高三模拟数学理试题含答案.docx
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高三模拟数学理试题含答案
2019-2020年高三4月模拟数学(理)试题含答案
一、选择题(每题5分,共50分)
1.复数,则
A.=2B.z的实部为l
C.z的虚部为-iD.z的共轭复数为-1+i
2.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()
A.B.C.D.
3.“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.某学生四次模拟考试时,其英语作文的减分情况如下表:
考试次数x
1
2
3
4
所减分数y
4.5
4
3
2.5
显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系,则其线性回归方程为
A.B.
C.D.
5.若一个底面是等腰直角三角形(C为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于
A.B.1C.D.
6.实数x,y满足,则的最小值为3,则实数b的值为
A.B.—C.D.—
7.如图,在矩形内:
记曲线与直线围成的区域为(图中阴影部分).随机往矩形内投一点,则点落在区域内的概率是
A.B.C.D.
8.如果,那么
的值是
A.—1B.0C.3D.1
9.点P在双曲线上,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长之比为3:
4:
5.则双曲线的渐近线方程是
A.B.C.D.
10.定义域为[a,b]的函数y=f(x)图象的两个端点为A、B,向量,M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中.若不等式|MN|≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上满足“k范围线性近似”,其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值.下列定义在[1,2]上函数中,线性近似阀值最小的是
A.y=x2B.y=C.y=sinD.y=x-
二、填空题(本大题共5-11题,每小题5分,满分25分.11~14题为必做题,15题、16题为选做题):
必做题
11.执行如图所示的程序框图,若输出,则输入的值为.
12.10名运动员中有2名老队员和8名新队员,现从中选3人参加团体比赛,要求老队员至多1人入选且新队员甲不能人选的选法有种.
13.已知a,b均为正数且的最大值为.
14.已知等比数列和等差,数列的项由和中的项构成且,在数列的第和第项之间依次插入个中的项,即:
记数列的前项和为,则;.
选做题(请在下列2道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分):
15.(平面几何选讲)如图,△ABC中AB=AC,∠ABC=72°,圆O过A,B且与BC切于B点,与AC交于D点,连BD.若BC=2,则AC=.
16.(参数方程和极坐标)已知曲线C的极坐标方程为=6sin,以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),求直线l被曲线C截得的线段长度.
三、解答题(本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤):
17.(本小题满分12分)在△ABC中,已知,.求:
(1)AB的值;
(2)的值.
18.(本小题满分12分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如下:
甲公司某员工A
乙公司某员工B
3
9
6
5
8
3
3
2
3
4
6
6
6
7
7
0
1
4
4
2
2
2
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:
甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.
(Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;
(Ⅱ)为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为(单位:
元),求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
19.(本小题满分12分)在四棱锥中,底面是矩形,平面,,.以的中点为球心、为直径的球面交于点,交于点.
(Ⅰ)求证:
平面⊥平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
20.(本小题满分12分)
已知数列满足().
(1)求的值;
(2)求(用含的式子表示);
(3)记数列的前项和为,求(用含的式子表示)
21.(本小题满分13分)
已知双曲线的中心为原点,左、右焦点分别为、,离心率为,点是直线上任意一点,点在双曲线上,且满足.
(1)求实数的值;
(2)证明:
直线与直线的斜率之积是定值;
(3)若点的纵坐标为,过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、,在线段上取异于点、的点,满足,证明点恒在一条定直线上.
22.(本小题满分14分)
已知函数().
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)函数在定义域内是否存在零点?
若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)若,当时,不等式恒成立,求a的取值范围.
xx山东省济宁市泗水县第一中学高三4月模拟
数学理试题参考答案
1—5ABBDB6—10CCDDD
11.312.7713.14.16193615.16.
17.
(1)因为
所以即
亦即故AB=5
(2)
由正弦定理得
18.(Ⅰ)甲公司员工A投递快递件数的平均数为36,众数为33.------------------2分
(Ⅱ)设为乙公司员工B投递件数,则
当=34时,=136元,当>35时,元,
的可能取值为136,147,154,189,203-------------------------------4分
{说明:
X取值都对给4分,若计算有错,在4分基础上错1个扣1分,4分扣完为止}
的分布列为:
136
147
154
189
203
--------------------------------------8分
{说明:
每个概率值给1分,不化简不扣分,随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}
--------------------------------------10分
(Ⅲ)根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元,乙公司被抽取员工该月收入4965元.---------------12分
19.(Ⅰ)依题设知,AC是所作球面的直径,则AM⊥MC。
又因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥CD,又CD⊥AD,
所以CD⊥平面PAD,则CD⊥AM,
所以AM⊥平面PCD,
所以平面ABM⊥平面PCD-------4分
方法一:
(Ⅱ)由
(1)知,,又,
则是的中点可得,
,
则
设D到平面ACM的距离为,
由即,可求得,
设所求角为,则.--------分8
(Ⅲ)可求得PC=6,因为AN⊥NC,由,得PN,
所以,
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的.
又因为M是PD的中点,则P、D到平面ACM的距离相等,
由(Ⅱ)可知所求距离为.--------12分
方法二:
(Ⅱ)如图所示,建立空间直角坐标系,
则,,,
,,;
设平面的一个法向量,
由可得:
,
令,则.
设所求角为,则.--------8分
(Ⅲ)由条件可得,.
在中,,所以,
则,,
所以所求距离等于点到平面距离的,
设点到平面距离为则,
所以所求距离为.--------12分
20.解
(1)(),
---------------------------------- 3
(2)由题知,有.
∴. --------------------------------6
(3)∵,∴.
∴. 又,
当为偶数时,
. --------------------------------9
当为奇数时,
.
综上,有--------------------------------12
21.
(1)解:
设双曲线的半焦距为,
由题意可得解得.--------------------------------3
(2)证明:
由
(1)可知,直线,点.设点,,
因为,所以.
所以.
因为点在双曲线上,所以,即.
所以.
所以直线与直线的斜率之积是定值.--------------------------------7
(3)证法1:
设点,且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点,,则,,即,.
设,则.
即
整理,得--------------------------------9
由①×③,②×④得
将,代入⑥,
得.⑦
将⑤代入⑦,得.
所以点恒在定直线上.--------------------------------13
证法2:
依题意,直线的斜率存在.
设直线的方程为,由
消去得.
因为直线与双曲线的右支交于不同两点,,
则有
--------------------------------9
设点,由,得.
整理得.1
将2)3)代入上式得.
整理得.4)
因为点在直线上,所以.5)
联立④⑤消去得.
所以点恒在定直线上.--------------------------------13
(本题(3)只要求证明点恒在定直线上,无需求出或的范围.)
22.(Ⅰ)由,则.
当时,对,有,所以函数在区间上单调递增;
当时,由,得;由,得,
此时函数的单调增区间为,单调减区间为.
综上所述,当时,函数的单调增区间为;
当时,函数的单调增区间为,单调减区间为.4分
(Ⅱ)函数的定义域为,由,得()…5分
令(),则,6分
由于,,可知当,;当时,,
故函数在上单调递减,在上单调递增,故.7分
又由(Ⅰ)知当时,对,有,即,
(随着的增长,的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度,而的增长速度则会越来越慢.则当且无限接近于0时,趋向于正无穷大.)
当时,函数有两个不同的零点;
当时,函数有且仅有一个零点;
当时,函数没有零点.9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时,,故对,
先分析法证明:
,.10分
要证,,只需证,即证,
构造函数,则,
故函数在单调递增,所以,则成立.……12分
当时,由(Ⅰ),在单调递增,则在上恒成立;
当时,由(Ⅰ),函数在单调递增,在单调递减,
故当时,,所以,则不满足题意.
所以满足题意的的取值范围是.…………14分
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