大一下学期高等数学考试题.docx
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大一下学期高等数学考试题
一、 单项选择题(6×3分)
1、设直线
,平面
,那么
与
之间的夹角为( )
A.0 B.
C.
D.
2、二元函数
在点
处的两个偏导数都存在是
在点
处可微的( )
A.充分条件 B.充分必要条件
C.必要条件 D.既非充分又非必要条件
3、设函数
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
4、二次积分
交换次序后为( )
A.
B.
C.
D.
5、若幂级数
在
处收敛,则该级数在
处( )
A.绝对收敛 B.条件收敛
C.发散 C.不能确定其敛散性
6、设
是方程
的一个解,若
,则
在
处( )
A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值
二、 填空题(7×3分)
1、设
=(4,-3,4),
=(2,2,1),则向量
在
上的投影
=
2、设
,
,那么
3、D为
,
时,
4、设
是球面
,则
=
5、函数
展开为
的幂级数为
6、
=
7、
为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
三、计算题(4×7分)
1、设
,其中
具有二阶导数,且其一阶导数不为1,求
。
2、求过曲线
上一点(1,2,0)的切平面方程。
3、计算二重积分
,其中
4、求曲线积分
,其中是
沿曲线
由点(0,1)到点(2,1)的弧段。
5、求级数
的和。
四、综合题(10分)
曲线上任一点的切线在
轴上的截距与法线在
轴上的截距之比为3,求此曲线方程。
五、证明题(6分)
设
收敛,证明级数
绝对收敛。
一、 单项选择题(6×3分)
1、 A 2、 C 3、 C 4、 B 5、 A 6、 D
二、 填空题(7×3分)
1、2 2、
3、
4、
5、
6、0 7、
三、计算题(5×9分)
1、解:
令
则
,
故
2、解:
令
则
所以切平面的法向量为:
切平面方程为:
3、解:
=
=
=
4、解:
令
,
则
当
,即在x轴上方时,线积分与路径无关,选择
由(0,1)到(2,1)则
=
=
=
5、解:
令
则
,
即
令
,则有
=
四、综合题(10分)
解:
设曲线
上任一点为
,则
过
的切线方程为:
在
轴上的截距为
过
的法线方程为:
在
轴上的截距为
依题意有
由
的任意性,即
,得到
这是一阶齐次微分方程,变形为:
……………………..
(1)
令
则
,代入
(1)
得:
分离变量得:
解得:
即
为所求的曲线方程。
五、证明题(6分)
证明:
即
而
与
都收敛,由比较法及其性质知:
收敛
故
绝对收敛。
一,单项选择题(6×4分)
1、直线
一定( )
A.过原点且垂直于x轴 B.过原点且平行于x轴
C.不过原点,但垂直于x轴 D.不过原点,但平行于x轴
2、二元函数
在点
处
①连续 ②两个偏导数连续 ③可微 ④两个偏导数都存在
那么下面关系正确的是( )
A②
③
① B.③
②
①
C.③
④
① D.③
①
④
3、设
,则
等于( )
A.0 B.
C.
D.
4、设
,改变其积分次序,则I=( )
A.
B.
C.
D.
5、若
与
都收敛,则
( )
A.条件收敛 B.绝对收敛
C.发散 C.不能确定其敛散性
6、二元函数
的极大值点为( )
A.(1,0) B.(1,2) C.(-3,0) D.(-3,2)
二、 填空题(8×4分)
1、过点
(1,3,-2)且与直线
垂直的平面方程为
2、设
,则
=
3、设D:
,
,则
4、设
为球面
,则
=
5、幂级数
的和函数为
6、以
为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为
7、若
收敛,则
=
8、
平面上的曲线
绕
轴旋转所得到的旋转面的方程为
三、计算题(4×7分)
1、设
可微,
由
确定,求
及
。
2、计算二重积分
,其中
。
3、求幂级数
的收敛半径与收敛域。
4、求曲线积分
,其中
是由
所围成区域边界取顺时针方向。
四、综合题(10分)
曲线
上点
的横坐标的平方是过
点的切线与
轴交点的纵坐标,求此曲线方程。
五、证明题(6分)
设正项级数
收敛,证明级数
也收敛。
一、 单项选择题(6×4分)
1、 A 2、 A 3、 C 4、 B 5、 B 6、 D
二、 填空题(8×4分)
1、
2、
3、4 4、
5、
6、
7、1 8、
三、计算题(4×7分)
1、解:
令
2、解:
=
=
=
=
=
3、解:
令
对于
,
当
时
=
发散
当
时,
=
也发散
所以
在
时收敛,在该区间以外发散,即
解得
故所求幂级数的收敛半径
为2,收敛域为(0,4)
4、解:
令
,
则
,由格林公式得到
=
=
=
=4
四、综合题(10分)
解:
过
的切线方程为:
令X=0,得
依题意有:
即
…………………………..
(1)
对应的齐次方程解为
令所求解为
将
代入
(1)得:
故
(1)的解为:
五、证明题(6分)
证明:
由于
收敛,所以
也收敛,
而
由比较法及收敛的性质得:
收敛。
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