完整初中数学圆的专题训练doc.docx
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完整初中数学圆的专题训练doc
圆的专题训练初中数学组卷
一.选择题(共15小题)
1.如图,⊙O的半径为4,△ABC是⊙O的内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC
互补,则弦BC的长为()
A.3B.4C.5D.6
2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°,⊙O的半径为5cm,则圆
心O到弦CD的距离为()
A.cmB.3cmC.3cmD.6cm
3.如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∠ABD=60°,CD=2,则阴影部分的面积为()
A.B.πC.2πD.4π
4.如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为()
A.20°B.40°C.50°D.70°
5.如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan
∠OBC为()
第1页(共28页)
A.B.2C.D.
6.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=()
A.2πB.πC.πD.π
7.如图,⊙O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是()
A.15°B.25°C.30°D.75°
8.如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B=()
A.100°B.72°C.64°D.36°
9.如图,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴相切,与y轴相交于A(0,2),B(0,8),则
圆心P的坐标是()
第2页(共28页)
A.(5,3)B.(5,4)C.(3,5)D.(4,5)
10.如图,正方形ABCD的边AB=1,和都是以1为半径的圆弧,则无阴影两部分的
面积之差是()
A.B.1﹣C.﹣1D.1﹣
11.如图,△ABC内接于半径为5的⊙O,圆心O到弦BC的距离等于3,则∠A的正切值
等于()
A.B.C.D.
12.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2cm,⊙A与BC相切于点D,阴影部分
的面积为()
A.B.C.D.
13.如图,某工件形状如图所示,等腰Rt△ABC中斜边AB=4,点O是AB的中点,以O
为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E,则图中阴影部分的面积是()
A.B.C.D.2﹣π
14.若圆锥经过轴的截面是一个正三角形,则它的侧面积与底面积之比是()
A.3:
2B.3:
1C.5:
3D.2:
1
第3页(共28页)
15.如图,AB为半圆O的直径,C为半圆上一点,且为半圆的.设扇形AOC、△COB、
弓形BmC的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论正确的是()
A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1D.S3<S2<S1
二.解答题(共10小题)
16.已知AB是半径为1的圆O直径,C是圆上一点,D是BC延长线上一点,过点D的
直线交AC于E点,且△AEF为等边三角形
(1)求证:
△DFB是等腰三角形;
(2)若DA=AF,求证:
CF⊥AB.
17.已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.
(1)求证:
AB=AC;
(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.
18.如图,正方形ABCD内接于⊙O,M为中点,连接BM,CM.
(1)求证:
BM=CM;
(2)当⊙O的半径为2时,求的长.
第4页(共28页)
19.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC为直径,弦BD=BA,BE⊥DC交DC的延长线于
点E.
(1)求证:
∠1=∠BAD;
(2)求证:
BE是⊙O的切线.
20.如图,⊙O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:
直线CD是⊙O的切线.
21.如图,直角△ABC内接于⊙O,点D是直角△ABC斜边AB上的一点,过点D作AB的垂线交AC于E,过点C作∠ECP=∠AED,CP交DE的延长线于点P,连结PO交⊙O于点F.
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)若PC=3,PF=1,求AB的长.
22.如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:
直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
第5页(共28页)
23.如图,AB是⊙O的直径,点F、C在⊙O上且,连接AC、AF,过点C作CD
⊥AF交AF的延长线于点D.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若,CD=4,求⊙O的半径.
24.如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
(1)请证明:
E是OB的中点;
(2)若AB=8,求CD的长.
25.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,且CD=24,点M在⊙O上,MD经过圆心O,联结MB.
(1)若BE=8,求⊙O的半径;
(2)若∠DMB=∠D,求线段OE的长.
第6页(共28页)
圆的专题训练初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共15小题)
1.(2016?
陕西)如图,⊙O的半径为4,△ABC是⊙O的内接三角形,连接OB、OC.若
∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为()
A.3B.4C.5D.6
【分析】首先过点O作OD⊥BC于D,由垂径定理可得BC=2BD,又由圆周角定理,可求
得∠BOC的度数,然后根据等腰三角形的性质,求得∠OBC的度数,利用余弦函数,即可
求得答案.
【解答】解:
过点O作OD⊥BC于D,
则BC=2BD,
∵△ABC内接于⊙O,∠BAC与∠BOC互补,
∴∠BOC=2∠A,∠BOC+∠A=180°,
∴∠BOC=120°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=(180°﹣∠BOC)=30°,
∵⊙O的半径为4,
∴BD=OB?
cos∠OBC=4×=2,
∴BC=4.
故选:
B.
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识.注意
掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
2.(2016?
黔南州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°,⊙O的半
径为5cm,则圆心O到弦CD的距离为()
第7页(共28页)
A.cmB.3cmC.3cmD.6cm
【分析】根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE;由圆周角定理知∠COB=2∠
CDB=60°,已知半径OC的长,即可在Rt△OCE中求OE的长度.
【解答】解:
连接CB.
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,
∴圆心O到弦CD的距离为OE;
∵∠COB=2∠CDB(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半),∠CDB=30°,
∴∠COB=60°;
在Rt△OCE中,
OC=5cm,OE=OC?
cos∠COB,
∴OE=cm.
故选A.
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用.解答这类题一些学
生不会综合运用所学知识解答问题,不知从何处入手造成错解.
3.(2016?
通辽)如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∠ABD=60°,CD=2,则阴影部分
的面积为()
A.B.πC.2πD.4π
【分析】连接OD,则根据垂径定理可得出CE=DE,继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD
的面积,代入扇形的面积公式求解即可.
【解答】解:
连接OD.
∵CD⊥AB,
第8页(共28页)
∴CE=DE=CD=,
故S△OCE=S△ODE,即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积,又∵∠ABD=60°,
∴∠CDB=30°,∴∠COB=60°,∴OC=2,
∴S扇形OBD==,即阴影部分的面积为.
故选A.
【点评】本题考查的是垂径定理,熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.
4.(2016?
娄底)如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为()
A.20°B.40°C.50°D.70°
【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数,再由直角三角形的性质即可得出结论.
【解答】解:
∵∠D=40°,
∴∠B=∠D=40°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°﹣40°=50°.
故选C.
【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
5.(2016?
达州)如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧
上一点,则tan∠OBC为()
第9页(共28页)
A.B.2C.D.
【分析】作直径CD,根据勾股定理求出OD,根据正切的定义求出tan∠CDO,根据圆周角
定理得到∠OBC=∠CDO,等量代换即可.
【解答】解:
作直径CD,
在Rt△OCD中,CD=6,OC=2,
则OD==4,
tan∠CDO==,
由圆周角定理得,∠OBC=∠CDO,
则tan∠OBC=,
故选:
C.
【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义,掌握在同圆或等圆中,同弧或等
弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
6.(2016?
广安)如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影
=()
A.2πB.πC.πD.π
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2,然后由圆周角定理知∠DOE=60°,然后通过解直
角三角形求得线段OD、OE的长度,最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S
△BEC.
【解答】解:
如图,假设线段CD、AB交于点E,
第10页(共28页)
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴CE=ED=2,
又∵∠BCD=30°,
∴∠DOE=2∠BCD=60°,∠ODE=30°,
∴OE=DE?
cot60°=2×=2,OD=2OE=4,
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE?
CE=﹣
2+2=.
故选B.
【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算,通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键.
7.(2016?
自贡)如图,⊙O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B
的度数是()
A.15°B.25°C.30°D.75°
【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数,再由圆周角定理可求∠B的度数.
【解答】解:
∵∠A=45°,∠AMD=75°,
∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°,
∴∠B=∠C=30°,
故选C.
【点评】本题主要考查了三角形的外角定理,圆周角定理,熟记圆周角定理是解题的关键.
8.(2016?
毕节市)如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B=()
第11页(共28页)
A.100°B.72°C.64°D.36°
【分析】连接OA,根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28°,根据等腰三角形的性质解答即可.
【解答】解:
连接OA,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠C=28°,
∴∠OAB=64°,
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB=64°,
故选:
C.
【点评】本题考查的是圆周角定理,掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键.
9.(2016?
河池)如图,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴相切,与y轴相交于A(0,2),
B(0,8),则圆心P的坐标是()
A.(5,3)B.(5,4)C.(3,5)D.(4,5)
【分析】过P作PC⊥AB于点C,过P作PD⊥x轴于点D,由切线的性质可求得
PD的长,
则可得PB的长,由垂径定理可求得CB的长,在Rt△PBC中,由勾股定理可求得
PC的长,
从而可求得P点坐标.
第12页(共28页)
【解答】解:
如图,过P作PC⊥AB于点C,过P作PD⊥x轴于点D,连接PB,
∵P为圆心,
∴AC=BC,
∵A(0,2),B(0,8),
∴AB=8﹣2=6,
∴AC=BC=3,
∴OC=8﹣3=5,
∵⊙P与x轴相切,
∴PD=PB=OC=5,
在Rt△PBC中,由勾股定理可得PC===4,
∴P点坐标为(4,5),
故选D.
【点评】本题主要考查切线的性质和垂径定理,利用切线的性质求得圆的半径是解题的关键.
10.(2015?
黄冈中学自主招生)如图,正方形ABCD的边AB=1,和都是以1为半径
的圆弧,则无阴影两部分的面积之差是()
A.B.1﹣C.﹣1D.1﹣
【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积,1、2和两个3的面积和是两个扇
形的面积,因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差,即
﹣1=.
【解答】解:
如图:
正方形的面积=S1+S2+S3+S4;①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2;②
34扇形﹣S正方形=
﹣1=
.
②﹣①,得:
S﹣S=S
故选:
A.
第13页(共28页)
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法.找出正方形内
四个图形面积之间的联系是解题的关键.
11.(2014?
镇江)如图,△ABC内接于半径为
5的⊙O,圆心O到弦BC的距离等于
3,则
∠A的正切值等于(
)
A.B.C.D.
【分析】过点O作OD⊥BC,垂足为D,根据圆周角定理可得出∠BOD=∠A,再根据勾股
定理可求得BD=4,从而得出∠A的正切值.
【解答】解:
过点O作OD⊥BC,垂足为D,
∵OB=5,OD=3,
∴BD=4,
∵∠A=∠BOC,
∴∠A=∠BOD,
∴tanA=tan∠BOD==,
故选:
D.
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形,要熟练掌握这几个知识点.
第14页(共28页)
12.(2013?
江门模拟)如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2cm,⊙A与BC相切
于点D,阴影部分的面积为()
A.B.C.D.
【分析】阴影部分的面积是三角形ABC的面积减去圆的面积,根据勾股定理可求得BC
的长,连接AD,由等腰直角三角形的性质可得出AD等于BC的一半.
【解答】解:
连接AD,
∵∠A=90°,AB=AC=2cm,
∴由勾股定理得BC=2cm,
∴AD=BC,
∴AD=cm,
∴S阴影=S△ABC﹣S圆=﹣=2﹣.
故选B.
【点评】本题是一道综合题,考查了扇形面积的计算以及等腰三角形的性质,是中档题.
13.(2011?
深圳模拟)如图,某工件形状如图所示,等腰Rt△ABC中斜边AB=4,点O是
AB的中点,以O为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E,则图中阴影部分的面积是()
A.B.C.D.2﹣π
【分析】本题需先求出直角三角形的边长,再利用切线的性质和等腰直角三角形的性质得出
四边形CDOE是正方形,然后分别求出直角三角形ABC、扇形FOD,正方形CDOE,扇形
EOG的面积,即可求出阴影部分的面积.
【解答】解:
设AC=BC=x,
第15页(共28页)
22
则x+x=4
x=2
∴
设OD=R,则OE=R
∵AC,BC与⊙O相切,
∴OD⊥AD,OE⊥BC
∵∠A=45°
∴∠AOD=45°
∴∠A=∠AOD
∴AD=OD=R
∵AC=2
∵AC=2
∴AD=OD
∵∠C=90°
∴四边形ODCE是正方形
∴
∴S正方形CDOE=
=2
S扇形FOD=S扇形EOG=
=
∴阴影部分的面积是2﹣
故选A
【点评】本题主要考查了扇形面积的求法,在解题时要注意面积计算公式和图形的有关性质的综合应用.
14.(2006?
兰州)若圆锥经过轴的截面是一个正三角形,则它的侧面积与底面积之比是()
A.3:
2B.3:
1C.5:
3D.2:
1
【分析】利用轴的截面是一个正三角形,易得圆锥的底面半径和母线长的关系,把相应数值
代入圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,圆锥底面积=π×半径2比较即可.
【解答】解:
设圆锥底面圆的半径为r,
∴S底=πr2,S侧=?
2r?
2πr=2πr2,
22
∴S侧:
S底=2πr:
πr=2:
1.
第16页(共28页)
【点评】此题主要考查圆锥的轴截面、侧面积与底面积的求法.
15.(2003?
海南)如图,AB为半圆O的直径,C为半圆上一点,且为半圆的.设扇形
AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论正确的是()
A.S1<S2<S3
B.S2<S1<S3
C.S2<S3<S1
D.S3<S2<S1
【分析】首先根据△AOC的面积=△BOC的面积,得S2<S1.再根据题意,知
S1占半圆面
积的.所以S3
大于半圆面积的
.
【解答】解:
根据△AOC的面积=△BOC的面积,得S2<S1,
再根据题意,知
S1占半圆面积的
,
所以S3大于半圆面积的.
故选B.
【点评】此类题首先要比较有明显关系的两个图形的面积.
二.解答题(共10小题)
16.(2016?
株洲)已知AB是半径为1的圆O直径,C是圆上一点,D是BC延长线上一点,过点D的直线交AC于E点,且△AEF为等边三角形
(1)求证:
△DFB是等腰三角形;
(2)若DA=AF,求证:
CF⊥AB.
【分析】
(1)由AB是⊙O直径,得到∠ACB=90°,由于△AEF为等边三角形,得到∠CAB=∠EFA=60°,根据三角形的外角的性质即可得到结论;
(2)过点A作AM⊥DF于点M,设AF=2a,根据等边三角形的性质得到FM=EM=a,
AM=a,在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a,根据直角三角形的性质得到
AE=EF=AF=CE=2a,推出∠ECF=∠EFC,根据三角形的内角和即可得到结论.
【解答】解:
(1)∵AB是⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
∵△AEF为等边三角形,
第17页(共28页)
∴∠CAB=∠EFA=60°,
∴∠B=30°,
∵∠EFA=∠B+∠FDB,
∴∠B=∠FDB=30°,
∴△DFB是等腰三角形;
(2)过点A作AM⊥DF于点M,设AF=2a,
∵△AEF是等边三角形,∴FM=EM=a,AM=a,
在Rt△DAM中,AD=AF=2a,AM=,
∴DM=5a,∴DF=BF=6a,
∴AB=AF+BF=8a,
在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=4a,∵AE=EF=AF=2a,
∴CE=AC﹣AE=2a,
∴∠ECF=∠EFC
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