1-2 由微分方程求状态空间表达式.pptx
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1.2由微分方程求状态空间表达式,一个系统,用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。
通过选择合适的状态变量,就可以得到状态空间表达式。
这里分两种情况:
1、微分方程中不含输入信号导数项,(即1.2.1中的内容)2、微分方程中含有输入信号导数项,(即1.2.2中的内容),1.2.1微分方程中不含有输入信号导数项首先考察三阶系统,其微分方程为,选取状态变量则有写成矩阵形式,状态图如下:
一般情况下,n阶微分方程为:
选择状态变量如下:
写成矩阵形式:
系统的状态图如下:
1.2.2微分方程中含有输入信号导数项
(一)待定系数法首先考察三阶系统,其微分方程为选择状态变量:
其中,待定系数为:
于是,写成矩阵形式,系统的状态图,一般情况下,n阶微分方程为:
选择n个状态变量为,系统方程为,系统状态图如下,
(二)辅助变量法设n阶微分方程为:
Laplace变换,求传递函数,引入辅助变量z,返回到微分方程形式:
以及选择状态变量如下:
写成矩阵形式,注:
如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同,则有d。
例1-4已知描述系统的微分方程为,试求系统的状态空间表达式。
解
(1)待定系数法选择状态变量如下其中,于是系统的状态空间表达式为,
(2)辅助变量法,引入辅助变量z,选择状态变量,于是系统的状态空间表达式为,1.3传递函数矩阵,传递函数系统初始松弛(即:
初始条件为零)时,输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。
1.3.1传递函数单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为,在初始松弛时,求Laplace变换,并且化简状态变量对输入量的传递函数,输出量对输入量的传递函数(即:
传递函数),例1-5系统状态方程式为,求系统传递函数。
解:
1.3.2传递函数矩阵状态空间表达式为进行拉普拉斯变换,如果,存在,则,如果,则状态变量对输入向量的传递函数矩阵:
而,状态变量对输入向量的传递函数矩阵:
其结构为,对第j,式中,表示只有第j个输入作用时,第i个输出量个输入量的传递函数。
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