全国卷2文科数学试题与答案解析.docx
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全国卷2文科数学试题与答案解析
====
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
学@科网
1
.i2
3i
A.32i
B.32i
C.32i
D.32i
2
.已知集合A
1,3,5,7,B2,3,4,5
,则A
B
A.
3
B.5
C.
3,5
D.1,2,3,4,5,7
ex
ex
3
.函数
fx
x
2的图像大致为
4
.已知向量a,b
满足|a|1,ab
1,则a(2ab)
A.4
B.3
C.2
D.0
5
.从2名男同学和
3名女同学中任选
2人参加社区服务,则选中的
2人都是女同学的概率为
A.0.6
B.0.5
C.0.4
D.0.3
6.双曲线x2y2
a2b21(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为
A.y2x
B.y
3x
C.y
2x
D.y
3x
2
2
7.在△ABC中,cosC
5,BC
1,AC
5,则AB
2
5
A.42
B.30
C.29
D.25
.资料
======
====
8.为计算S11
1
1
1
1,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入
2
3
4
99
100
开始
N0,T0
i1
是否
i100
NN
1
SNT
i
TT
1
输出S
i
1
结束
A.i
i
1
B.ii
2
C.i
i
3
D.i
i
4
9.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为
A.
2
B.
3
C.
5
D.
7
2
2
2
2
10.若f(x)
cosx
sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是
A.
π
π
C.
3π
D.π
B.
4
2
4
11.已知F1
,F2是椭圆C的两个焦点,
P是C上的一点,若PF1
PF2,且PF2F1
60,则C的离心率
为
A.1
3
B.23
C.
3
1
D.31
2
2
12.已知
f(x)
是定义域为(
)的奇函数,满足f(1x)
f(1x).若f
(1)
,2则
f
(1)f
(2)f
(f(50)
A.50
B.0
C.2
D.50
二、填空题:
本题共
4小题,每小题
5分,共
20分。
13.曲线y2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________.
x
2y
5≥0,
的最大值为__________.
14.若
满足约束条件
2y
≥
则
x,y
x
30,
zxy
x
5≤0,
5π
1,则tanα__________.
15.已知tan(α
)
4
5
16.已知圆锥的顶点为
,母线
,
互相垂直,
与圆锥底面所成角为
,若
的面积为
,则
S
SA
SB
SA
30
△SAB
8
.资料
======
====
该圆锥的体积为__________.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考
生都必须作答。
第22、23为选考题。
考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a17,S315.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:
亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,
建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000
年至2016年的数据(时间变量
t的值依次为1,2,
17)建立模型①:
?
y
30.413.5t;根据2010年
至2016年的数据(时间变量
t的值依次为1,2,
?
7)建立模型②:
y
99
17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?
并说明理由.
19.(12分)
如图,在三棱锥PABC中,ABBC22,PAPBPCAC4,O为AC的中点.
.资料
======
====
(1
)证明:
PO
平面ABC;
(2
)若点M在棱BC上,且MC
2MB,求点C到平面POM的距离.
20.(12分)
设抛物线C:
y2
4x的焦点为
F,过F且斜率为k(k
0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
21.(12分)
已知函数fx
1x3ax2
x1.
3
(1)若a3,求f(x)的单调区间;
(2)证明:
f(x)只有一个零点.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系
xOy中,曲线C的参数方程为
2cosθ(,
为参数),直线的参数方程为
x
θ
y
4sinθ
(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
设函数f(x)5|xa||x2|.
(1)当a1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
.资料
8.
x1tcosα,y2tsinα
======
====
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.D
6.A
7.A
8.B
9.C
10.C
11.D
12.C
二、填空题
13.y=2x–2
14.9
15.3
16.8π
2
三、解答题
17.解:
(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.
由a1=–7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n–9.
(2)由
(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.
18.解:
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$
y=–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$
y=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一
条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年
.资料
======
====
$
至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变
化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1
亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更
可靠.
以上给出了
2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.学科
@网
19.解:
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=23
.
连结OB.因为ABBC2
==AC
ABC
OBACOB1
AC=2.
2
,所以△
为等腰直角三角形,且
⊥,
=2
由
OP2OB2PB2知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由
(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知
=1AC=2,=
2BC
4
2,∠=45°.
所以OM=2
OC2
CM
3
=
3
ACB
5,CH=OC
MCsin
ACB=4
5.
3
OM
5
所以点C到平面POM的距离为4
5.
5
20.解:
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)
(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).
.资料
======
====
y
k(x
1)
由
4x
得k2x2
(2k2
4)xk2
0.
y2
16k2
160,故x1
x22k2
24.
k
所以ABAF
BF(x11)(x2
1)4k2
24.
2
k
由题设知4k
48,解得k=–1(舍去),k=1.
k2
因此
的方程为
=–1.
l
yx
(2)由
(1)得
AB的中点坐标为(
3,2),所以AB的垂直平分线方程为
y2(x3),即yx5.
设所求圆的圆心坐标为(x,y),则
00
y0
x0
5,
x0
,
x0
,
2
3
11
解得
或
1)2
(x
(y0x01)16.
y0
2
y0
6.
0
2
因此所求圆的方程为
(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.
21.解:
1
3
2
(1)当a=3时,f(x)=x
3x
3
令f′(x)=0解得x=3
23或x=323.
2
3x3,f′(x)=x6x3.
当
∈(∞,
)∪(
,+∞)时,′(
)>0;
x
–323
323
f
x
当x∈(323,323)时,f′(x)<0.
故f(x)在(–∞,3
2
3),(3
2
3,+∞)单调递增,在(
3
23,32
3)单调递减.
(2)由于
2
,所以f(x)
0等价于
x3
3a
0.
x2
x
x1
0
x1
设g(x)
x3
,则g
′(x)
x2(x2
2x
3)≥,仅当
x
时g′(x)
,所以g(x)在
=x
2
x1
3a
=
(x2
x1)2
0
=0
=0
(∞,+∞)单调递增.故
()至多有一个零点,从而
()至多有一个零点.学·科网
–
gx
f
x
又f(3a–1)=
6a2
2a
1
6(a
1)2
1
0,f(3a+1)=
1
0,故f(x)有一个零点.
3
6
6
3
综上,f(x)只有一个零点.
.资料
======
====
22.解:
x2
y2
1.
(1)曲线C的直角坐标方程为
16
4
当cos
0时,l的直角坐标方程为
y
tanx2tan,
当cos
0时,l的直角坐标方程为
x
1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程
(13cos2)t24(2cossin)t80.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1t20.
又由①得t
4(2cos
sin)
t
2
,故
2cossin
0
,于是直线
l
的斜率
ktan
2
.
12
13cos
23.解:
(1)当a
1时,
2x
4,x
1,
f(x)
2,
1
x2,
2x
6,x
2.
可得f(x)0的解集为{x|2x3}.
(2)f(x)1等价于|xa||x2|4.
而|xa||x2||a2|,且当x2时等号成立.故f(x)1等价于|a2|4.
由|a2|4可得a6或a2,所以a的取值范围是(,6][2,).
.资料
======
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