高中数学二次函数试题.docx
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高中数学二次函数试题
高中数学二次函数试题
二次函数
1.(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法
若fxxbxc,且f10,f30,求f1的值.2
变式1:
若二次函数fxaxbxc的图像的顶点坐标为2,1,与y轴的交点坐标为2
(0,11),则
A.a1,b4,c11B.a3,b12,c11
C.a3,b6,c11D.a3,b12,c11
变式2:
若fxxb2x3,x[b,c]的图像x=1对称,则c=_______.2
变式3:
若二次函数fxaxbxc的图像与x轴有两个不同的交点Ax1,0、2
Bx2,0,且x12x22262,试问该二次函数的图像由fx3x1的图像向上平移几个9
单位得到?
2.(北师大版第52页例2)图像特征
将函数fx3x6x1配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值2
或最小值,并画出它的图像.
变式1:
已知二次函数fxaxbxc,如果fx1fx2(其中x1x2),则2
xxf122
4acb2bbA.B.C.cD.2aa4a
变式2:
函数fxxpxq对任意的x均有f1xf1x,那么f0、f1、2
f1的大小关系是
A.f1f1f0B.f0f1f1
C.f1f0f1D.f1f0f1
变式3:
已知函数fxaxbxc的图像如右图所示,2y
请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________.Ox
1
3.(人教A版第43页B组第1题)单调性
已知函数fxx2x,gxx2xx[2,4].22
(1)求fx,gx的单调区间;
(2)求fx,gx的最小值.
变式1:
已知函数fxx4ax2在区间,6内单调递减,则a的取值范围是2
A.a3B.a3C.a3D.a3
12变式2:
已知函数fxxa1x5在区间(,1)上为增函数,那么f2的取值范围2
是_________.
变式3:
已知函数fxxkx在[2,4]上是单调函数,求实数k的取值范围.2
4.(人教A版第43页B组第1题)最值
已知函数fxx2x,gxx2xx[2,4].22
(1)求fx,gx的单调区间;
(2)求fx,gx的最小值.
变式1:
已知函数fxx2x3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围2
是
A.1,B.0,2C.1,2D.,2
变式2:
若函数yM,最小值为m,则M+m的值等于________.变式3:
已知函数fx4x4axa2a2在区间[0,2]上的最小值为3,求a的值.22
5.(人教A版第43页A组第6题)奇偶性
已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x≥0时,fxx1x.画出函数fx的图像,并求出函数的解析式.
22变式1:
若函数fxm1xm1x1是偶函数,则在区间,0上fx是
A.增函数B.减函数C.常数D.可能是增函数,也可能是常数变式2:
若函数fxaxbx3aba1x2a是偶函数,则点a,b的坐标是2
________.
变式3:
设a为实数,函数f(x)x|xa|1,xR.
(I)讨论f(x)的奇偶性;(II)求f(x)的最小值.
2
2
6.(北师大版第64页A组第9题)图像变换
x24x3,3x0已知f(x)3x3,0x1.
2x6x5,1x6
(1)画出函数的图象;
(2)求函数的单调区间;(3)求函数的最大值和最小值.
变式1:
指出函数yx2x3的单调区间.
变式2:
已知函数f(x)|x22axb|(xR).
给下列命题:
①f(x)必是偶函数;
②当f(0)f
(2)时,f(x)的图像必关于直线x=1对称;
2③若ab0,则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数;2
④f(x)有最大值|a2b|.
其中正确的序号是________.③
变式3:
设函数f(x)x|x|bxc,给出下列4个命题:
①当c=0时,yf(x)是奇函数;②当b=0,c>0时,方程f(x)0只有一个实根;③yf(x)的图象关于点(0,c)对称;
④方程f(x)0至多有两个实根.
上述命题中正确的序号为
7.(北师大版第54页A组第6题)值域
求二次函数f(x)2x6x在下列定义域上的值域:
(1)定义域为xZ0x3;
(2)定义域为2,1.
变式1:
函数f(x)2x6x2x2的值域是22
9A
.B.C.D.20,420,2920,2
变式2:
函数y=cos2x+sinx的值域是__________.
变式3:
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b为常数,且a≠0),满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
3
(2)是否存在实数m、n(m 8.(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题 当a,b,c具有什么关系时,二次函数fxaxbxc的函数值恒大于零? 恒小于零? 2 变式1: 已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (I)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(II)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. 变式2: 已知函数f(x)x2ax3a,若x2,2时,有f(x)2恒成立,求a的取值范围. 变式3: 若f(x)=x2+bx+c,不论、为何实数,恒有f(sin)≥0,f(2+cos)≤0.(I)求证: b+c=-1;(II)求证: c≥3; (III)若函数f(sin)的最大值为8,求b、c的值.9.(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系 右图是二次函数fxaxbxc的图像,它与x轴交于点x1,0和x2,0,试确定 2 a,b,c以及x1x2,x1x2的符号. 变式1: 二次函数yaxb与一次函数yaxb(ab)在同一个直角坐标系的图像为 2 y y O y y x x OA. x OB. 2 x C. 2 D. 2 变式2: 直线ymx3与抛物线C1: yx5mx4m,C2: yx(2m1)xm3, C3: yx23mx2m3中至少有一条相交,则m的取值范围是. 4 变式3: 对于函数f(x),若存在x0R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.如果函数f(x)=ax2+bx+1(a>0)有两个相异的不动点x1、x2. 1(I)若x1<1 (II)若|x1|<2且|x1-x2|=2,求b的取值范围. 二次函数答案 1.(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法 b2a2 a324acb变式1: 解: 由题意可知1,解得b12,故选D. c114ac11 变式2: 解: 由题意可知b20c1,解得b=0,∴1,解得c=2.22 2变式3: 解: 由题意可设所求二次函数的解析式为fx3x1k, 展开得fx3x6x3k,2 ∴x1x22,x1x23k,3 222∴x1x2x1x22x1x223k262644,即,解得k.9339 24所以,该二次函数的图像是由fx3x1的图像向上平移单位得到的,它的解析3 式是fx3x12452,即fx3x6x.33 2.(北师大版第52页例2)图像特征 2x1x2bx1x24acb变式1: 解: 根据题意可知,∴f,故选D.22a4a2 变式2: 解: ∵f1xf1x,∴抛物线fxxpxq的对称轴是x1,2 ∴p1即p2,2 2∴fxx2xq,∴f0q、f13q、f11q, 5 故有f1f0f1,选C. 变式3: 解: 观察函数图像可得: ①a>0(开口方向);②c=1(和y轴的交点); ③4a2b10(和x轴的交点);④ab10(f10); ⑤b24a0(判别式);⑥1yb2(对称轴).2a Ox3.(人教A版第43页B组第1题)单调性 变式1: 解: 函数fxx4ax2图像是开口向上的抛物线,2 其对称轴是x2a, 由已知函数在区间,6内单调递减可知区间,6应在直线x2a的左侧,∴2a6,解得a3,故选D. 12变式2: 解: 函数fxxa1x5在区间(,1)上为增函数,由于其图像(抛物线)开2 口向上,所以其对称轴x解得a2, ∴a111a11,或与直线x重合或位于直线x的左侧,即应有22222f24a1257,即f27. 2变式3: 解: 函数fxxkx的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是 xk,2 ∵已知函数在[2,4]上是单调函数,∴区间[2,4]应在直线x 即有k的左侧或右侧,2kk2或4,解得k4或k8.22 y 24.(人教A版第43页B组第1题)最值变式1: 解: 作出函数fxx2x3的图像, ∴m的取值范围是1m2,故选C.O开口向上,对称轴上x=1,顶点是(1,2),和y轴的交点是(0,3),x 6 变式2: 解: 函数有意义,应有x240,解得2x2, ∴0x244 02 06, ∴M=6,m=0,故M+m=6. a变式3: 解: 函数fx的表达式可化为fx4x22a.2 ①当02a2,即0a4时,fx有最小值22a,依题意应有22a3,解得2 1a,这个值与0a4相矛盾.2 a22②当0,即a0时,f0a2a2是最小值,依题意应有a2a2 3,解得2 a1,又∵a 0,∴a1③当a2,即a4时,f2168aa22a2是最小值,2 2依题意应有168aa2a2 3,解得a5a 4,∴a5为所 求. 综上所述,a1 a5 5.(人教A版第43页A组第6题)奇偶性 222变式1: 解: 函数fxm1xm1x1是偶函数m10m1, 当m1时,fx1是常数;当m1时,fx2x1,在区间,0上fx是2 增函数,故选D. 变式2: 解: 根据题意可知应有a12a0且b0,即a 标是,0. 2变式3: 解: (I)当a0时,函数f(x)(x)|x|1f(x),此时,f(x)为偶函1且b0,∴点a,b的坐313 数; 22当a0时,f(a)a1,f(a)a2|a|1, f(a)f(a),f(a)f(a),此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 22(II)(i)当xa时,f(x)xxa1(x)a1 23,4 7 若a1,则函数f(x)在(,a]上单调递减,从而函数f(x)在(,a]上的最小值2 为f(a)a21.1131,则函数f(x)在(,a]上的最小值为f()a,且f()f(a).2242 1232(ii)当xa时,函数f(x)xxa1(x)a,24 1131若a,则函数f(x)在(,a]上的最小值为f()a,且f()f(a),2242 1若a,则函数f(x)在[a,)上单调递增,从而函数f(x)在[a,)上的最小值2若a 为f(a)a21.综上,当a13时,函数f(x)的最小值为a;24 112当a时,函数f(x)的最小值为a1;22 13当a时,函数f(x)的最小值为a.24 6.(北师大版第64页A组第9题)图像变换 变式1: 解: 函数可转化为二次函数,作出函数图像, 由图像可得单调区间. 2当x0时,yx2x3x14, 2当x0时,yx2x3x14.22y 作出函数图像,由图像可得单调区间. Ox 在,1和0,1上,函数是增函数;在1,0和1,上,函数是减函数. 变式2: 解: 若a1,b1,则f(x)|x2x1|x2x1,显然不是偶函数,所以①是不正确的; 若a1,b4,则f(x)|x2x4|,满足f(0)f (2),但f(x)的图像不关于直线x=1对称,所以②是不正确的; 222若ab0,则f(x)|x2axb|x2axb,图像是开口向上的抛物线,其对称2228 轴是xa,∴f(x)在区间[a,+∞)上是增函数,即③是正确的; 显然函数f(x)|x2axb|xR没有最大值,所以④是不正确的. 2 2xbxc,x0 变式3: 解: f(x)x|x|bxc2, xbxc,x0 (1)当c=0时,f(x)xxbx,满足f(x)fx,是奇函数,所以①是正确的; x2c,x0 (2)当b=0,c>0时,f(x)xxc2, xc,x0 x2c0x2c0 方程f(x)0即或, x0x0 x2c0x2c0 显然方程无解;方程的唯一解是x,所以②是正确的; x0 x0 (3)设x0,y0是函数f(x)x|x|bxc图像上的任一点,应有y0x0|x0|bx0c,而该点关于(0,c)对称的点是x0,2cy0,代入检验2cy0x0|x0|bx0c即 y0x0|x0|bx0c,也即y0x0|x0|bx0c,所以x0,2cy0也是函数 f(x)x|x|bxc图像上的点,所以③是正确的; (4)若b1,c0,则f(x)x|x|x,显然方程x|x|x0有三个根,所以④是不正确的. 7.(北师大版第54页A组第6题)值域 变式1: 解: 作出函数f(x)2x6x2x2的图象,容易发现在2,上是增 2 2 3 函数,在,2上是减函数,求出f (2)20,f (2)4,f() 32 329 ,注意到函数定义不包2 含x2,所以函数值域是20,. 2 9 变式2: 解: ∵y=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1,令t=sinx[-1,1], 则y=-2t2+t+1,其中t[-1,1], 99 ∴y[-2,],即原函数的值域是[-2,]. 88变式3: 解: (I)∵ f(1+x)=f(1-x), b ∴-=1, 2a 又方程f(x)=x有等根ax2+(b-1)x=0有等根,1 ∴△=(b-1)2=0b=1a=, 21 ∴f(x)=-x2+x. 2 (II)∵f(x)为开口向下的抛物线,对称轴为x=1,1当m≥1时,f(x)在[m,n]上是减函数,1 ∴3m=f(x)min=f(n)=-n2+n(*), 2 1 3n=f(x)max=f(m)=m2+m, 2 1 两式相减得: 3(m-n)=-(n2-m2)+(n-m), 2∵1≤m m+n=8,代入(*)化简得: n2-8n+48=0无实数解.2当n≤1时,f(x)在[m,n]上是增函数,1 ∴3m=f(x)min=f(m)=-m2+m, 2 1 3n=f(x)max=f(n)=-n2+n, 2∴m=-4,n=0. 3当m≤1≤n时,对称轴x=1[m,n], 11 ∴3n=f(x)max=f (1)=n=与n≥1矛盾. 26 综合上述知,存在m=-4、n=0满足条件. 8.(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题 变式1: 解: (I)函数f(x)的定义域为R,即不等式ax2+2x+1>0的解集为R, a>0 ∴应有a>1, △=4-4a<0 ∴实数a的取值范围是(1,+). (II)函数f(x)的值域为R,即ax2+2x+1能够取(0,+)的所有值. 1当a=0时,ax2+2x+1=2x+1满足要求; a>0
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