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高三数学综合复习知识点整理
第1讲集合
1.集合:
某些指定的对象集在一起成为集合
(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作
aA;若b不是集合a的元素,记作b'A;
(2)集合中的元素必须满足:
确定性、互异性与无序性;
确定性:
设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,
则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必
有一种且只有一种成立;
互异性:
一个给定集合中的元素,指属于这个集合的
互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复
出现同一元素;
无序性:
集合中不同的元素之间没有地位差异,集合
不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
描述法:
把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
具体方法:
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
正整数集,记作N*或N+;
整数集,记作Z;
有理数集,记作Q;
实数集,记作Ro
2.集合的包含关系:
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B
的子集(或B包含A),记作aQB(或AUB);集合相等:
构成两个集合的元素完全一样。
若AJB且
B=A,则称A等于B,记作A=B;若A二B且A=B,则称A是B的真子集,记作AB;
(2)简单性质:
1)A二A;2):
门A;3)若A二B,B二C,则A—C;4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);
3.全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为
全集,记作U;
(2)若S是一个集合,A^S,则,
Cs={x|x・S且x^A}称S中子集A的补集;
(3)简单性质:
1)CS(CS)=A;2)CSS=:
」,Cs处=s
4.交集与并集:
(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集。
交集
A一B={x|xA且xB}o
(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。
并集A_.B={x|xA或xB}
注意:
求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在
处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
5.集合的简单性质:
(1)
A一A二代A:
:
」-:
」,A一B二B一A;
(2)A_.:
•:
」=代A'.B=B'.A;
(3)(A,B)二(A一B);
(4)
A-B:
=A一BA-B:
=A_.B=B
(4)CS(AnB)=(CSA)U(CSB),
Cs(AUB)=(CsA)n(Csb)o
【典例解析】
题型1:
集合的概念
例1.(2009广东卷理)已知全集U=R,集合
M二{x-2乞x—1乞2}和
N={xx=2k_1,k=1,2「、}的关系的韦恩
(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共
答案B
解析由M二{x-2_x-1_2}得
一1乞x辽3,则M'N二「1,3〉有2个,选B.
例2.(2009山东卷理)集合
A・.0,2,a?
B,,a=,若
AB=「0,1,2,4,16?
则a的值为()
A.0B.1C.2D.4
答案D
解析v
A—0,2,a>B—1,a「,
A^'0,1,2,4,16?
^a=16二a=4
ia=4
故选D.
题型2:
集合的性质
例3.(2009山东卷理)集合
A—0,2,a},B£1,a2?
若
AB-<0,1,2,4,16/,则a的值为()
A.0B.1C.2D.4
答案D
解析v
A—0,2,a»B/,a21
AB—0,1,2,4,16La_16二a=4,
a=4
故选D.
1.设全集U=RA={x€N|1 2.已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8<0},若AHB 工©,则实数a的取值范围为(). 解: 由题知可解得A={y|y>a2+1或y a 2 4 l a2+1 a<2 a<2 们不妨先考虑当AHB=©时a的范围.如图 由」2,得」厂亠厂 a+1^4a^j3或a—J3 A /■a_-、3或、3_a_2. 即AHB=©时a的范围为a<-3或3_a_2. 而AHB=©时a的范围显然是其补集,从而所求范围为 £|a.2或-3: : a: : : -..3】 注: 一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先 考虑其反面,再利用其补集,求得其解,这就是“补集思想”. 例4.已知全集S={1,3,x3-x2「2”, A={1,2x—1}如果CsA={0},则这样的实数x是否 存在? 若存在,求出x,若不存在,说明理由 解: vCSA={0}; -0•S且0tA,即x3-x2-2x=0,解得 当x=0时,2x—*=1,为a中元素; 当X=—1时,2x—1=3S 当x=2时,2x—1|=3运S 二这样的实数x存在,是x--1或x=2。 另法: vCsA={0 二0S且0yA,3A 32 -x-x-2x=0且2xT=3 二x~-1或x=2。 点评: 该题考察了集合间的关系以及集合的性质。 分类讨论 的过程中“当x=0时,2x—1=1”不能满足集合中 元素的互异性。 此题的关键是理解符号CSA二{0}是两层含义: 0三S且0'A。 变式题: 已知集合 2 A二{m,md,m2d},B二{m,mq,mq} 其中m=0,且A=B,求q的值。 解: 由A=B可知, (i) 'm+d=mq m+2d=mq AICNB=() A.「1,5,7? B.: 3,5,7? c.「1,3,9? d.: 1,2,3? 答案A 解析易有ACnB=11,5,7],选a 题型4: 图解法解集合问题 例7.(2009年广西北海九中训练)已知集合 或 (2) m+d=mq2 、m+2d=mq f22 xy M=』X|——+—— 94 N=r/十丄,则 .32; 解(i)得q=1, 解 (2)得q=1,或q= 2 又因为当q=1时,m=mq二mq2与题意不符, MN= () A.•一 c.〔-3,31 答案c b.{(3,0),(2,0)} d.「3,21 、1 所以,q= 2 题型3: 集合的运算 例5.(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数 f(x) X1 "2 的定义域集合是 A,函数 22 g(x)=lg[x-(2a1)xaa]的定义域 集合是B (1)求集合A、B (2)若AB=B,求实数a的取值范围. 解 (1)A—x|X^-1或x2 例8.设全集-=R,函数 f(x)二lg(|X1|a—1)(a: : : 1)的定义域为a 集合B={x|cos二xJ,若(C_A)B恰好有 2个元素,求a的取值集合。 解: |x111-a0=|x1|1-a a-1时,1-a0: .x-a或x: : a—2 二A=(-: -,a-2)(-a■-)cos「: x=1,「x=2k二,-x=2k(kz) (2)由AB=B得A 丄a•-1 B,因此 la+1乞2 所以一1: : : a乞1,所以实数a的取值范围是一1,11 例6.(2009宁夏海南卷理)已知集合 A—1,3,5,7,9? B—0,3,6,9,12? 则 二B二{x|x=2k,kz} 当a: : : 1时,CA二[a-2,-a]在此区间上恰有2个偶数。 <1 *aW—a£2n-23兰0 —4va—2兰一2 - 题型7: 集合综合题 例11.(1999上海,17)设集合A={x||x—a|<2}, 2x-1 B={x|<1},若A•—B,求实数a的取值范围。 x2 解: 由|x—a|<2,得a—2 2x-1x-3 由<1,得<0,即一2 x2x2 2 a-^-2 因为aQb,所以*,于是0wa<1。 a+2兰3 第二讲函数概念与表示 1.函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使 对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一确定的数⑹和它对应,那么就称f: A-B为从集合A到集合B的一个函数。 记作: y=f(x),x€A。 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x€A}叫做函数的值域。 注意: (1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示, 如"y=g(x)"; (2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x 2.构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式: 1自然型: 指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如: 分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等); 2限制型: 指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函 数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误; 3实际型: 解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义。 (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题 ①配方法(将函数转化为二次函数);②判别式法(将函数转化为二次方程);③不等式法(运用不等式的各种性质): ④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等)。 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则fo当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。 因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。 4.区间 (1)区间的分类: 开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示 5.映射的概念 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素X,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f: A》B为从集合A到集合B的一个映射。 记作“f: A>B”函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件 “非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。 注意: (1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。 (2)“都有唯一”包含两层意思: 一是必有一个;二是只有 一个,也就是说有且只有一个的意思 6.常用的函数表示法 (1)解析法: 就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表 示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式; (2)列表法: 就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法: 就是用函数图象表示两个变量之间的关系 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的 解析式不同,这种函数又称分段函数; 8.复合函数 若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u・(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合 函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域 【典例解析】题型1: 函数概念 例1.21.(2009天津卷文)设函数 f(x) 2 x—4x+6,xK0? +6,x£0 则不等式f(x)>f (1)的解集是() A.(-3,1)一(3,: : )B.(-3,1)-(2,: : ) c.(-1,1)一(3,d.(」: ,-3)-(1,3) 答案A 解析由已知,函数先增后减再增 当x_0,f(x)_2f (1)=3令f(x)=3, |xl (2)f(x)=,g(x) X 1x_0, -1x: : : 0; 解得x=1,x=3 当x: : : 0,x6=3,x--3 故f(x).f (1)=3,解得一3..x: : 1或x.3 变式题: (2009北京文)已知函数 (3)f(X)=2n1x2n1,g(X)=(2n[x)2n「1(n€ N*); (4)f(x)=.、xIX1,g(X)=X2亠X; (5)f(x)nx2—2x-1,g(t)=t2-2t—1。 X<1 由 X=log32, f(x)J3'X叮,若f(x)=2,则I—X,X", x=.答案Iog32 解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 解: (1)由于f(x)=』x2=|x|,g(x)=3x3=x,故它 们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数; |x| (2)由于函数f(X)=的定义域为(一比,0)U(0, X 1x工0, +X),而g(x)=J的定义域为R,所以它们 -1X£0; 不是同一函数; (3)由于当n€N*时,2n±1为奇数, X1 -x=2二x--2 无解,故应填log32. 二f(X)=2nJyx2n^=X,g(x)=(2n^"X)2n1=x,它 们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数; 例2. (1)函数fx对于任意实数x满足条件 (4)由于函数f(X)=.,X.X1的定义域为{x|x>0}, fx2,若f1--5,则 f(x) ff5=; 解: (1)由fx2二 f(x), 所以f(5)=f (1)--5,则 而g(x)=...X2丁X的定义域为{x|x<-1或x>0},它们 的定义域不同,所以它们不是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数 点评: 对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表 示同一函数若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然。 (1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透要知道,在函数的定义域及对应法则f ff5=f(-5)=f(-1) 1 f(T2) 不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表 1达式,这对于函数本身并无影响,比如f(x)=X2+1,f(t) =—— 2x-x2lg(2x-1) (3-2x)0; 题型二: 判断两个函数是否相同 例3.试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)=Jx2,g(x)=3X3;个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数 题型三: 函数定义域问题 例4.求下述函数的定义域: 22 (2)f(x)=lg(x-ka)lg(x-a). r2 2x—x2KO 2x—1aO 解: (i)牛<,解得函数定义域为 2x—1知 3—2xHO I(1,2)(3,2] xaka (2)丁」22,(先对a进行分类讨论,然后对k x>a 进行分类讨论),①当a=o(k•R)时,函数定义域为(0,•: : ); 变式题: 已知函数f(x) 33x_1 ax2ax-3 的定义域是R, 则实数a的取值范围是() 1 A.a>B.—12 3 1 D.aw 3 a式0, 解:
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