高三摸底考试数学理试题 含答案.docx
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高三摸底考试数学理试题含答案
2019-2020年高三8月摸底考试数学(理)试题含答案
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数,i是虚数单位,则z的虚部是
A.2iB.-2iC.2D.-2
2、若集合
,则集合
A、B、C、D、R
3.已知是定义在R上的奇函数,且时的图像如图所示,则
A.-3B.-2C.-1D.2
4、在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,则等于
5.下列判断错误的是
A.是的充分不必要条件
B.命题的否定是
C.命题“若,则tan=1”的逆否命题是“若则”
D.若为假命题,则均为假命题
6.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是
A.B.C.D.
7、已知,且z的最大值是最小值的4倍,则a的值是
A、B、4C、D、2
8.设满足约束条件,则的最大值是
A.3B.4C.5D.6
9、现有2门不同的考试要安排在5天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天有考试,那么不同的考试安排方案种数有
A、12B、6C、8D、16
10、函数
的图像如图所示,为了得到的图像,则只要将函数的图像
A、向右平移个单位
B、向右平移个单位
C、向左平移个单位
D、向左平移个单位
11、直线L过抛物线的焦点F且与C相交于A、B两点,且AB的中点M的坐标为,则抛物线C的方程为
A、B、C、D、
12、设函数,其中表示不超过x的最大整数,如,,,若直线与函数的图像恰有三个不同的交点,则k的取值范围是
A、B、C、D、
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13、设,则的值.
14、的展开式中,的系数等于40,则等于.
15、某几何体的三视图如右图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的体积为
16、边长为2的正方形ABCD,其内切圆与边BC切于点E、F为内切圆上任意一点,则取值范围为
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
数列的通项公式为,数列是等差数列,且.
(I)求数列的通项公式;
(II)设,数列的前n项和,求证:
.
解:
(I)设数列的公差为d,又因为
(II)
18、如图,在直三棱柱中,分别是的中点.
(I)证明:
;
(II)求二面角的余弦值
(I)证明:
如图,E是的中点,取为BC的中点G,连接EG、AG、ED,在中,
四边形ADEF为平行四边形,,又所以
(II)解:
如图,以B为原点,BC,BA,,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系则
直三棱柱,
,如图,连接BD,在
,即,BD是CD在平面内的射影,
,所以二面角的余弦值为
19.(本小题满分12分)
交通指数是指交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数T.
其范围为[0,10],分别有五个级别:
T畅通;基本畅通;轻度拥堵;中度拥堵;严重拥堵.在晚高峰时段,从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
(I)在这20个路段中,轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个?
(II)从这20个路段中随机抽出3个路段,用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数,求X的分布列及期望.
解析:
(I)由直方图得:
轻度拥堵的路段个数是个,中度拥堵的路段个数是
(II)X的可能取值为0,1,2,3
,所以X的分布列为
20.(本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆的离心率为,过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,弦AB长4.
(1)求椭圆的方程;
(2)若.求直线AB的方程.
解析:
(1)由题意知,,又,解得:
,所以椭圆方程为:
.--------6分
(2)当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,由题意知
当两弦斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1),
则直线CD的方程为.
将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得,
则,所以.
同理,.
所以==
解得,所以直线AB方程为x-y-1=0或x+y-1=0.-------12分
21、已知函数在处的切线斜率为2.
(I)求的最小值;
(II)设是函数图像上的两点,直线AB的斜率为k,函数的导数为,若存在,使,求证:
解析:
由
由
在上是减函数,
从而
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一天计分.做答是用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)
如图,已知AP是圆O的切线,P为切点,AC是圆O的割线,与圆O交于B,C两点,圆心O在的内部,点M是BC中点.
(1)证明:
A,P,O,M四点公园共圆;
(2)求的大小.
解析:
(1)证明:
连接OP,OM.因为AP与圆O相切于点P,所以.
因为M是圆O的弦BC的中点,所以.于是由圆心O在
的内部,可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆.-------5分
(2)由
(1)得A,P,O,M四点共圆,所以.由
(1)得,
由圆心O在的内部,可知,
所以.-----------10分
23.(本小题满分10分)
已知切线C的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线L的参数方程为(t为参数).
(1)写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程;
(2)设曲线C经过伸缩变换,得到曲线,判断L与切线交点的个数.
解析:
(1)消去参数t得直线L的直角坐标方程为:
由公式得曲线C的直角坐标方程为;--------5分
(2)曲线C经过伸缩变换得到曲线的方程为,由于直线L恒过点,点在椭圆内部,所以直线L与椭圆相交,
故直线与椭圆有两个交点.-------10分
24.(本小题满分10分)
设函数.
(1)当a=2时,解不等式;
(2)若的解集为,,求证:
m+2n4.
解析:
(1)当a=2时,不等式为,
因为方程的解为
所以不等式的解集为;
(2)即,解得,而解集是,
所以,解得a=1,所以
所以.---------10分
25.(本小题满分10分)
在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且
(I)求的值;
(II)若,求bc的最大值.
解:
(I)在中,因为,所以
(II)由余弦定理知所以,当时,bc的最大值是
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