江苏省苏锡常镇四市学年高三教学情况调研二数学试题Word版含详细解析.docx

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江苏省苏锡常镇四市学年高三教学情况调研二数学试题Word版含详细解析

江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研

（二）

数学试题

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．

1.若复数满足是虚数单位，则的虚部为____．

【答案】.

【解析】分析：

先求出复数z，再求复数z的虚部.

详解：

由题得所以复数z的虚部为-1.故答案为：

-1

点睛：

（1）本题主要考查复数的运算及复数的虚部的概念，意在考查学生复数基础知识的掌握能力.

（2）复数的虚部是b,不是bi,这一点要注意.

2.设集合，其中，若，则实数____．

【答案】.

【解析】分析：

根据集合相等的概念得到a的方程，解方程即得解.

详解：

因为A=B,所以故答案为：

点睛：

本题主要考查集合相等的概念，集合中求出参数的值之后，一定要代入原题检验，保证参数的值满足已知的每一个条件和集合元素的互异性.

3.在平面直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为____．

【答案】4.

【解析】分析：

先写出抛物线的准线方程，再求点到抛物线的准线的距离.

详解：

由题得抛物线的准线方程为x=2,

所以点P（-2，4）到准线的距离为2-（-2）=4.故答案为:

4

点睛：

（1）本题主要考查抛物线的基本几何性质，意在考查学生抛物线的基础知识的掌握能力.

（2）注意不要把抛物线的方程写成x=2了，最好先画图再写准线方程.

4.一次考试后，从高三

（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为____．

【答案】.

【解析】分析:

先计算出数据的平均数,再求数据的方差得解.

详解：

由题得

所以成绩的方差为

故答案为：

20.8

点睛：

本题主要考查茎叶图和数据方差的计算，意在考查统计的基础知识的掌握能力.

5.下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值的取值范围是____．

【答案】.

【解析】分析：

先根据程序框图写出函数的解析式，再根据解析式求函数的值域即得输出值的取值范围.

详解：

由题得

所以当x∈[0,1]时，S=1；

当x∈[1,2]时，

综上所述输出值的取值范围是.故答案为：

点睛：

（1）本题主要考查程序框图功能的阅读和分段函数的值域.

（2）对于分段函数的问题，一般是先分段处理再综合.所以本题先分别求每一段的范围，再求整个函数的值域.

6.欧阳修在《卖油翁》中写到：

“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是____．

【答案】.

【解析】分析：

根据几何概型的概率公式解答即可.

详解：

由几何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案为：

.

点睛：

本题主要考查几何概型的概率公式，意在考查概率的基础知识的掌握能力及基本的运算能力.

7.已知函数在时取得最大值，则____．

【答案】.

【解析】分析：

解方程即得解.

详解：

由题得故答案为：

点睛：

本题主要考查三角函数的最值，意在考查三角函数图像性质等基础知识的掌握能力.

8.已知公差为的等差数列的前项和为，若，则____．

【答案】2.

【解析】分析：

先化简已知,得到再代入化简即得.

详解：

由题得

，故答案为：

2

点睛：

本题主要考查等差数列的性质，意在考查等差数列基础知识的掌握能力和基本运算.

9.在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____．

【答案】.

【解析】分析：

先把体积转化，再求三棱锥M-BDC的高和底面积，最后代三棱锥的体积公式即得解.

详解：

由题得,

由题得AN=

所以.

所以三棱锥M-BDC的高为.

因为

所以

故答案为：

点睛：

（1）解答本题的关键是体积转化.如果直接求三棱锥的体积，点D到底面的高不是很好计算，所以考虑利用体积变换求体积，由于变到点M时，点M到底面的高计算比较方便，所以转化成求三棱锥M-BDC的体积.

（2）求几何体的体积常用的方法有直接法和体积变换，要根据具体情况，灵活选择.

10.设△的内角，，的对边分别是，且满足，则____．

【答案】4.

【解析】分析：

利用正弦定理化边为角，整理后两边同除以cosAcosB可得解.

详解：

acosB﹣bcosA=c，

由正弦定理得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B）=（sinAcosB+cosAsinB），

整理得sinAcosB=4cosAsinB，

两边同除以cosAcosB，得tanA=4tanB，

故.故答案为：

4

点睛：

该题考查正弦定理、同角三角函数的关系以及两角和的正弦，考查学生灵活运用公式的能力．

11.在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是____．

【答案】.

【解析】分析:

先设，化简得到再利用函数求点的纵坐标的取值范围.

详解：

设点，因为，

所以

即，

因为，所以，

所以，

化简得

因为，所以

故答案为：

点睛:

本题主要考查圆的基础知识，考查函数的思想,意在考查学生圆的基础知识的掌握能力和基本运算能力.

12.如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．

【答案】.

【解析】分析:

先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.

详解:

以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A（1，0）,B（0，1）,直线AB的方程为x+y-1=0,

设P，，

所以PQ的中点，

由题得

所以=

设，

所以，

所以=，

所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.

故答案为：

点睛：

（1）本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数的值域.

（2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力.

13.已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．

【答案】.

【解析】分析:

根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．

详解:

作出f（x）的函数图象如图所示：

∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），

∴a+b=﹣6，

∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，

由函数图象可知：

＜c＜e2，

设g（c）=（c﹣6）lnc，则=lnc+1﹣，

显然在（，e2]上单调递增，

∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，

∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，

在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，

又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，

∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．

故答案为：

2e2﹣12

点睛:

（1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6,＜c＜e2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c﹣6）lnc，利用导数求函数的最大值.

（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.

14.已知为正实数，且，则的最小值为____．

【答案】.

【解析】分析：

先通过结合基本不等式求出，再开方得到的最小值.

详解：

由题得，

代入已知得，

两边除以得

当且仅当ab=1时取等.

所以

即的最小值为.

故答案为：

点睛：

本题的难点在要考虑到通过变形转化得到，再想到两边除以得，重点考查学生的逻辑分析推理转化的能力.

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．

（1）若，求证：

；

（2）求证：

//平面．

【答案】

（1）见解析.

（2）见解析.

【解析】分析：

（1）取的中点，连结，先证明平面，再证明．

（2）先证明平面平面，再证明平面．

详解：

证明：

（1）取的中点，连结，

因为，所以△为等腰三角形，所以．

因为，所以△为等腰三角形，所以．

又，所以平面．

因为平面，所以．

（2）由为中点，连，则，

又平面，所以平面．

由，以及，所以，

又平面，所以平面．

又，所以平面平面，

而平面，所以平面．

点睛：

本题主要考查空间位置关系的证明，空间位置关系的证明有两种方法，方法一是利用线面的转化的思想证明，方法二是利用向量的方法证明.两种方法各有特点，要灵活使用.

16.在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.

（1）求的大小；

（2）设向量，，求的取值范围．

【答案】

（1）.

（2）.

【解析】分析：

（1）即得．

（2）先求出，再利用三角函数的图像和性质求其取值范围..................................

详解：

（1）由题意，有，则，所以．

因为，所以，所以．

又，所以．

（2）由向量，，得

．

由

（1）知，所以，所以．

所以．

所以．

所以．即取值范围是．

点睛：

本题在求的值域时，容易漏掉导致出错.始终要牢记一个原则，函数的问题，定义域优先.只要是处理函数的问题，必须注意定义域优先的原则.

17.（本小题满分14分）

下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．

（1）求两索塔之间桥面的长度；

（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：

某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？

并求出最小值．

【答案】

（1）500米.

（2）两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.

【解析】分析:

（1）设，，记，利用和角的正切得到t的方程，解方程即得两索塔之间的距离AC=500米．

（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.先求出，且，再利用导数求最小值.

详解：

（1）设，，记，则

，

由，

化简得，解得或（舍去），

所以，．

答：

两索塔之间的距离AC=500米．

（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.

则，且，

即

记，则，

令，解得，

当，，单调递减；

当，，单调递增；

所以时，取到最小值，也取到最小值.

答：

两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.

点睛：

本题主要考查和角的正切和导数的应用，意在考查学生的转化能力和运用数学知识解决实际问题的能力.

18.如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求直线的方程；

（3）求证：

为定值．

【答案】

（1）.

（2）或.

（3）见解析.

【解析】分析:

（1）由椭圆的离心率