新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案.docx

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新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案

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第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程-

（1）晋公庙中学数学组学习目标：

1、会根据具体问题列出一元二次方程。

通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。

学习重点：

一元二次方程的概念学习难点：

如何把实际问题转化为数学方程学习过程：

一、导入新课：

什么是一元一次方程？

什么是二元一次方程？

？

二、自学指导：

1、自主学习：

自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：

21）情境问题：

列方程解应用题：

一个面积为120m的矩形苗圃，它的长比宽多2m。

苗圃的长和宽各是多少？

设未知数列方程。

2你能将方程化成ax+bx+c=0的形式吗？

阅读课本P48，回答问题：

1）什么是一元二次方程？

2）什么是一元二次方程的一般形式？

二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？

2、合作交流：

1.一元二次方程应用举例：

1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，2宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m，那么花边有多宽?

列方程并化成一般形式。

2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

如果设中间的一个数为x，列方程并化成一般形式。

3）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?

列出方程并化简。

8如果设梯子底端滑动xm，列方程并化成一般形式。

2.知识梳理：

m1）一元二次方程的概念：

强调三个特征：

①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.一元二次方程的一般形式：

在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．2）几种不同的表示形式：

2①ax+bx+c=0（a≠0,b≠0,c≠0）②___________（a≠0,b≠0,c=0）③____________（a≠0,b=0,c≠0）④___________（a≠0,b=0,c=0）三、当堂训练

1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。

222

（1）x-y=1

（2）1/x-3=2（3）2x+x=3（5）（5x+2）（3x-7）=15x（k为常数）（6）ax+bx+c=0222（4）3x-1=022（7）?

k?

1?

x?

k?

2?

02、.当a、b、c满足什么条件时，方程（a-1）x-bx+c＝0是关于x的一元二次方程?

这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?

2当a、b、c满足什么条件时，方程（a-1）x-bx+c＝0是关于x的一元一次方程3、下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个（）①2?

x?

3?

?

4?

22x，2②ax?

b?

0，2③x?

（1?

2a）x?

a?

3?

0⑤2x?

5?

x，2④mx?

x?

m?

0，222⑥a?

1x?

ax?

2?

022?

?

A．6个B．5个2C．4个D．3个）.4.2x?

3?

5x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（225.关于x的方程（k－1）x＋2（k－1）x＋2k＋2＝0,当k______时，是一元二次方程．,当k_______时，是一元一次方程．6.当m=_________时，方程（m?

1）xm?

1?

2mx?

3?

0是关于x的一元二次方程。

四、课堂小结：

一元二次方程的一般形式：

2ax+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）2其中ax，bx，c分别为二次项，一次项及常数项五、作业：

基础题：

课本32页随堂练习1、2，知识技能2提高题：

课本32页知识技能1板书设计：

2.1一元二次方程

（1）一元二次方程的一般形式：

2ax+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）2其中ax，bx，c分别为二次项，一次项及常数项教学反思：

2.1一元二次方程

（2）晋公庙中学数学组学习目标：

1、探索一元二次方程的解或近似解；2．提高估算意识和能力；3.通过探索方程的解，增进对方解的认识，发展估算意识和能力。

学习重点：

探索一元二次方程的解或近似解学习难点：

估算意识和能力的培养．一、导入新课：

1．什么叫一元二次方程？

它的一般形式是什么？

2．指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

222

（1）2x―x＋1＝0

（2）―x＋1＝0（3x―x＝0（4）―3x＝0（5）（8-2x）（5-2x）=18二、自学指导：

1、P31花边问题中方程的一般形式：

________________________，你能求出x吗？

（1）x可能小于0吗？

说说你的理由；

（2）x可能大于4吗？

可能大于2.5吗？

为什么？

（3）完成下表x（8-2x）（5-2x）（4）你知道地毯花边的宽x（m）是多少吗？

还有其他求解方法吗？

与同伴交流2、合作探究通过估算求近似解的方法：

先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。

三、例题解析例题1：

P31梯子问题222梯子底端滑动的距离x（m）满足（x＋6）＋7＝10一般形式：

______________________

（1）你认为底端也滑动了1米吗？

为什么？

（2）底端滑动的距离可能是2m吗？

可能是3m吗？

（3）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？

x的整数部几？

（4）填表计算：

xx＋12x―15进一步计算220.511.528m分是00.511.52

xx＋12x―15十分位是几？

照此思路可以估算出x的百分位和千分位。

四、当堂训练：

1、见课本P34页随堂练习2．一元二次方程ax?

bx?

c?

0有两个解为1和-1，则有a?

b?

c?

____________，22且有a?

b?

c?

________.3．若关于x的方程2x?

mx?

1?

m有一个根为-1，则m=_____________.24．用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解：

（1）x?

122

（2）81x?

16?

02（3）?

x?

1?

?

122?

x?

2?

?

16（4）812（5）3x?

15?

025、用直接开平方法解下列一元二次方程：

（1）9x?

121?

02

（2）?

x?

2?

?

42（3）3x?

1?

02五、课堂小结：

本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想．估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高六、作业基础题：

35页知识技能1提高题：

1.完成基础题；2.课本35页知识技能2，数学理解3板书设计：

2.1一元二次方程

（2）求一元二次方程近似解，首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）找到使方程左边可能等于0的未知数的取值范围，再进一步在这个范围缩小未知数的取值范围，根据需要，估算出一元二次方程的近似解。

2教学反思：

2.2用配方法求解一元二次方程

（1）晋公庙中学数学组学习目标：

21．会用开平方法解形如（x＋m）＝n（n≥0）的方程；2．理解一元二次方程的解法——配方法．23．把一元二次方程通过配方转化为（x十m）＝n（n≥0）的形式，体会转化的数学思想。

学习重点：

会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.2学习难点：

把一元二次方程通过配方转化为（x十m）＝n（n≥0）的形式学习过程：

一、导入新课：

1．用直接开平方法解下列方程：

22

（1）x＝9

（2）（x＋2）＝162．什么是完全平方公式？

利用公式计算：

（1）（x＋6）212

（2）（x－）2注意：

它们的常数项等于______________________________。

二、自学指导：

1、自主学习2预习课本36-37页,解方程：

x＋12x－15＝0（配方法）解：

移项，得：

________________配方，得：

__________________.（两边同时加上__________的平方）即：

_____________________开平方，得：

_____________________即：

______________________所以：

_________________________配方法：

通过配成_____________的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

2、合作交流：

配方：

填上适当的数，使下列等式成立：

2222

（1）x＋12x＋_____＝（x＋6）

（2）x―4x＋______＝（x―____）22（3）x＋8x＋______＝（x＋_____）从上可知：

常数项配上______________________________.三、例题解析例1.解方程：

x十8x一9＝0.解：

可以把常数项移到方程的右边，得x十8x=9两边都加4（一次项系数8的一半的平方），得x十8x+4=9+4222222

即两边开平方，得即所以四、当堂训练（X+4）=25X+4=±5X+4=5，或X1=1,X+4=-5X2=-921.一元二次方程x－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）22222A.（x－1）=m+1B.（x－1）=m－1C.（x－1）=1－mD.（x－1）=m+12．用配方法解下列方程：

（1）x一l0x十25＝7；（3）x＋3x＝1；222

（2）x2?

14x?

82（4）x＋2x十2＝8x＋4；【拓展延伸】21．关于x的方程（x+m）=n,下列说法正确的是（）A.有两个解x=±nB.两个解x=±n－mC.当n≥0时，有两个解x=±n?

mD.当n≤0时，方程无实根五、课堂小结：

怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？

六、作业：

1.习题2.3第1.2题.2.习题2.3第1.2题.板书设计：

2.2用配方法求解一元二次方程

（1）用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

1.移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；2.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n（n≥0）的形式；3.用直接开平方法求出它的解.教学反思：

2.2用配方法求解一元二次方程

（2）晋公庙中学数学组学习目标：

1．会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．2．进一步理解配方法的解题思路，掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤．学习重点：

会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．学习难点：

理解配方法的解题思路学习过程：

一、导入新课：

1．用配方法解方程22

（1）x＋4x＋3＝0

（2）x-2x＝1二、自学指导：

1、自主学习2例2：

解方程：

3x＋8x―3＝0解：

两边都除以____，得：

移项，得：

配方，得：

（方程两边都加上________________的平方）开平方，得：

所以:

2、合作交流：

归纳：

用配方法解一元二次方程的步骤：

1.把二次项系数化为12.移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；3.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；3.用直接开平方法求出方程的根.三、例题解析例1.解方程：

x十8x一9＝0.解：

可以把常数项移到方程的右边，得x十8x=9两边都加4（一次项系数8的一半的平方），得x十8x+4=9+4即两边开平方，得即所以（X+4）=25X+4=±5X+4=5，或X1=1,X+4=-5X2=-92222222

四、当堂训练1.用配方法解下列方程时，配方错误的是（2A．x?

2x?

80?

0，化为?

x?

1?

?

81225?

37?

B．x?

5x?

3?

0，化为?

x?

?

?

2?

4?

22C．t?

8t?

9?

0，化为?

t?

4?

?

25210?

2?

D．3t?

4t?

2?

0，化为?

t?

?

?

）．22?

3?

92．用配方法解下列方程：

（1）3x-9x+2=0【拓展延伸】一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：

h＝15t―5t。

小球何时能达到10m高？

五、课堂小结：

怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？

六、作业：

基础题：

1.习题2.4第1.2题.提高题：

2.习题2.4第3题.板书设计：

2.2用配方法求解一元二次方程

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

1.把二次项系数化为12.移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；3.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；3.用直接开平方法求出方程的根.22

（2）2x?

6?

7x2（3）4x-8x-3=02教学反思：

2.3用公式法求解一元二次方程

（1）晋公庙中学数学组学习目标：

1.知道一元二次方程的求根公式的推导；2．会用公式法解简单数字系数的一元二次方程.3.认识根的判别式，会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型.学习重点：

学会用公式法解一元二次方程．学习难点：

用配方法推到一元二次方程求根公式的过程.学习过程：

一、导入新课：

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？

22、把下列方程化成（x+m）=n的形式：

（1）x-8x＋3＝02

（2）12x-3x-5＝023、请结合一元二次方程的一般形式，说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少？

二、自学指导：

1、自主学习认真阅读P41～42页例题之前内容：

22

（1）、一般地，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），当b－4ac≥0时，它的根是－b±b2－4acx＝2a注意：

当b－4ac<0时，一元二次方程无实数根。

（2）、公式法：

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。

利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

2、合作交流：

2

（1）你能解一元二次方程x-2x+3=0吗？

你是怎么想的？

22

（2）对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），当b－4ac＜0时，它的根的情况是怎样的？

2归纳：

对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），2①当b－4ac____0时，方程有两个不相等的实数根；2②当b－4ac_____0时，方程有两个相等的实数根；2③当b－4ac______0时，方程无实数根。

22由此可知，一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可由b－4ac来判定.我们把22b－4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示。

三、例题解析例1.解方程：

22

（1）x-7x―8＝0

（2）4x+1=4x2

解：

（2）将原方程化为一般形式，得：

24x-4x+1=0这里a=4，b=-4,c=1.22∵b－4ac=（-4）-4×4×1=0∴x=?

（?

4）?

01=2?

421即X1=X2=2四、当堂训练1.不解方程,判断下列方程的根的情况：

2

（1）2x+5=7x

（2）3x2+2x+1=02（3）4x（x+1）+3=0（4）4（y+0.09）=2.4y2．用公式法解下列方程：

22

（1）2x-9x+8=0

（2）9x+6x+1=02（3）16x+8x=3（4）x（x-3）+5=0五、课堂小结：

用公式法解一元二次方程的步骤：

1.化成一般形式；2.确定a,b,c的数值；3.求出b2－4ac的数值，并判别其是否是非负数；4.若b2－4ac≥0，用求根公式求出方程的根；若b2－4ac<0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。

六、作业：

基础题：

1.习题2.5第1、2题.提高题：

2.习题2.5第3、4题.板书设计：

2.3用公式法求解一元二次方程一般地，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），当b－4ac≥0时，它的根是x＝－b±b2－4ac2a对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），①当b－4ac____0时，方程有两个不相等的实数根；②当b－4ac_____0时，方程有两个相等的实数根；③当b－4ac______0时，方程无实数根。

222222教学反思：

2.3用公式法求解一元二次方程

（2）晋公庙中学数学组学习目标：

1.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题，体会方程模型思想.2．进一步熟练求解一元二次方程.3．会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题学习重点：

会根据具体情境构建一元二次方程，并能熟练求解，从而解决实际问题，体会方程模型思想.学习难点：

会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题.学习过程：

一、导入新课：

1、用配方法解方程：

（1）x-8x＋3＝02、用公式法解方程：

2

（1）2x-9x+8=0二、合作探究：

2

（2）12x-3x-5＝022

（2）16x+8x=31.在一块长为16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？

小明：

我的设计方案如右图所示，其中花园四周小路的宽度相等。

（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？

（2）求出一元二次方程的解？

（3）这两个解都合要求吗？

为什么？

2．小亮：

我的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同。

你能帮小亮求出图中的x吗？

（1）设花园四角的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？

（2）估算一元二次方程的解是什么？

（∏取3）16mx12m

（3）符合条件的解是多少？

3、你还有其他设计方案吗？

请设计出来与同伴交流。

三、课堂练习1、课本44页随堂练习1，对于本课花园设计问题，小颖的方法如图所示，你能帮她求出图中的x吗？

2、课本p45第2题。

四、课堂小结：

1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。

2、一元二次方程的解一般有________个，要根据_________舍去不合题意的解。

五、作业：

基础题：

1.习题2.6第1、3题.提高题：

2.习题2.6第4题.板书设计：

2.3用公式法求解一元二次方程

（2）16mx12m教学反思：

2.4用因式分解法求解一元二次方程晋公庙中学数学组学习目标：

会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会转化思想。

学习重点：

正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程．学习难点：

正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.学习过程：

一、导入新课：

1、如何对一个多项式进行因式分解？

有哪些方法？

2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论？

二、自学指导：

1、自主学习认真阅读P46～47页内容：

⑴、分解因式法：

利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

⑵、因式分解法的理论根据是：

如果ab=0,则a=0或b=0。

⑶、自学例1，注意看清楚每一步是如何变形的？

其目的是什么？

2、合作交流：

2

（1）你能例题中的思路解一元二次方程x-4=0吗？

你是怎么想的？

2

（2）对于一元二次方程（x+1）-25＝0可以怎样求解？

三、例题解析例.用因式分解法解下列方程：

（1）（x+2）（x+4）＝0

（2）4x（2x+1）=3（2x+1）22（3）5（x-x）=3（x+x）解：

（2）：

原方程可变形为4x（2x+1）-3（2x+1）=0（2x+1）（4x-3）=02x-1=0，或4x-3=0∴X1=（3）：

原方程可变形为5x-5x=3x+3x225x-3x-5x-3x=022x-8x=02x（x-4）=02x=0,或x-4=0∴X1=0，X2=42212X2=34

四、当堂训练1.用因式分解法解下列方程：

（1）（4x-1）（5x-7）=0（3）（2x+3）=4（2x+3）2．用因式分解法解下列方程：

（1）（x-2）=（2x+3）（3）2x+6=（x+3）2222

（2）3x（x-1）=2-2x（4）2（x-3）=x-922

（2）（x-2）（x+3）=123.一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。

五、课堂小结：

1、分解因式法：

利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

2、用因式分解法的基本思想是：

把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。

3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：

（1）通过移项，将方程右边化为零：

（2）将方程左边分解成两个一次因式之积；（3）分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，（4）分别解这两个一元一次方程，求得方程的解六、作业：

1.习题2.7第2题（3）、（4）、（5）题.2.习题2.7第3题.板书设计：

2.4用因式分解法求解一元二次方程1.用因式分解法的基本思想是：

把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。

2.用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：

（1）通过移项，将方程右边化为零：

（2）将方程左边分解成两个一次因式之积；（3）分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，（4）分别解这两个一元一次方程，求得方程的解教学反思：

2.5一元二次方程的根与系数的关系晋公庙中学数学组学习目标：

1.知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.2.理解一元二次方程根与系数的关系.3.能用两根确定一元二次方程的系数.4.能用根与系数的关系已知一根，不解方程确定另一