一轮复习配套讲义第12篇 第2讲 直接证明与间接证明.docx

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一轮复习配套讲义第12篇第2讲直接证明与间接证明

第2讲　直接证明与间接证明

[最新考纲]

1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．

2．了解反证法的思考过程和特点.

知识梳理

1．直接证明

（1）综合法

①定义：

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q

（其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论）．

③思维过程：

由因导果．

（2）分析法

①定义：

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：

Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→

得到一个明显成立的条件（其中Q表示要证明的结论）．

③思维过程：

执果索因．

2．间接证明

反证法：

假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．

辨析感悟

对三种证明方法的认识

（1）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．（×）

（2）反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．（×）

（3）在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．（√）

（4）证明不等式＋＜＋最合适的方法是分析法．（√）

[感悟·提升]

两点提醒　一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如

（1）；

二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：

①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.

考点一　综合法的应用

【例1】（2013·新课标全国Ⅱ卷）设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：

（1）ab＋bc＋ac≤；

（2）＋＋≥1.

证明　

（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得（a＋b＋c）2＝1，

即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤.

（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），

即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.

学生用书第203页

规律方法综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．

【训练1】

（1）设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：

＋＋≥8.

（2）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：

＋＋＞3.

证明　

（1）∵a＋b＝1，

∴＋＋＝＋＋

＝1＋＋1＋＋≥2＋2＋

＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝时，等成立．

（2）∵a，b，c全不相等，且都大于0.

∴与，与，与全不相等，

∴＋＞2，＋＞2，＋＞2，

三式相加得＋＋＋＋＋＞6，

∴＋＋＞3，

即＋＋＞3.

考点二　分析法的应用

【例2】已知a＞0，求证：

－≥a＋－2.

审题路线　从结论出发⇒观察不等式两边的符⇒移项（把不等式两边都变为正项）⇒平方⇒移项整理⇒平方⇒移项整理可得显然成立的结论．

证明　

（1）要证－≥a＋－2，

只需要证＋2≥a＋＋.

∵a＞0，故只需要证2≥2，

即a2＋＋4＋4

≥a2＋2＋＋2＋2，

从而只需要证2≥，

只需要证4≥2，

即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．

规律方法

（1）逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．

（2）证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．

【训练2】已知m＞0，a，b∈R，求证：

2≤.

证明　∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，

只需证（a＋mb）2≤（1＋m）（a2＋mb2）

即证m（a2－2ab＋b2）≥0，

即证（a－b）2≥0，而（a－b）2≥0显然成立，故原不等式得证．

考点三　反证法的应用

【例3】等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.

（1）求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

（2）设bn＝（n∈N*），求证：

数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

（1）解　由已知得∴d＝2，

故an＝2n－1＋，Sn＝n（n＋）．

（2）证明　由

（1）得bn＝＝n＋.

假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r∈N*，且互不相等）成等比数列，则b＝bpbr.

即（q＋）2＝（p＋）（r＋）．

∴（q2－pr）＋（2q－p－r）＝0.

∵p，q，r∈N*，∴

∴2＝pr，（p－r）2＝0.

∴p＝r，与p≠r矛盾．

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.

学生用书第204页

规律方法用反证法证明不等式要把握三点：

（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面；

（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．

【训练3】已知a≥－1，求证三个方程：

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根．

证明　假设三个方程都没有实数根，则

⇒

∴－＜a＜－1.

这与已知a≥－1矛盾，

所以假设不成立，故原结论成立．

1．分析法的特点：

从未知看需知，逐步靠拢已知．

2．综合法的特点：

从已知看可知，逐步推出未知．

3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．

4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．

答题模板13——反证法在证明题中的应用

【典例】（14分）（2013·北京卷）直线y＝kx＋m（m≠0）与椭圆W：

＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．

（1）当点B的坐标为（0,1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：

四边形OABC不可能为菱形．

[规范解答]　

（1）解　因为四边形OABC为菱形，

所以AC与OB相互垂直平分．（2分）

所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，

即t＝±.

所以|AC|＝2.（5分）

（2）证明　假设四边形OABC为菱形．

因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.

由消y并整理得

（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.（7分）

设A（x1，y1），C（x2，y2），则

＝－，

＝k·＋m＝.

所以AC的中点为M.（9分）

因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，

所以直线OB的斜率为－.（11分）

因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．（13分）

所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．（14分）

[反思感悟]

（1）掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．

（2）当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．

（3）利用反证法证明时，一定要回到结论上去．

答题模板　用反证法证明数学命题的答题模板：

第一步：

分清命题“p→q”的条件和结论；

第二步：

作出与命题结论q相矛盾的假定綈q；

第三步：

由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步：

断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题.

学生用书第205页

【自主体验】

设直线l1：

y＝k1x＋1，l2：

y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.

（1）证明：

l1与l2相交；

（2）证明：

l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．

证明　

（1）假设l1与l2不相交，

则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，

代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.

这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，

即l1与l2相交．

（2）由方程组

解得交点P的坐标为.

从而2x2＋y2＝22＋2

＝＝＝1，

所以l1与l2的交点P（x，y）在椭圆2x2＋y2＝1上．

对应学生用书P381

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．（2014·安阳模拟）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（　　）．

A.＜B．a＋＞b＋

C．b＋＞a＋D.＜

解析　（特值法）取a＝－2，b＝－1，验证C正确．

答案　C

2．用反证法证明命题：

“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是（　　）．

A．a，b都不能被5整除

B．a，b都能被5整除

C．a，b中有一个不能被5整除

D．a，b中有一个能被5整除

解析　由反证法的定义得，反设即否定结论．

答案　A

3．（2014·上海模拟）“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥1”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　当a＝时，x＋≥2＝1，当且仅当x＝，即x＝时取等；反之，显然不成立．

答案　A

4．（2014·张家口模拟）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：

“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是（　　）．

A．a－b＞0B．a－c＞0

C．（a－b）（a－c）＞0D．（a－b）（a－c）＜0

解析　由题意知＜a⇐b2－ac＜3a2

⇐（a＋c）2－ac＜3a2

⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0

⇐－2a2＋ac＋c2＜0

⇐2a2－ac－c2＞0

⇐（a－c）（2a＋c）＞0⇐（a－c）（a－b）＞0.

答案　C

5．（2014·天津模拟）p＝＋，q＝·（m，n，a，b，c，d均为正数），则p，q的大小为（　　）．

A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定

解析　q＝≥＝＋＝p.

答案　B

二、填空题

6．下列条件：

①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．

解析　要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同即可，故①③④能使＋≥2成立．

答案　3

7．已知a，b，m均为正数，且a＞b，则与的大小关系是________．

解析　－＝＝，

∵a，b，m＞0，且a＞b，∴b－a＜0，∴＜.

答案　＜

8．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：

“a，b中至少有一个大于1”的条件的是________（填上序）．

答案　①

三、解答题

9．若a，b，c是不全相等的正数，求证：

lg