷0.35=20.（同上）

例11：

12×125×0.25×8=（125×8）×（12×0.25）=1000×3=3000（运用乘法交换律和结合律）

例12:

（175+45+55+27）-75=175-75+（45+55）+27=100+100+27=227（运用加法性质和结合律）

例13：

（48×25×3）÷8=48÷8×25×3=6×25×3=450.（运用除法性质,相当加法性质）

（5）和、差、积、商不变的规律。

1：

和不变：

如果a+b=c,那么，（a+d）+（b-d）=c,

2:

差不变：

如果a-b=c,那么，（a+d）-（b+d）=c,（a-d）-（b-d）=c

3:

积不变：

如果a*b=c,那么,（a*d）*（b÷d）=c,

4:

商不变：

如果a÷b=c,那么，（a*d）÷（b*d）=c,（a÷d）÷（b÷d）=c.

例14：

3.48+0.98=（3.48-0.02）+（0.98+0.02）=3.46+1=4.46（和不变）

例15：

3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579（差不变）

例16：

74.6×6.4+7.46×36=7.46×64+7.46×36=7.46×（64+36）=7.46×100=746.（积不变和分配律）

例17:

12.25÷0.25=（12.25*4）÷（0.25*4）=49÷1=49.（商不变）。

二：

拆数法：

（1）凑整法，19999+1999+198+6=（19999+1）+（1999+1）+（198+2）+2=22202

（2）利用规律，7.5×2.3+1.9×2.5-2.5×0.4=7.5×（0.4+1.9）+1.9×2.5-2.5×0.4

=7.5×0.4+7.5×1.9+1.9×2.5-2.5×0.4=0.4×（7.5-2.5）+1.9×（7.5+2.5）=2+19=21.

2.1992×20052005-2005×19921992=1992×2005×（10000+1）-2005×1992×（10000+1）=0

三：

利用基准数：

2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21=10311

四：

改变顺序，重新组合。

（1）：

（215+357+429+581）-（205+347+419+571）=215+357+429+581-205-347-419-571

=（215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571）=40

（2）：

（378×5×25）×（4×0.8÷3.78）=378×5×25×4×0.8÷3.78=（378÷3.78）×（25×4）x（5×0.8）

=100x100x4=40000，

五：

1：

求等差连续自然数的和。

当加数个数为奇数时，有：

和=中间数x个数。

当加数个数为偶数时，有：

和=（首+尾）x个数的一半。

（1）:

3+6+9+12+15=9*5=45,

（2）:

1+2+3+4+……+10=（1+10）*10÷2=55.

2:

求分数串的和。

因为1/n-1/n+1=1/n（n+1）,1/n+1/n+1=n+（n+1）/[n（n+1）].所以：

（1）：

1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11

=1/6-1/11=5/66

（2）：

5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。

。

。

。

。

。

+41/400-43/460

=（1/2+1/3）-（1/3+1/4）+（1/4+1/5）-（1/5+1/6）+（1/6+1/7）-（1/7+1/8）

。

。

。

。

。

。

+（1/20+1/21）-（1/21+1/22）=1/2-1/22=5/11

3：

变形约分法。

求：

（1.2+2.3+3.4+4.5）÷（12+23+34+45）的值。

因为分母各项是分子各项的10倍。

所以有：

原式=0.1

六：

设数法：

求（1+0.23+0.34）*（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）*（0.23+0.34）

的值。

设a=0.23+0.34.b=0.23+0.34+0.65.原式=（1+a）*b-（1+b）*a

=b+ab-a-ab=b-a=（0.23+0.34+0.65）-（0.23+0.34）=0.65.

（二）：

巧算的方法：

除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目（特别是应用题）中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一般问题转化为特殊问题，以小见大，以少见多，以简驭繁。

从而达到巧算的目的。

一：

利用数的整除特征和某些特殊规律。

特殊问题来求解。

重在一个“巧”。

（1）：

一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被7、11、13整除。

为什麽？

解;六位数abcabc=abc×1000+abc=abc×1001.1001=7×13×11.

六位数abcabc必能被7、11、13整除。

（2）：

六位数865abc能被3、4、5整除，当这个数最小时，a,b,c各是数字几？

解：

因为该数能被4,5整除,b,c必都是零，要使该数能被3整除，它各位数字和应能

被3整除，a只能是2。

所以a,b,c分别是2,0,0。

（3）：

化简：

（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）÷（888888×888888）

=8×8÷（888888×888888）=1÷（111111×111111）=1/12345654321.

（因为：

11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所以。

。

。

。

。

。

）

二：

估算法：

求：

a=1÷（1/1992+1/1993+1/1994+……+1/2003）的整数部分。

解：

用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。

假定除数部分各加数都是1/1992，则a=1÷（12/1992）=166。

若除数部分各加数都是1/2003，则a=1÷（12/2003）=166+11/12

所以它的整数部分是166。

三：

正难则反法。

直接求解困难时，换个角度从反面求解。

（1）：

除了本身，合数7854321的最大因数是多少？

一般想法是将其分解质因数求之，但

这个数很大，做起来很繁琐。

　　巧解：

先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。

因为该数各位数字和能被3

　　整除，所以这个数的最小因数是3，最大因数是：

7854321÷3=261807。

（2）：

某厂人数在90----110之间，做工间操排队时，站3列正好；站5列少2人；站

　　7列少4人，这厂有多少人？

　　　　解：

按所给数值正面求解很难，若换个角度从反面做，把它转化为：

该厂工人站

　　　　3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求这厂人数的问题。

即求比3，5,7的

　　　　最小公倍数多3的数是多少。

【3,5,7】=105，105+3=108人。

这厂有108人。

四：

慎密的逻辑推理：

（1）：

幼儿园的小朋友分饼干，每人分5块，则差27块。

每人分4块，正好分完。

这个

　　幼儿园有多少小朋友？

分了多少饼干？

　　解：

一般用方程法：

设有x个小朋友。

5x-4x=27,x=27.饼干为：

27×4=108块。

　　巧解：

每人分4块，正好分完，每人多分一块（5块）差27块，说明小朋友

　　为：

27÷1=27个，饼干为：

27×4=108块

（2）:

某商店有两个柜台，甲台比乙台的磁带少120盒，各卖出164盒后，乙剩下的是甲

剩下的3倍，求原来两台各有多少盒磁带？

一般用方程法：

设甲剩x台，乙剩3x台.（3x+164）-（x+164）=120,x=60,3x=180.

甲原有：

60+164=224盒，乙原有180+164=344盒。

推理巧解：

因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少120盒，乙是甲的3倍，

这就转化为差倍问题了。

120÷（3-1）=60。

60×3=180.

甲原有：

60+164=224盒，乙原有：

180+164=344盒

（3）:

甲乙两人进行骑车比赛，当甲骑到全程的7/8时，乙骑到全案程6/7，这时两人相

距140米。

如果两人的速度不变，当甲骑到终点时，两人相距多少？

解：

一般方法：

7/8:

6/7=49:

48.140÷（7/8-6/7）=7840，7840:

x=49:

48,x=7680

7840-7680=160米

推理巧解思路：

直接求甲到终点时比乙多走多少米。

甲走7/8时比乙多走140米

甲走1/8时比乙多走140/7=20米。

所以甲走8/8（全程）时，

比乙多走140+20=160米

　　（4）：

求分母为40以内所有自然数的真分数的和。

1/2+（1/3+2/3）+（1/4+2/4+3/4）

　　+（1/5+2/5+3/5+4/5）+。

。

。

。

。

。

+39/40

　　解：

用通分法求和很繁琐。

通过分析数量关系可知，每个加数乘以2，可顺次得到1、2

　　、3、4/。

。

。

。

。

。

39。

所以，（20×39）÷2=390即为所求。

（5）：

一正方形，当竖边减少20%，横边增加2米时，得到的长方形面积与原正方形面积相等，求原正方形面积。

解：

一般思路：

因为正方形面积=边长×边长。

所以应先求边长。

　　.用方程解：

设正方形边长为一个单位长度，则面积为一个单位面积。

长方形的

　　宽为：

1×（1-20%）=80%个单位长度，长为：

一个单位面积÷80%个单位长度=1.25

　　个单位长度，与2米对应的单位长度为：

1.25-1=0.25个单位长度。

所以正方

　　形边长（一个单位长度）=2÷0.25=8米，正方形面积=8x8=64平方米。

很繁琐。

　　巧解思路：

因竖边减少20%，在原图形上减少的面积与后来因横边增加2米，增

　　加的面积相等。

所以设原正方形边长为x米，则：

　　20%x×x=80%x×2x=8米。

正方形面积=8×8=64平方米.

　　（6）：

某班有40名学生，考数学时有2人缺考，这38人平均分数是89，这2名学生

　　补考后，两人的平均成绩比全班40人的平均成绩多9.5分，这两人的平均成绩

　　是多少？

　　解：

一般从求平均数的共识考虑，用方程解：

设这两人的平均成绩为x,则：

　　x-（89*38+2x）÷40=9.5,x=99.

　　推理巧解（抓住平均就是移多补少的实质）。

这两人的平均分数比全班平均分

　　数多9.5分，把9.5×2=19补给38名学生，每人增加0.5分，所以这两人平均

　　分数为：

89+0.5+9.5=99。

五：

注意一般解法的特殊形式：

（1）：

求平均数的一般方法:

公式法，平均数=总数量÷总份数。

但当份数相等时，

　　巧解法：

平均数=（第一份数量+第二份数量+。

。

。

。

。

。

+第n份数量）

　　÷份数。

如：

某人晨练，第一个5分钟的速度是100米/分，第二个5分钟的速度是110米/分，

　　求他这10分钟内的平均速度

　　一般解法：

平均数=（100×5+110×5）÷（5+5）=105米/分

因为“份数”相同，可巧解：

平均数=（100+110）÷2=105米/分。

（2）：

甲（带着一条狗）乙两人同时从相距100千米的两地出发相向而行，甲速度为6千米/小时，乙速为4千米/小时，狗速为10千米/小时，狗碰到乙时就掉头朝甲走来，碰到甲时又朝乙跑去。

。

。

。

。

。

直到甲乙两人相遇。

这狗走了多少米？

解：

若分段求出狗与甲、与乙、与甲、与乙。

。

。

。

。

。

相遇时走的路程，再加起来是很困难的。

一般巧解方法是：

从整体考虑，狗走的时间就是甲乙相遇用的时间，所以狗走的时间

=100÷（4+6）=10小时，狗走的路程=10×10=100千米.

这还不算巧，更巧的方法是：

从题意可知：

甲乙速度和=狗速，并且走的时间相同，所以，甲乙共走的路程就=狗走的路程=100千米。

总的来看，“巧解”就是在一题多解情况下的最佳选择。

（三）总练习题（用简便方法计算1--16题，用多种方法计算17--30题，并指出最巧方法。

17—30题只给出巧解答案。

）

（1）925-28-72+75

（2）（64×125）÷（16×28）（3）12.348÷25（4）55×55/56（5）3.8+3.75+3.85+3.75

（6）123454321÷（55555×55555）（11×11=121,111×111=12321,1111×1111=1234321......）

（7）18×5/7-5×4/7（8）999×222+333×334（9）（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.7÷4）（10）8.3×64+1.7×65

（11）12.5*[（36-7.2）÷3.6]（12）43*11.8+860*0.91（13）（9+2/7+7+2/9）÷（5/7+5/9）

（14）1/2+1/6+1/12+1/20+1/30（15）（1+1/2+1/3+。

。

。

。

。

。

+1/1999）×（1/2+1/3+1/4+。

。

。

。

。

。

+1/2000）-（1+1/2+1/3+......+1/2000）×（1/2+1/3+1/4......+1/1999）

（15）4327-98（16）求：

5+10+15+20+。

。

。

。

。

。

+200的和

（17）比较9/10和11/12的大小。

（提示：

有比较分子、比较分母、比较与1的差、比较它们的倒数、变成整数比较和用真分数特点比较等方法。

但最巧的比较方法是用“规律”比较：

分子分母都相差1时，分母大的分数大。

）

（18）比较：

2222221/2222223和3333331/3333334的大小。

（提示：

巧法是先比较他们与1的差。

）

（19）某厂工人植树，若每人植5棵，剩50棵，若每人植6棵，差40棵。

这厂有多少工人？

他们共植多少棵树？

巧解：

由题意可知，每人多种1棵，就多种50+40=90棵，所以这场工人有90÷1=90人，共植5*90+50=500棵。

（20）张老师用216元买钢笔奖励学生，若每支便宜1元，可多买3支，钢笔原价是多少？

巧解：

因为总价=单价×数量，所以把216分解成两个数相乘有2和108、3和72、4和54、6和36、8和27、9和24。

根据题意，从后两组数可知每支笔原价是9元。

（21）王华和李明在银行都有存款，原来王比李少1/6，每人捐出20元后，李比王多25%，两人原来存款各是多少？

巧解：

由王比李少1/6可知；李存款是他两存款差的6倍，由李比王多25%可知，捐出20元后李存歀是他两存款差的5倍，捐款前后“差”不变，李捐出20元后，自己的钱变成“差”的5倍，所以“差”是20元。

李原有钱为20*6=120元。

王原有钱120-20=100元。

（22）甲乙两消防队共有338人，从甲队调出1/3，从乙队调出1/7的和是78人，甲乙两队各有多少人？

巧解：

假设甲乙调出的人数都扩大到3倍，则共调出78×3=234，原消防队只剩乙队的4/7，所以原乙消防队有：

（338-234）÷4/7=182人，原甲队有338-182=156人。

（23）猴吃桃，第一天吃了全部的1/9，第二天吃余下的1/8，第三天吃又余下的1/7。

。

。

。

。

。

。

第八天吃余下的1/2，第九天吃了一个正好吃完，原有桃多少个？

巧解：

从题意可知：

每天都吃了总数的1/9，（第二天吃8/9×1/8=1/9,第三天吃7/9*1/7=1/9......）,所以桃子总数为：

1÷1/9=9个。

（24）妈妈给上衣缝纽扣，若每天缝15件，比规定日期晚2天，每天缝18件，就可提前3天，这批上衣是多少件？

巧解：

按工程问题做：

（2+3）÷（1/15-1/18）=450件。

（25）：

一架飞机的燃料最多可用6小时，飞机去时顺风，速度为1500千米/小时，返回时逆风，速度为1200千米/小时，飞机最多飞出多远就要往回飞？

巧解：

按工程问题（相遇问题）思路来解答。

按题意转化为往返多少千米用6小时。

6÷（1/1500+1/1200）=4000千米。

（26）：

某人卖商品，第一天按11元/个的利润卖出10个，第二天是五一，按5元/个的利润卖出11个，两天卖出的总价（营业总额）相同，求该商品的进价？

巧解：

因为总价=（利润+进价）×个数。

第一天利润为11×10=110元，第二天若卖10个，利润为5×10=50元，总额少60元，多卖出一个，利润仅为5×11=55元，第二天少得利润60-5=55元，所以，一件商品的进价为55元。

（27）一农民死前立遗嘱：

要把17头牛分给三个儿子，大儿子得1/2，二儿子得1/3，三儿子得1/9，（不得杀或卖）三个儿子不会分，你应如何分？

巧解：

17不是2、3、9的倍数，不能安分率分配，应把三个分率看成分牛时每人得的份数。

1/2:

1/3:

1/9=9:

6:

2，所以：

17÷（9+6+2）=1头，三个儿子分别应分：

9头，6头，2头。

另一巧解方法是：

三个分率的分母最小公倍数是18，可以18头牛为单位“1”，进行分配。

18×1/2=9,18×1/3=6,18×1/9=2

（28）学校买进一批白色、彩色粉笔，白色是彩色的3倍，开学后平均每周用36盒白色的、8盒彩色的。

几周后，白色的用完，彩色的还剩36盒，原来购进白、彩粉笔各多少盒？

巧解：

因为白是彩的3倍，若每周按比例白36盒，彩12盒使用，則同时用完，现在每周少用彩笔12-8=4盒，可见用了36÷4=9周，所以白色粉笔为：

36×9=324盒，彩色粉笔为：

8×9+36=108盒。

（29）前六

（2），若甲、乙速度不变，狗速变为15千米/小时，甲乙两人相遇时，狗跑了多少千米？

巧解：

因为狗与两人运动时间相同，所以，路程和时间成正比.x/100=15/10,x=150千米。

（30）某蓄水池长、宽、深分别为10米、8米、3米。

一进水管以0.6小时使水深达0.3米的速度往池内放水，多少时间可放满水池？

巧解：

思路：

水深达到3米，就满池了。

因为放水速度不变，所以水深与时间成正比，3/0.3=x/0.6x=6小时。

或3÷（0.3÷0.6）=6小时。

同学们：

快来看博客上的文章吧，它有助于你分析问题和解决问题能力的提高，大大提高你学习新知识、复习旧知识的效率。

老师们：

快来看吧，看后会使你增加一些引导学生“复习知识”的方法，从而提高复习效率。

文中不妥之处，诚请指正。

谢谢。

加法类似）：

交换律，a*b=b*a,结合律，（a*b）*c=a*（b*c）,

         分配率，（a+b）xc=ac+bc,（a-b）×c=ac-bc.

（4）除法运算性质：

（与减法类似），a÷（b×c）=a÷b÷c,a÷（b÷c）=a÷bxc,a÷b÷c=a÷c÷b,

                （a+b）÷c=a÷c+b÷c,（a-b）÷c=a÷c-b÷c.     前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。

其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。

后面数值的运算符号不变。

例1:

283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600。

（运用加法交换律和结合律）。

  减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。

例2：

657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。

）

例3：

195-（95+24）=195-95-24=100-24=76   （运用减法性质）

例4;150-（100-42）=150-100+42=50+42=92.     （同上）

例5：

（0.75+125）×8=0.75×8+125×8=6+1000=1006.（运用乘法分配律））

例6：

（125-0.25）×8=125×8-0.25×8=1000-2=998.  （同上）

例7：

（1.125-0.75）÷0.25=1.125÷0.25-0.75÷0.25=4.5-3=1.5。

（运用除法性质）

例8:

（450+81）÷9=450÷9+81÷9=50+9=59.（同上，相当乘法分配律）

例9：

375÷（125÷0.5）=375÷125*0.5=3*0.5=1.5.（运用除法性质）

例10：

4.2÷（0。

6×0.35）=4.2÷0.6÷0.35=7÷0.35=20.（同上）

例11：

12×125×0.25×8=（125×8）×（12×0.25）=1000×3=3000.（运用乘法交换律和结合律）

例12:

（175+45+55+27）-75=175-75+（45+55）+27=100+100+27=227.（运用加法性质和结合律）

例13：

（48×25×3）÷8=48÷8×25×3=6×25×3=450.  （运用除法性质,相当加法性质）

（5）和、差、积、商不变的规律。

1：