初一因式分解的方法和能力提高训练.docx
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初一因式分解的方法和能力提高训练
因式分解能力提高
因式分解的十二种方法:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样,现总结如下:
1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)
x-2x-x=x(x-2x-1)
2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)
解:
a+4ab+4b=(a+2b)
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分
成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解:
m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n
=(m-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
对于mx+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析:
1-3
72
2-21=-19
解:
7x-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40
解x+3x-40=x+3x+()-()-40
=(x+)-()
=(x++)(x+-)
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。
例7、分解因式2x-x-6x-x+2
解:
2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x
=x[2(x+)-(x+)-6
令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6
=x[2(y-2)-y-6]
=x(2y-y-10)
=x(y+2)(2y-5)
=x(x++2)(2x+-5)
=(x+2x+1)(2x-5x+2)
=(x+1)(2x-1)(x-2)
8、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,⋯⋯x则,多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)⋯⋯(x-x)例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6解:
令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x,x,x,⋯⋯,x则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)⋯⋯(x-x)
例9、因式分解x+2x-5x-6解:
令y=x+2x-5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)分析:
此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列解:
a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例11、分解因式x+9x+23x+15
解:
令x=2,则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x+9x+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12
从而把多项式因式分解。
、待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,例12、分解因式x-x-5x-6x-4分析:
易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
解:
设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以解得则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
提公因式法——形如mambmcm(abc)
运用公式法——平方差公式:
a2b2(ab)(ab),完全平方公式:
a22abb2(ab)2
2222
a2b2c22ab2bc2caabc
一、填空题:
2.(a-3)(3-2a)=(3-a)(3-2a);
12.若m2-3m+2=(m+a)(m+b),则a=,b=__
15.当m=时,x2+2(m-3)x+25是完全平方式.
二、选择题:
1.下列各式的因式分解结果中,正确的是
A.a2b+7ab-b=b(a2+7a)
B.3x2y-3xy-6y=3y(x-2)(x+1)
C.8xyz-6x2y2=2xyz(4-3xy)
D.-2a2+4ab-6ac=-2a(a+2b-3c)
2.多项式m(n-2)-m2(2-n)分解因式等于
A.(n-2)(m+m2)B.(n-2)(m-m2)
C.m(n-2)(m+1)D.m(n-2)(m-1)
3.在下列等式中,属于因式分解的是
A.a(x-y)+b(m+n)=ax+bm-ay+bn
B.a2-2ab+b2+1=(a-b)2+1
C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)
D.x2-7x-8=x(x-7)-8
4.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是
A.a2+b2B.-a2+b2
C.-a2-b2D.-(-a2)+b2
5.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,那么m的值是
A.-12B.±24
C.12
D.±12
6.把多项式an+4-an+1分解得
A.an(a4-a)
C.an+1(a-1)(a2-a+1)
B.an-1(a3-1)
D.an+1(a-1)(a2+a+1)
B.7
D.12
B.x=1,y=-3
D.x=1,y=-3
7.若a2+a=-1,则a4+2a3-3a2-4a+3的值为
A.8
C.10
8.已知x2+y2+2x-6y+10=0,那么x,y的值分别为
A.x=1,y=3
C.x=-1,y=3
9.把(m2+3m)4-8(m2+3m)2+16分解因式得
C.(x2+2)(x2+1)
D.(x2+2)(x+1)(x
-1)
14.多项式x2-ax-bx+ab可分解因式为
B.(x-a)(x+b)
D.(x+a)(x+b)
A.-(x+a)(x+b)
C.(x-a)(x-b)15.一个关于x的二次三项式,其x2项的系数是1,常数项是-12,且能分解因式,这样的二次三项式是
A.x2-11x-12或x2+11x-12
B.x2-x-12或x2+x-12
C.x2-4x-12或x2+4x-12
D.以上都可以
16.下列各式x3-x2-x+1,x2+y-xy-x,x2-2x-y2+1,(x2+3x)2-(2x+1)2中,不含有(x-1)因式的有
A.1个B.2个
C.3个D.4个
17.把9-x2+12xy-36y2分解因式为
A.(x-6y+3)(x-6x-3)
B.-(x-6y+3)(x-6y-3)
C.-(x-6y+3)(x+6y-3)
D.-(x-6y+3)(x-6y+3)
18.下列因式分解错误的是
A.a2-bc+ac-ab=(a-b)(a+c)
B.ab-5a+3b-15=(b-5)(a+3)
C.x2+3xy-2x-6y=(x+3y)(x-2)
D.x2-6xy-1+9y2=(x+3y+1)(x+3y-1)
19.已知a2x2±2x+b2是完全平方式,且a,b都不为零,则a与b的关系为
A.互为倒数或互为负倒数B.互为相反数
C.相等的数D.任意有理数
20.对x4+4进行因式分解,所得的正确结论是
A.不能分解因式B.有因式x2+2x+2
C.(xy+2)(xy-8)D.(xy-2)(xy-8)
21.把a4+2a2b2+b4-a2b2分解因式为
A.(a2+b2+ab)2B.(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)
C.(a2-b2+ab)(a2-b2-ab)D.(a2+b2-ab)2
22.-(3x-1)(x+2y)是下列哪个多项式的分解结果
A.3x2+6xy-x-2yB.3x2-6xy+x-2y
C.x+2y+3x2+6xyD.x+2y-3x2-6xy
23.64a8-b2因式分解为
A.(64a4-b)(a4+b)B.(16a2-b)(4a2+b)
C.(8a4-b)(8a4+b)D.(8a2-b)(8a4+b)
24.9(x-y)2+12(x2-y2)+4(x+y)2因式分解为
A.(5x-y)2B.(5x+y)2
C.(3x-2y)(3x+2y)D.(5x-2y)2
25.(2y-3x)2-2(3x-2y)+1因式分解为
A.(3x-2y-1)2B.(3x+2y+1)2
C.(3x-2y+1)2D.(2y-3x-1)2
26.把(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式为
B.(3b+a)2
D.(3a+b)2
A.(3a-b)2
C.(3b-a)2
二xq——Ae)(Aq+Xe)CN+W(Xq——Ae)+e(Aq+Xe)•6
fCMq寸——qe8+xe寸——2XOo
LZ9"+Z(XIA)QL+B(AIX)L
二+(0IX)X0+2(X0I2X)∙9
-(q——e)3+(e——o)s+(。
——q)2e∙g
LOBe0+0qcoel(8+2q+Beoqe•寸
"COAX+ACOX0——寸AQ——寸XO
oqe——(oe+oq+qe)ed
⅛+d——(b——dxuL
(o0——q+e)(o0+q+e)0Q(。
寸——q+e0)(o寸+q+e0)O
(。
——q+e)(o+q+e)0•8(o0——q+e)0<
\—
CQ
寸
Q
Q
Cci
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6
8——卅0+qe寸+水23⅛oOo (A寸I 灭3⅛oW(。 ——e)B+(。 +q)(。 ——e)qe0——2(。 +q)*S ≡K5 10.(1-a2)(1-b2)-(a2-1)2(b2-1)2; 11.(x+1)2-9(x-1)2; 12.4a2b2-(a2+b2-c2)2; 13.ab2-ac2+4ac-4a; 14.x3n+y3n; 15.(x+y)3+125; 16.(3m-2n)3+(3m+2n)3; 17.x6(x2-y2)+y6(y2-x2); 18.8(x+y)3+1; 19.(a+b+c)3-a3-b3-c3; 20.x2+4xy+3y2; 21.x2+18x-144; 22.x4+2x2-8; 23.-m4+18m2-17; 24.x5-2x3-8x; 25.x8+19x5-216x2; 26.(x2-7x)2+10(x2-7x)-24; 27.5+7(a+1)-6(a+1)2; 28.(x2+x)(x2+x-1)-2; 29.x2+y2-x2y2-4xy-1; 30.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-48; 31.x2-y2-x-y; 32.ax2-bx2-bx+ax-3a+3b; 33.m4+m2+1; 34.a2-b2+2ac+c2; 35.a3-ab2+a-b; 36.625b4-(a-b)4; 37.x6-y6+3x2y4-3x4y2; 38.x2+4xy+4y2-2x-4y-35; 39.m2-a2+4ab-4b2; 40.5m-5n-m2+2mn-n2. 四、证明(求值): 1.已知a+b=0,求a3-2b3+a2b-2ab2的值. 2.求证: 四个连续自然数的积再加上1,一定是一个完全平方数. 3.证明: (ac-bd)2+(bc+ad)2=(a2+b2)(c2+d2). 4.已知a=k+3,b=2k+2,c=3k-1,求a2+b2+c2+2ab-2bc-2ac的值. 5.若x2+mx+n=(x-3)(x+4),求(m+n)2的值. 6.当a为何值时,多项式x2+7xy+ay2-5x+43y-24可以分解为两个一次因式的乘积. 7.若x,y为任意有理数,比较6xy与x2+9y2的大小. 1 8.两个连续偶数的平方差是已知2xy,xy2,求2x4y3x3y4的值。 9、已知ab2,求(a2b2)28(a2b2)的值 10、 (1)已知xy2,xy2,求x2y26xy的值; 1 (2)已知x2y21,xy,求xy的值; 1323223 (3)已知ab,ab,求 (1)(ab)2; (2)a3b2a2b2ab3 28 22 (4)已知4x216y24x16y50,求x+y的值; 11、先分解因式,然后计算求值: (本题6分) 22 (a2+b2-2ab)-6(a-6)+9,其中a=10000,b=9999。 22 12、已知mn8,mn15,求m2mnn2的值。 13.已知: a2a10, (1)求2a22a的值; (2)求a32a21999的值。 x2y2 14、已知x(x-1)-(x2-y)=-2.求xyxy的值. 2
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- 初一 因式分解 方法 能力 提高 训练