江苏省高等数学竞赛试题汇总.docx

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江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）

填空题（每题4分，共32分）

sinxsin（sinx）lim

x0sinx

6.圆

J:

yZ20的面积为

2z24x2y2z19

.（10分）

b

设f（x）在a,b上连续，且bf（x）dx

a

af（x）dx0.

3.（10分）已知正方体ABCDAB1CQ1的边长为2，E为DQ的中点，F为侧面正方形

BCCiBi的中点，

（1）试求过点A,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。

（2）试求过点

A,,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积.

四（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,ABBCCD8,求AB,BC,AD的长，使得

梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分cos2xsin2ydxdy，其中D:

x2y21,x0,y0

D

2

六、（12分）求x2yexdxx1ydy，其中为曲线2x2x从o0,0

xy2x1x2

到A1,1

7.（12分）已知数列an单调增加，ai1,a22@5丄©i3ana*1

1

n2,3,L，记Xn丄，判别级数Xn的敛散性•

ann1

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）

一填空题（每题4分，共32分）

sinxsin（sinx）

1.Iim''

x0

5.

1xx,

2edx

x

1

设fx在0,1上连续，且°f（x）dx

eax对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）

1、、

0xf（x）dx，求证：

存在点0,1，使得°f（x）dx0.

4.（12分）求广义积分

21x4

五.（12分）过原点0,0作曲线y

Inx的切线，求该切线、曲线yInx与x轴所围成

的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.

六、（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,ABBCCD8,求AB,BC,AD的长，使

得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。

七（12分）求二重积分cos2xsin2ydxdy，其中D:

x2y21,x0,y0

2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）

一•填空题（每题5分，共40分）

穷小的阶数最高。

p

3.『sin2xcos4xdx=

4.通过点（1,1,-1）与直线x=t,y=2,z=2+t的平面方程为

6.设D为y=x,x=0,y=1围成区域，贝U蝌arctanydxdy=

D

xy）dy=

7.设G为x2+y2=2x（y?

0）上从0（0,0）到A（2,0）的一段弧，贝UQ（yex+x）dx+（ex-

Y

，收敛域为

8.幕级数?

nxn的和函数为

■

n=1

-（8分）设数列｛xn｝为X1=3,x2=<3-3,L,xn+2=*3-3+xn（n=1,2,L）

证明：

数列｛禺｝收敛，并求其极限

maTf（x）l?

1

b-a

b

蝌f（x）dx

f/（x）dx

三.（8分）设f（x）在［a,b］上具有连续的导数，求证

四.（8分）1）证明曲面S:

x=（b+acosq）cosj,y=asinq,z=（b+acosq）sinj

（0#q2p,0#j2p）（0

2）求旋转曲面S所围成立体的体积

5.（10分）函数u（x,y）具有连续的二阶偏导数，算子A定义为

1）求A（u-A（u））；2）利用结论1）以x=',h=x-y为新的自变量改变方程

x

2抖Ucu2?

u

x2+2xy+yr=0的形式

执x抖/y

、1tt2

6.（8分）求呱!

君蝌dxsin（xy）dy

7.（9分）设S:

x2+y2+z2=1（z?

0）的外侧，连续函数

求f（x,y）

8.（9分）求f（x）=x"x-3）的关于x的幕级数展开式

（x-1）3（1-3x）

2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）

一.填空（每题5分，共40分）

4.已知点A4,0,0,B（0,2,0）,C（0,0,2）,O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面万程为

5.设由xzeyz确定zz（x,y），贝Udze,0

6.函数fx,yexaxby2中常数a,b满足条件时，f1,0为其

极大值.

7.设是yasinx（a0）上从点0,0至U,0的一段曲线，a时，曲线积分

22

xydx2xyeydy取最大值.

8.级数1n1n1pn条件收敛时，常数p的取值范围是

n1np

二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若

开车的最大速度为100公里/小时，求证：

该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200公里/小时3

（10分）曲线的极坐标方程为1cos0，求该曲线在所对应的点

24

的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积四（8分）设f（x）在,上是导数连续的有界函数，fxfx1,

求证：

fx1.x,

五（12分）本科一级考生做：

设锥面z23x23y2（z0）被平面x3z40截下的有限

部分为•

（1）求曲面的面积；

（2）用薄铁片制作的模型，A（2,0,Z3）,B（1,0—3）为

上的两点，O为原点，将沿线段OB剪开并展成平面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程.

本科二级考生做：

设圆柱面x2y21（z0）被柱面zx22x2截下的有限部分为.为计

算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，A（1,0,5）,B（1,0,1）,C1,0,0为上的三点，将

沿线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为0,5，写出D的边界的方程，并求D的面积.

六（10分）曲线

x22z

X2z绕z轴旋转一周生成的曲面与z1,z2所围成的立体区域记为，

y0

本科一级考生做

1

—222dxdydz

xyz

本科二级考生做

x2y2z2dxdydz

收敛域也为1,1；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反

例说明.

本科二级考生做：

求幂级数.1个x汽的收敛域与和函数

.填空（每题5分，共40分）

11222Ln2

.n"mn312n322n3n2

x1t2

2.lim3et1dt

x00x3

3.lim一—3x―2axb0，则a,b

4.

x

极大值.

民办本科做：

设圆柱面x2y2

1（z

0）被柱面z

2x

2截下的有限部分为.为计算曲

数连续，但二阶导数不存在.

面的面积，用薄铁片制作

的模型，A（1,0,5）,B（1,0,1）,C1,0,0为上的三点，将沿

线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为

0,5，写出D的边界的方程，并求D的面积.

七（9分）本科一级考生做：

用拉格朗日乘数法求函数

2

fx,yx

、.2xy2y2在区域

x22y4上的最大值与最小值.

2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）

.填空（每题5分，共40分）

2.

3.

一，时，fx的表达式

2

2

tanx

limsinx

x—

2

nnin

lim22L22

nn21n24n2n2

5.

x

e1x2dx

x

xe

7.设fx,y可微，f1,2

2,fx1,23,fy1,2

x,fx,2x

，则

.（10分）设fx

在a,b上连续，fx在a,b内可导,

f（a）

b

a,，a

丄b2

2

求证：

a,b内至少存在一点使得f

1）

试将P,Q的距离PQ表示为t的函数;

2）

求D饶yx旋转一周的旋转体的体积

（10分）

已知点P（1,0,-1）,Q（3,1,2）,在平面x

2y+z=12上求一点M，使PM

+MQ最小

（10分）

求幕级数

1

n1n3n

xn的收敛域。

（10分）

设fx,y可微，f

1,2

2,fx1,22,f,

1,23，

xffx,2x,2fx,2x，

2

（10分）求二次积分d

0■2

2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）

.填空（每题5分，共40分）

一，时，fx的表达式.

2

3.

lim

x—

2

2

tanx

sinx

4.

lim

n

n

n21

5.

xx2ln

x

6.

e1x2dx

x

xe

x

1,1

zarctan—,dzy

8.

0x1

其他，、

，则

fyfxydxdy.

D

bInn

2.（10分）设fx在a,b上连续，fx在a,b内可导，f（a）a,,fxdx-b2a2,

a2

求证：

a,b内至少存在一点使得ff1

3.（10分）设D:

y2x24,yx,2xy4，在D的边界yx上任取点P,设P到原点

距离为t，作PQ垂直于yx，交D的边界y2x24于Q

1）试将P,Q的距离PQ表示为t的函数；

2）求D饶yx旋转一周的旋转体的体积

四（10分）设fx在,上有定义，fx在x0处连续，且对一切实数X1,X2有

fx.）x2fxfx2，求证：

fx在，上处处连续。

1五（10分）上k为常数，方程kx-10在0,恰有一个根，求k的取值范围。

x

六（10分）已知点P（1,0,-1）,Q（3,1,2）,在平面x-2y+z=12上求一点M，使|PM|+|MQ最小

七（10分）求幂级数”爲八的收敛域

2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）

.填空（每题5分，共40分）

x-.[X

c0，则k

’ee

1.limkc

2.

C.若limfx

x

则fx在1,

上无界

x0xk

5.曲线

2

zx

22

xy

2

y，在点1,1,2的切线的参数方程为

2y

6.设z

—gex,siny,f有二阶连续导数,

x

g有二阶连续偏导数,

2

则一

xy

1

7.交换二次积分的次序dx

0

3x

x2fx,ydy

8.幕级数11L1xn

n12n

的收敛域

.（8分）设fx在0,

上连续，单调减少,

ba

求证aof（x）dxbof（x）dx

.（8分）设fx在a,b

上连续,

b

f（x）dxa

b

f（x）exdx0,求证：

fx在a,b内至a

少存在两个零点.

四.（8分）求直线x1

2

所包围的立体的体积.

z绕y轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与y0,y2

1

五.（9分）设k为常数,

试判断级数

n

1

~2n2nInn

的敛散性，何时绝对收敛？

何时条件收敛?

何时发散?

六.（9分）设fx,y

yarctan——

」x22

0

可偏导性？

可微性.

七.（9分）设fu在u

0可导，f

、1

求tlim0臣

222

xyzdxdydz

八.（9分）设曲线AB的极坐标方程为

x,y

0,0

x,y

0,0

2

2

:

x

y

cos

0,

1

2

z22tz,

讨论fx,y在点0,0处连续性,

，一质点P在力F作用下

2

沿曲线AB从A0,1运动到B0,1,力F的大小等于

P到定点M3,4的距离，其方向垂直

于线段MP，且与y轴正向的夹角为锐角，求力F对质点P做得功.

2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）

.填空（每题5分，共40分）

x

’ee

1.limkc

x0xk

c0，则k

2.设fx在1,

上可导，下列结论成立的是

A.若limf

x

x在1,

上有界

B.若limf

x

x在1,

上无界

C.若limf

x

x在1,

上无界

3.设由ey

yx1x确定y

y（x），则y

4.arcsinx

arccosxdx

5.

4

dx

、x1x

6.设z

ygex,siny，f有二阶连续导数,

x

g有二阶连续偏导数,

2

则一z

xy

7.交换二次积分的次序

1

dx

0

x,ydy

8.函数fx,y2xy」1满足方程

y25的条件的极大值为

极小值为

.（8分）设fx在0,上连续,

单调减少，0

、b

求证a0f（x）dxb

a

0f（x）dx

.（8分）设fx

kxsinx，1）若k1，求证f

上恰有一个零点;

上恰有一个零点，求常数

k的取值范围.

1sinx,dx

1cosx

yarctan’

五.（9分）设fx,y.x2

=2x,y

y

讨论f

x,y在点

0,0

处连续性,

0

x,y

0,0

可偏导性？

可微性.

六.（8分）设zfx,y，xy，

f的二阶偏导数连续，

可导，

y

0

d2

求全导数

dx

1

求lim41

t0t4

D

fx2y2ydxdy

七.（9分）设fu在u0可导，f00,D:

x2y22tx,y0,

八.（9分）求

D

sinxydxdy,D:

x0,y0,xy

2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）

.填空（每题3分，共15分）

.1.设fxx

2.

x

..xxlim

x1lnxx1

3.

4.

已知df

dx

14

x

5

x

x2

1，则f

x

4dx

1

5..设z

zx,y

由方程Fy,Z0确定（F为任意可微函数），

xx

贝Ux~y—

xy

二选择题（每题3分，共15分）

1

2x1

1.对于函数y牛」，点x0是（）

2x1

A.连续点；B.第一类间断点；C.第二类间断点；D可去间断点

2

3.已知函数yfx对一切x满足xfx3xfx1ex，若fx（）0（x00），则（）

A.fxo是fx的极大值；B.Xo,fX。

是曲线yfx的拐点;

C.fx。

是fx的极小值；

Dfxo不是fx的极值，xo,fX。

也不是曲线yfx的拐点3.

A.

等于1；B.等于0；C.等于1；D不存在，但也不是

C.沿任意方向的方向导数存在；D极限不一定存在，也不一定连续

这两个零点之间的零点。

1

1x

1

x

1e

八（8分）过抛物线yx2上一点a,a2作切线，问a为何值时所作的切线与抛物线

yx24x1所围成的平面图形面积最小

九（8分）求级数nx1n的收敛域及和函数.

n1

十（8分）设fx在a,b上连续且大于零，利用二重积分证明不等式:

bb1

fxdxdxba

aafx

十一（8分）计算曲线积分Ix44xy3dx6x2y25y4dy，其中L为曲线y2x3

L5

上点A（2,1）沿逆时针方向到该曲线上点B3,0的一段曲线。

十二（8分）计算曲面积分4zxdydz2zydzdx1z2dxdy，其中为曲面zey（0ya）

绕z轴旋转一周所成曲面之下侧

2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）

.填空（每题3分，共15分）已知d-f

dx

1

xsinxdx

二选择题（每题

3分，共15分）

2x

1.函数fx

e—1，的可去间断点为（

x1

A.x0,1；B.x1；C.x0；D无可去间断点

11y

2.改变积分次序dy2fx,ydx（）

0y21

1JTT0^/T"x11x

A.1dx仃fx,ydy；B.1dx0fx,ydy0dx0fx,ydy；

极大值

e

B.

2

（6分）

设lim

ln1

x0

（6分）

设z

（1

（6分）

设fX,g

xgx

fx

g

C.不取极大值;

x在a,b上连续，在

x0，证明若fx在

D极小值e

dx

2，求常数a,b。

lnx

a,b内可导且对于a,b一切x均有

a,b内有两个零点，则gx至少存在一个介于

A.

四

五

xy）y，求dz1,1

xaxbx2

X2t2edt

0

极小直;；

这两个零点之间的零点。

yx24x1所围成的平面图形面积最小。

x

八（6分）当x0时，Fx0x2t2ftdx的导数与x2为等价无穷小，求f0

九（8分）求幕级数2n1x2n1的收敛域及和函数.

n1

十（8分）将fxarctan―x展开为x的幕级数，并指出收敛区间。

1x

5

（8分）求务^dx。

x1

ft2x2y2f、、x2y2dxdyt4，求fx

x2y2t2