不可压缩流体动力学基础习题.docx
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不可压缩流体动力学基础习题
不可压缩流体动力学基础
1.已知平面流场的速度分布为
Ux
X2
Xy,Uy
2
2xy5y。
求在点(1,
处流体微团的线变形速度,角变
形速度和旋转角速度。
解:
(1)线变形速度:
Ux
2X
Uy
4xy
角变形速度:
Ux
旋转角速度:
将点(1,-1)
2.
涡线方程。
解:
旋转角速度:
Ux
uy
角变形速度:
uy
dy
2
X
y
1
Uy
Ux
2
X
X
得流
M本微团的
X
£场
为Ux
2y
1
Uz
X
2
y
Uz
1
X
2
Ux
1
y
2
1
Uz
Uy
2
y
z
Uz
5
X
2
Ux
5
y
2
Uy
32,
Uy
虫积分得涡线的方程为:
yxC1,zxC2
Uy
3/2;
z1/2
2z3x,Uz2x3y
试求旋转角速度,角变形速度和
22
uxcyz,uy0,uz0,式中c为常数,试求流场的涡量及涡线方程。
解:
流场的涡量为:
Uz
Uy
x
y
Z
Ux
Uz
y
z
x
uy
Ux
z
x
y
旋转角速度分别为:
x
cz
y2、y2
2z
cy
Z2,y2z2
则涡线的方程为:
y
即矽
dz
c
z
y
可得涡线的方程为
2
:
y
4.求沿封闭曲线
2
xy
Uy0,U
Ar
3.已知有旋流动的速度场为
2
CZ
cy
.y2
c2
dz
b2,z
。
其中A为常数。
0的速度环量。
(i)ux
Ax,uy0;
(2)uxAy,uy0;(3)
解:
(1)由封闭曲线方程可知该曲线时在z=0
的平面上的圆周线。
在z=0的平面上速度分布为:
Ux
AX,Uy
涡量分布为:
根据斯托克斯定理得:
AzdAz
(2)涡量分布为:
根据斯托克斯定理得:
ZdAZ
Ab2
(3)由于ur0,U
Ar
则转化为直角坐标为:
Ux
Ay
芬,Uy
Ax
UyUx2A
5.试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件?
答:
不可压缩流体连续性方程
(4)
Ux
ksinxy,u
y
ksin
xy,Uz
0
代入(
1)
不满足
(5)
Ur
0,ukr
Uz
0
代入
(2)
满足
k
0,Uz
0
(6)
Ur
u
代入
(2)
满足
r
(7)
Ur
2rsincos,u
2rsin
2,Uz
0代入
(2)
满足
6•已知流
2
i场的速度分布为uxxy,
Uy
3y,u5
:
2z2。
求(3,
1,2)
点上流体质点的加速度。
解:
ax
Ux
Ux
Ux
uy
Ux
u
Ux
z
0x2y
2xy
3y
232^2
x02xy3xy
t
x
y
z
ay
UyUy
Ux-
uy
uy
Uz
Uy
9y
tx
y
z
UzUz
Uz
Uz-2
az
Ux-
uy
Uz
8z
tx
y
z
将质'
点(
3,1,2)代入ax、
d、az
中分别彳
寻:
ax27,ay9,az64
7.已知平面流场的速度分布为
Ux4t
2y
2x
速度
解:
ax
Ux
Ux
Ux
Ux
Uy-
y
0时,
ax
8xy2
y
将(1,
1)代入得ax
x2
4t
2y~~2x
2x2x2
x2
2y2
22
y
—。
求ty
0时,在(i,i)
点上流体质点的加
ay
UyUy
Uy
Uy
4t
当t=o时,将(1,1)代入得:
8.设两平板之间的距离为2h,
分布。
ay
平板长宽皆为无限大,
解:
Z方向速度与时间无关,质量力:
运动方程:
z方向:
d2u
dx2
x方向:
0
积分:
p
gxf(z)
二p对z的偏导与x无关,
积分:
u
1px2
边界条件:
得:
C1
0,C2
■-u
hi_p
2z
2x2y
22
y
x2
2x
2
y
2x2
x2
2
4y
22y
2y
2
x
如图所示。
z方向的运动方程可写为
C1xC2
ph2
z
4x2
22y
2x
x
x2
4xy
22
y
试用粘性流体运动微分方程,求此不可压缩流体恒定流的流速
d2U
dy2
9.沿倾斜平面均匀地流下的薄液层,试证明:
2
(1)流层内的速度分布为u2byysin;
(2)单位宽度上的
2
流量为q-bsin
解:
x方向速度与时间无关,质量力
xgsin
gcos
运动方程:
x方向:
0gsin
d2u
d/
y方向:
0gcos
积分p
gycos
f(x)
Pa
gbcos
f(x)
■-P
Pa
g(hy)cos
■■b
常数
①可变为
d2u
dy2
gsin
积分u
叫1y2Gy
C2)
边界条件:
du
dy
b,C20
■-u
gsin
2
y(2by)
2L(2by
y2)sin
b
0udy
b
02
(2by
y2)sindy
「b3sin
10.描绘出下列流速场
解:
流线方程:
空
dy
Uy
3,代入流线方程,积分:
(a)ux4,uy
直线族
(b)ux4,Uy3x,代入流线方程,积分:
y3Xc
8
抛物线族
(c)ux4y,uy0,代入流线方程,积分:
yc
直线族(d)Ux4y,uy3,代入流线方程,积分:
抛物线族
22
(e)ux4y,uy3x,代入流线方程,积分:
3x4yc
椭圆族
22
(f)ux4y,uy4x,代入流线方程,积分:
xyc
双曲线族
22
(g)ux4y,Uy4x,代入流线方程,积分:
xyc
(h)Ux4,uy0,代入流线方程,积分:
xy
y
o
X
直线族
抛物线族
(j)ux4x,Uy0,代入流线方程,积分:
yc
直线族
(k)ux4xy,Uy0,代入流线方程,积分:
yc
y
o
X
直线族
0,由换算公式:
uxurcosusin
uyursinucos
ux
c
-0
cx
,uy
2
2'
r
r
x
y
r
cy
0
rr
cy
x
代入流线方程积分:
c
y
直线族
(m)ur
cy
x2
uy
cx
x2
22
代入流线方程积分:
x2y2c
同心圆
11.在上题流速场中,哪些流动是无旋流动,哪些流动是有旋流动。
如果是有旋流动,它的旋转角速度的表达式是什么?
UxUy
解:
无旋流有:
Xy
Ur
ur
(或
)
yx
r
(a),(f),(h),(j),
(1),(m)
为无旋流动,
其余的为有旋流动
对有旋流动,旋转角速度:
1(-
uy
Ux)
2
x
y
3
2(e)
7
(b)-(c)2
(d)
—•
2
2
(g)4(i)2
(k)
2x
12.在上题流速场中,求出各有势流动的流函数和势函数。
解:
势函数uxdxUydy
流函数
UxdyUydx
(a)
4dx3dy4x3y
其他各题略
13.流速场为(a)Ur
0,u
(bM
0,u
2,
r时,
求半径为「1和S的两流线间流量的表达式。
解:
dQd
Urrd
udr
(a)
cdr
r
clnr
r1
clnr2(clnr"cln
r2
(b)
2rdr
2r2
「22)
14.流速场的流函数是
3x
2y
它是否是无旋流动?
如果不是,计算它的旋转角速度。
证明任一点的流速只取决于
它对原点的距离。
绘流线
2
解:
——6xy—r6y
xx
—3x23y2
y
ux——3x23y2Uy
y
:
22o/22x
■-U.UxUy3(xy)
——6xy
x
2
3r即任一点的流速只取决于它对原点的距离
流线2即3x2yy32
用描点法:
2/o2
y(3x
y1,x
y1,x
y2,x
y2,x
(图略)
15.确定半无限物体的轮廓线,需要哪些量来决定流函数。
要改变物体的宽度,需要变动哪些量。
以某一水平流动设计的绕流流
速场,当水平流动的流速变化时,流函数是否变化?
解:
需要水平流速v0,半无限物体的迎来流方向的截面A,由这两个参数可得流量Qv0A。
改变物体宽度,就改变了流量。
16.确定朗金椭圆的轮廓线主要取决于哪些量?
试根据指定长度|2m,指定宽度b0.5m,设计朗金椭圆的轮廓线。
解:
需要水平流速v0,一对强度相等的源和汇的位置a以及流量
Qy
(arctg
xa
vo(r
R2
)sinr
vo(r
R2
——)cosr
叠加,绘出流线,并确定驻点位置。
解:
叠加前
即驻点坐标:
21vQQ(2aV)2,°
解得:
x
.QL(2a_v)2
流函数值,并求该点流速。
Qyy
解:
(arctgarctg)
xaxa
uy
uy
20.为了在(0,5)点产生10的速度,在坐标原点应加强度多大的偶极矩?
过此点的流函数值为何?
2
解:
M2v0R
将V。
10,R5代入得:
M500
Msin
2r
将M500,sin1,rR5代入得:
50
22
21.强度为0.2m/s的源流和强度为1m/s的环流均位于坐标原点,求流函数和势函数,求(1m,0.5m)的速度分量。
Ur
Q
解:
Inr,
22
将1,r.120.52代入得:
u
0.142m/s
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