有趣的斐波那契数列例子.docx

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有趣的斐波那契数列例子

斐波那契数列

卒于1240年,

（LiberAbacci）

斐波那契的发明者，是数学家（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，

籍贯大概是）。

他被人称作比萨的列昂纳多”。

1202年，他了《珠算原理》一书。

他是第一个研究了和数学理论的人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

他还曾在、、、和研究。

斐波那契数列指的是这样一个数列：

1、1、2、3、5、813、21、

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列通项公式

通项公式

（见图）（又叫比内公式”，是用表示的一个范例。

）

注：

此时a仁1,a2=1,an=a（n-1）+a（n-2）（n>=3,n€N*）

通项公式的推导

斐波那契数列：

1、1、2、3、5、8、13、21、……

如果设F（n）为该数列的第n项（n€N+）。

那么这句话可以写成如下形式：

F（0）=0,F

（1）=1,F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n>2,）

显然这是一个递推数列。

方法一：

利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为：

XA2=X+1

解得

X1=（1+V5）/2,,X2=（1-V5）/2。

贝UF（n）=C1*X1An+C2*X2An。

•/F

（1）=F

（2）=1。

•••C1*X1+C2*X2。

C1*X1A2+C2*X2A2。

解得C1=1/V5,C2=-1/V5

•F（n）=（1/V5）*{[（1+V5）/2]A（n+1）-[（1-V5）/2]人（n+1）}（V5表示5）。

方法二：

待定系数法构造等比数列1（初等待数解法）

设常数r,s。

使得F（n）-r*F（n-1）=s*[F（n-1）-r*F（n-2）]。

贝Vr+s=1,-rs=1。

n》3时，有。

F（n）-r*F（n-1）=s*[F（n-1）-r*F（n-2）]。

F（n-1）-r*F（n-2）=s*[F（n-2）-r*F（n-3）]。

F（n-2）-r*F（n-3）=s*[F（n-3）-r*F（n-4）]。

F（3）-r*F

（2）=s*[F

（2）-r*F

（1）]

联立以上n-2个式子，得：

F（n）-r*F（n-1）=[sA（n-2）]*[F

（2）-r*F

（1）]。

•/s=1-r,F

（1）=F

（2）=1。

上式可化简得：

F（n）=sA（n-1）+r*F（n-1）。

那么：

F（n）=sA（n-1）+r*F（n-1）。

=sA（n-1）+r*sA（n-2）+「A2*F（n-2）。

=sA（n-1）+r*sA（n-2）+「人2*$人（n-3）+「A3*F（n-3）

=sA（n-1）+r*sA（n-2）+「人2*$人（n-3）++"（n-2）*s+「人（n-1）*F

（1）。

=sA（n-1）+r*sA（n-2）+「A2*sA（n-3）++"（n-2）*s+"（n-1）。

（这是一个以sA（n-1）为首项、以rA（n-1）为末项、r/s为公比的的各项的和）。

=[sA（n-1）-「A（n-1）*r/s]/（1-r/s）。

=（sAn-—n）/（s-r）。

r+s=1,-rs=1的一解为s=（1+V5）/2,r=（1-V5）/2

则F（n）=（1/V5）*｛[（1+V5）/2]A（n+1）-[（1-V5）/2]人（n+1）｝。

方法三：

待定系数法构造等比数列2（初等待数解法）

已知a仁1,a2=1,an=a（n-1）+a（n-2）（n>=3）,求数列｛an｝的通项公式。

解：

设an-aa（n1）=3（a（n-1）-aa（n2））。

得a+3=1

a3=。

构造方程XA2-X-仁0,解得a=（1-V5）/2,3=（1+V5）或a=（1+V5）/2,3=（V5）/2。

所以。

an-（1-V5）/2*a（n-1）=（1+V5）/2*（a（n-1）-（1-V5）/2*a（n-2））=[（1+V5）/2]A（n2）*（a2-（1-V5）/2*a1

）1。

an-（1+V5）/2*a（n-1）=（1-V5）/2*（a（n-1）-（1+V5）/2*a（n-2））=[（1-V5）/2]A（n-2）*（a2-（1+V5）/2*a1）、、、、、、、、、2

由式1,式2,可得。

an=[（1+V5）/2]A（n-2）*（a2-（1-V5）/2*a1）3。

an=[（1-V5）/2]A（n-2）*（a2-（1+V5）/2*a1）4。

将式3*（1+V5）/2-式4*（1-V5）/2,化简得an=（1/V5）*｛[（1+V5）/2]An-[（1-V5）/2]人n｝。

与黄金分割的关系

有趣的是：

这样一个完全是的数列，通项公式却是用无理数来表达的。

而且当n

时（an-1）/an越来越逼近数0.618。

越到后面，这些比值越接近黄金比

证明：

a[n+2]=a[n+1]+a[n]。

两边同时除以a[n+1]得到:

a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x,

则lim[n->m]（a[n+2]/a[n+1]）=lim[n->m]（a[n+1]/a[n]）=x。

所以x=1+1/x。

即x²=x+1。

所以极限是黄金分割比

奇妙的属性

斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前

比如松果、凤梨、树

5是奇数，它是奇数项，如果认为数字

n项同时也代表了{1,2,...,n}中所有不相邻正的个数。

）的其他性质:

1.f（0）+f

（1）+f

（2）+

…+f（n）=f（n+2）-1。

2.f

（1）+f（3）+f（5）+

…+f（2n-1）=f（2n）。

3.f

（2）+f（4）+f（6）+

…+f（2n）=f（2n+1）-1。

4.[f（0）]A2+[f

（1）]A2+

…+[f（n）F2=f（n）-f（n+。

）

叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。

比如钢琴上白键的8,黑键上的5都是斐波那契数，因该把它看做巧合还是规律呢

从第二项开始，每个奇数项的都比前后两项之积多1，每个项的平方都比前后两

项之积少1。

（注：

奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是列的本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项

5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）多了的一在哪如果你看到有这样一个题目:

某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的，故

作惊讶地问你：

为什么64=65其实就是利用了斐波那契数列的这个性质:

13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的

确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

斐波那契数列的第

斐波那契数列（

f（n），f（0）=0,f

（1）=1,f

（2）=1,f（3）=2

5.f（0）-f

（1）+f

（2）-…+（-1）anf（n）=（-1）人n[f（n+1）-f（n）]+1。

6.f（m+n-1）=f（m-1）-f（n-1）+f（m）f（n）。

O（logn）的程序。

f（Ml）。

利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为怎样实现呢伪代码描述一下？

7.[f（n）]A2=（-1）A（n-1）+f（n-1）

8.f（2n-1）=[f（n）F2-[f（n-2）]人2。

9.3f（n）=f（n+2）+f（n-2）。

>m^-1,且

斐波那契数列

11.f（2n+1）=[f（n）F2+[f（n+1）]A2.

在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列

将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、

3、5、8、

公式表示如下：

f

（1）=C（0,0）=1。

f

（2）=C（1,0）=1。

f（3）=C（2,0）+C（1,1）=1+仁2。

f（4）=C（3,0）+C（2,1）=1+2=3。

f（5）=C（4,0）+C（3,1）+C（2,2）=1+3+1=5。

f（6）=C（5,0）+C（4,1）+C（3,2）=1+4+3=8。

F（7）=C（6,0）+C（5,1）+C（4,2）+C（3,3）=1+5+6+1=13。

F（n）=C（n-1,0）+C（n-2,1）+…+C（n-1-m,m）（m<=n-1-m）斐波那契数列的整除性与素数生成性

每3个数有且只有一个被2整除，

每4个数有且只有一个被3整除，

每5个数有且只有一个被5整除，

每6个数有且只有一个被8整除，

每7个数有且只有一个被13整除，

每8个数有且只有一个被21整除，

每9个数有且只有一个被34整除，

我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：

5,13,89,233,1597,28657

（第19位不是）

斐波那契数列的素数无限多吗

斐波那契数列的个位数：

一个60步的循环

11235,83145,94370,77415,61785.38190,

99875,27965,16730,33695,49325,72910…

斐波那契数与植物花瓣

3百合和蝴蝶花

5蓝花耧斗菜、、飞燕草、毛茛花

8翠雀花

13金盏

和玫瑰

21紫宛

34、55、89雏菊

斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。

例如，在树木的枝干上选

一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正

对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。

叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。

叶子在一个循回中的圈数也是斐波那契数。

在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为（源自希腊词，意即叶子的排列）比。

多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

斐波那契一卢卡斯数列与广义斐波那契数列

斐波那契一卢卡斯数列

数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。

（我们可称之为

斐波那契一卢卡斯递推：

从第三项开始，每一项都等于前两项之和f（n）=f（n-1）+

f（n-2））。

这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F（n）*L（n）=F（2n），及L（n）

=F（n-1）+F（n+1）

类似的数列还有无限多个，我们称之为。

女口1,4,5,9,14,23…，因为1,4开头，可记作F[1,4]，斐波那契数列就是

F[1,1]，卢卡斯数列就是F[1,3]，斐波那契一卢卡斯数列就是F[a,b]。

斐波那契一卢卡斯数列之间的广泛联系

①任意两个或两个以上斐波那契一卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契一卢卡

斯数列。

女口：

F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n,F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1]（n-1）

②任何一个斐波那契一卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如

F[1,3]n13471118294776123

黄金特征与孪生斐波那契一卢卡斯数列

斐波那契一卢卡斯数列的另一个共同性质：

中间项的平方数与前后两项之积的差

的是一个恒值，

斐波那契数列：

|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-

5*13|=…=1

卢卡斯数列：

|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5

F[1,4]数列：

|4*4-1*5|=11

F[2,5]数列：

|5*5-2*7|=11

F[2,7]数列：

|7*7-2*9|=31

斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近最快，

我们称为黄金特征,

黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。

卢卡斯数列的黄金特征是5,也

是独生数列。

前两项的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。

而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11,是孪生数列。

F[2，7]也有孪生数列：

F[3，8]。

其他前两项互质的斐波那契一卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契

—卢卡斯数列。

广义斐波那契数列

斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩儿数列：

1,2,5,12,29，…，

也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种称为勾股特征）。

数列Pn的递推规则：

P1=1,P2=2,Pn=P（n-2）+2P（n-1）.

据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：

f（n）=f（n-1）*p+f（n-2）*q,

称为广义斐波那契数列。

当p=1,q=1时，我们得到斐波那契一卢卡斯数列。

当p=1,q=2时，我们得到佩尔一勾股弦数（跟边长为整数的有关的数列集合）。

当p=-1,q=2时，我们得到等差数列。

其中f1=1,f2=2时，我们得到自然数列1,

1（等差数列的

p=±1。

2,3,4…。

自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为这种差值称为）。

具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列

当f1=1,f2=2,p=2,q=1时，我们得到等比数列1,2,4,8,16

相关的数学问题

1•排列组合

要登上第10级台阶有

有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级

几种不同的走法？

这就是一个斐波那契数列：

登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

1,2,3,5,8,13……所以，登上十级，有89种走法。

类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种

答案是（1/V5）*{[（1+V5）/2]（10+2）-[（1-V5）/2]A（10+2）}=144种。

2•数列中相邻两项的前项比后项的极限

当n趋于无穷大时，F（n）/F（n+1）的极限是多少

这个可由它的通项公式直接得到，极限是（-1+V5）/2，这个就是黄金分割的数值,

也是代表的和谐的一个数字。

3•求递推数列a

（1）=1，a（n+1）=1+1/a（n）的通项公式

由可以得到：

a（n）=F（n+1）/F（n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。

3•兔子繁殖问题（关于斐波那契数列的别名）

斐波那契数列又学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。

如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对

两个月后，生下一对小兔民数共有两对

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对

依次类推可以列出下表:

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。

这个数列有关十分明显的特点，那是：

前面相邻两项之和，构成了后一项。

这个数列是意大利数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个的通项公式，除

了具有a（n+2）=an+a（n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：

an=（1/V5）*{[（1+V5）/2]g[（1-V5）/2]人n}（n=1,2,3••…）

数学游戏

一位拿着一块边长为8英尺的地毯，对他的地毯匠朋友说：

请您把这块地毯分

成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方

形地毯。

”这位匠师对魔术师之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！

可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！

这真是不可思议的事！

亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢

实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺。

自然界中的巧合

斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。

例如，树木的生长，由于

新生的枝条，往往需要一段休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。

所以，一

株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝休息”老枝依旧萌

发；此后，老枝与休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年休息”这样，

一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。

这个规律，就是生物学上着名的

鲁德维格定律”。

另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、

蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：

3、5、&13、21、……

斐波那契螺旋：

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的的头部

这些植物懂得斐波那契数列吗应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成

这样。

这似乎是植物排列种子的优化方式”它能使所有种子具有差不多的大小却又

疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。

叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为黄金

角度”因为它和整个圆周360度之比是，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的

产生。

向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。

数字谜题

三角形的三边关系和斐波那契数列的一个联系：

现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2）,每段的长度不小于1cm，如果其

中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少

分析：

由于形成三角形的是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件

就是任意两边之和不超过最大边。

截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条

就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前

面的相邻2段之和），依次为：

1、1、2、3、5、&13、21、34、55，以上各数之和

为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。

我们看到，每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最1

产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。

这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。

在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144

超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成

三角形了。

影视作品中的斐波那契数列

斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》

里又是在店主招聘会计时随口问的问题。

可见此数列就像黄金分割一样流行。

可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。

在电视剧中也出现斐波那契数列，比如：

日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道社会文明中的斐波那契数列

艾略特波浪理论

1946年，艾略特完成了关于波浪理论的集大成之作，《自然法则一一宇宙的秘密》

艾略特坚信，他的波浪理论是制约人类一切活动的普遍自然法则的一部分。

波浪理论的优点是，对即将出现的顶部或底部能提前发出警示信号，而传统的技术分析方法只有事后才能验证。

艾略特波浪理论对市场运作具备了全方位的透视能力，从而有助于解释特定的形态为什么要出现，在何处出现，以及它们为什么具备如此这般的预测意义等等问题。

另外，它也有助于我们判明当前的市场在其总体周期结构中所处的地位。

波浪理论的数学基础，就是在13世纪发现的费氏数列。

波浪理论数学结构8浪循环图

8浪循环图说明

波浪理论的推动浪，浪数为5（1、2、3、4、5）,调整浪的浪数为3（a\b\c）,

合起来为&

8浪循环中，前5段波浪构成一段明显的上升浪，其中包括3个向上的冲击波及

两个下降的调整波。

在3个冲击波之后，是由3个波浪组成的一段下跌的趋势，是对

前一段5浪升势的总调整。

这是艾略特对波浪理论的基本描述。

而在这8个波浪中，

上升的浪与下跌的浪各占4个，可以理解为艾略特对于股价走势对称性的隐喻。

在波浪理论中，最困难的地方是：

波浪等级的划分。

如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性，不仅需要形态上的支持，而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断。

换句话说，波浪理论易学难精，易在形态上的归纳、总结，难在价位及时间周期的判定。

波浪理论的数字基础：

斐波那契数列

波浪理论数学结构——

斐波那契数列与黄金分割率

这个数列就是斐波那契数列。

它满足如下特性：

每两个相连数字相加等于其后第一个数字；前一个数字大约是后一个数字的0.618倍；前一个数字约是其后第二个

数字的0.382倍；后一个数字约是前一个数字的1.618倍；后一个数字约是前面第二

个数字的2.618倍；

由此计算出常见的黄金分割率为（0.5和1.5外）：

0.191、0.236、0.382、0.618、0.809、

1.236、1.382、1.618、1.764、1.809

黄金分割比率对于股票市场运行的时间周期和价格幅度模型具有重要启示及应

用价值。

黄金分割比率在时间周期模型上的应用

未来市场转折点=已知时间周期x分割比率

已知时间周期有两种：

（1）循环周期：

最近两个顶之间的运行时间或两个底之间的运行时间

（2）趋势周期：

最近一段升势的运行时间或一段跌势的运行时间

一般来讲，用循环周期可以计算出下一个反向趋势的终点，即用底部循环计算下一个升势的顶，或用顶部循环计算下一个跌势的底。

而用趋势周期可以计算下一个同方向趋势的终点或是下一个反方向趋势的终点。

时间循环周期模型预测图

时间趋势周期模型预测图

时间周期与波浪数浪的数学关系

一个完整的趋势（推动浪3波或调整浪3波），运行时间最短为第一波（1浪或A

浪）的1.618倍，最长为第一波的5.236倍。

如果第一波太过短促，则以第一个循环计

算（A浪与B浪或1浪与2浪）。

1.382及1.764的周期一旦成立，则出现的行情大多属次级趋势，但行情发展迅速。

同级次两波反向趋势组成的循环，运行时间至少为第一波运行时间的1.236倍。

一个很长的跌势（或升势）结束后，其右底（或右顶）通常在前趋势的1.236或1.309

倍时间出现。