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数学汇总
特殊平行四边形的判定定理
平行四边形的判定定理:
1.两组对边分别平行的四边形
2.一组对边平行且相等的四边形
3.对角线互相平分的四边形
4.两组对边分别相等的四边形
5.两组对角分别相等的四边形
矩形的判定定理
1.
有一个角是直角的平行四边形
2.有三个角是直角的四边形
3.对角线相等的平行四边形
4.对角线相等且平分的四边形
菱形的判定定理
1.
一组邻边相等的平行四边形;
2.四边都相等的四边形
3.对角线互相垂直的平行四边形
4.对角线互相垂直平分的四边形
正方形的判定定理
1.一组邻边相等的矩形
2.对角线互相垂直的矩形
3.有一个角是直角的菱形
4.对角线相等的菱形
练习1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是BC、BA的中点,连接DE并延长至F,使AF=AE。
(1)证明:
四边形ACEF是平行四边形。
(2)若四边形ACEF是菱形,求∠B的度数。
练习2.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,将△AOD平移至△BEC的位置,连接OE,则图中四边形BECO是什么形状?
练习2.将平行四边形ABCD的边DC延长至点E,使CE=DC,连接AE交BC于点F,
(1)连接AC、BE,则当∠AFC与∠D满足什么条件时,四边形ABEC是矩形。
C’
练习3.在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCE沿对角线BD翻折点C落在点C’处,BC’交AD于点E,则线段DE的长为()
练习4.EG、FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH,求证:
四边形EFGH是正方形。
比例线段
图①
图②
上:
下=上:
下
上:
全=上:
全
下:
全=下:
全
左:
右=左:
右
相似三角形
相似三角形的性质:
对应角相等,对应边成比例,对应高、角平分线、中线的比分别相等;周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
相似比等于对应边的边长比。
相似三角形的判定定理:
1.两个内角对应相等的两个三角形相似
2.两边对应成比例,夹角相等的两个三角形相似
3.
三边对应成比例的两个三角形相似
4.平行线与相交线形成的两个三角形相似
练习题1:
如图,已知正方形ABCD,点E是BC中点,DE与AC相交于点F,连接BF。
求证:
S△ABF=S△ADF;S△ADF=2S△CDF
平行线段及相似三角形的相关知识点总结
1.记住对应线段成比例,“对应”位置的线段相比相等。
2.平行四边形延长线段组成比例线段
3.三角形内平行于底边的线段组成的相似三角形从而有比例线段。
4.在出现线段比的几何题目中,可借助辅助线形成平行线,从而构成比例线段。
5.掌握与三角形相关的性质定理、判定定理有利于解答几何题,如等腰三角形的三线合一,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半,等边三角形内角均是60°,三边长相等。
三角形的中位线定理:
中位线平行于底边且等于底边的一半;过一边中点且平行于第三边的是三角形的中位线。
6.当题目问题形式为相乘的比例式形如OB2=AD·AB(AD 先确定比例中项,再将较短线段放着左边分子,再将较长的线段放右边分母。 = 7.证明比例线段时,可通过以下方式寻找: 相似三角形的对应边、平行线被直线所截的对应线段,有时候未能直接求出所要证明的比例线段时,可尝试通过替换等长的线段来求证。 8.证明三角形相似,要熟练应用判定定理,用得最多也是最快的是两个角对应相等,无论用哪个方法证明,均应注意对应的顶点位置不要写错。 9.三角形向外扩张后得到的新的三角形与原三角形相似。 一次函数课程总结 1.关系式形如y=kx+b时,b为y轴上的截距(即当x=0时,y的取值),k是直线斜率 当k<0时,直线与x轴正轴夹角大于90°; 当k>0时,直线与x轴正轴夹角小于90°; 当k=0时,直线平行于x轴,如y=2,x取任何值,y=2. 2.用一次函数关系式表达的直线沿x轴左移、右移,沿y轴上移、下移m个单位,设一次函数关系式为y=kx+b,遵守“左加右减,上加下减”总原则。 直线平移的说明 函数关系式变形为 直线y=kx+b沿x轴左移m个单位 y=k(x+m)+b 直线y=kx+b沿x轴右移m个单位 y=k(x-m)+b 直线y=kx+b沿y轴上移m个单位 y=kx+b+m 直线y=kx+b沿y轴下移m个单位 y=kx+b-m 3.如何根据一次函数式快速在直角坐标系快速作图: 根据解析式求x=0时y的取值确定点A(0,y),求y=0时x的取值确定点B(x,0),在坐标系中标出两个点的位置,经过两点画直线,这条直线就是一次函数式的图像。 投影与视图 1.学会根据主视图、俯视图、左视图中的一种画其它两种,或根据几何图形或它的三种视图。 2.要会计算几何图形的表面积和体积,熟练掌握如下几何体的面积和体积公式: 几何体名称 表面积公式 体积公式 圆柱 2S底+S侧 SH底面积*高 棱柱 2S底+S侧 长方体 (长*宽+宽*高+长*高)*2 正方体 边长2*6 圆锥 S底+S侧 SH *底面积*高 三棱锥 2S底+S侧 球体 4πR2 πR3 3. 由俯视图、正视图和左视图的相互转化 (俯视图)(主视图)(左视图) (俯视图)(主视图)(左视图) 4. 投影与视图 如何判断相同大小立方体构成的几何体的最多与最少的小立方体的个数 (1)一个几何体是由若干个相同的立方体构成,其主视图和左视图如图所示,邱构成几何体所使用的小立方体的最少个数和最多个数。 拿主视图来想象几何体各个位置的立方体个数, 拿左视图来确定最多、最少个数,。 (2)下图由一些完全相等的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图,求组成这个几何体所需的小正方体的个数。 5.阳光的影子问题 (1)方向一致,长度成比例; (2)太阳光线是无数条平行线 练习1.小军、小朱之间的举例是2.7m,他们在同一盏灯下影长分别是1.8m,1.5m,他们实际身高也是1.8m,1.5m。 求路灯的高度。 练习2.路灯下一墙墩(用线段AB表示)的影子是BC,小明(用线段DE表示)的影子是EF,在M处有一棵小树,它的影子是MN。 (1)指出路灯的位置(用点P表示); (2)在图中画出小树的线段。 投影与视图 其他顺便学习的知识点: 1.已知一元二次方程其中一个实数根的其中一个实数根,可通过x1+x2=- x1·x2= 的关系式来求另外一个根或系数。 2.一元二次方程的根与△的关系 △ 方程的根 △>0 有两个不相等实数根 △=0 有两个相等的实数根 △<0 没有实数根 3.两个坐标之间的直线距离公式: A(x1,y1),B(x2,y2),︱AB︱=√(x1-x2)2+(y1-y2)2 4.点(x0,y0)到直线(Ax+By+C=0)的距离公式: L=︱Ax0+By0+c︱/√A2+B2 5.已知两点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),,求中点C的坐标公式: 横坐标是两点横坐标的和的一半,纵坐标是两点纵坐标的和的一半。 6.凡是类似出现动点的问题,只要是在直角坐标系中,基本步骤是: 先假设动点坐标,一般这个动点会在某个函数或x轴或y轴上,这样动点的横坐标和纵坐标是有关系的,虽然假设坐标点,但仅有一个未知数。 然后再根据线段的相等关系列出代数式,然后求解即可。 反比例函数 1.正比例函数与反比例函数 正比例函数 y=kx k>0 增函数 K<0 减函数 反比例函数 y= k>0 减函数 K<0 增函数 2.求反比例函数表达式,有两种考查方式: ①坐标代入法(知道反比函数图象上一个坐标点即可);②形如(m2+2m)xm2+m-1的是反比例函数,则m2+2m≠0,m2+m-1=-1,解方程即可求出m。 3.反比例函数的描绘: 已知x的取值范围求y的取值范围或已知y的取值范围求x的取值范围: 在图象中找出分界点及其坐标,并对应相应的x、y求出相应的y和x。 4.反比例函数上的点作辅助线与x、y轴或辅助线构成的形如长方形、梯形,求四边形的面积变化与坐标点取值的关系,解题步骤: 先写出面积公式涉及的线段,再写线段所涉及的点的坐标,然后求出各线段的长度的表达式,带入公式即可求出面积的表达式。 练习题1: 如图,在平面直角坐标系中,点P(1,4),点Q(m,n)在函数y= (x>0)的函数图象上,当m>1时,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为C、D,QD交PA于点E,四边形ACQE的面积的大小随m的增大而。 反比例函数 练习题2: 平面直角坐标系中,点M是x轴负半轴上的一定点,点P是函数y= (x<0)上的一动点,PN⊥y轴于点N,当点P的横坐标在逐渐增大时,四边形PMON的面积将会。 5.反比例函数的变形: 练习题: 如图是y=2/x函数的图象,请画出y=2/(x+1)的图象。 6.反比例函数的相关应用: 1)几何图形面积公式 2)路程与速度、时间的关系 3)完成一项工程所需时间与每天工作量的关系 4)人均耕地面积与总人口的关系 5)(水烧开后放着)水温与时间的关系 练习题: 某地上一年度电价为0.8元,年用电量为1亿度,本年度计划将电价调至0.55~0.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)元成反比例,又当x=0.65时,y=0.8. (1)求y与x的解析式; (2)若每度电的成本价为0.3元,电价调至0.6元时,请预算一下本年度电力部门的利润多少。 方程求解与图象求交点的关系 1.部分方程求实数解个数是可以化为求2个函数图象的交点,如求x-4=3/x的实数解个数,可以化为求: 一次函数y=x-4的图象与反比例函数y=3/x的图象的交点个数。 如求一元二次方程x2+3x+2=0的实数解个数,实际上求的是二次函数图象y=x2+3x+2与x 轴(y=0)的交点个数。 二次函数的相关知识点 一元二次函数图象的顶点坐标的横坐标是x=-b/2a 如何将二次函数化为顶点式(组完全平方式) 二次函数的系数b2-4ac与函数图象与x轴的交点数 一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数及其图象 b2-4ac<0 b2-4ac=0 b2-4ac>0 y=ax2+bx+c(a>0) ①类图象 X0 X2 X1 y=ax2+bx+c(a<0) ②类图象 X0 X2 X1 ax2+bx+c<0 ①类图象: 无解 ②类图象: x∈R ①类图象: 无解 ②类图象: x≠X0 ①类图象: X1 ②类图象: x ax2+bx+c=0 无解 x=X0 x=X1或x=X2 ax2+bx+c>0 ①类图象: x∈R ②类图象: 无解 ①类图象: ②类图象: ①类图象: x ②类图象: X1 一元二次函数的平移 符合“左加右减,上加下减”的原则 练习题: 二次函数y=x2+4x+3的图象可以由二次函数y=x2的图象平移得到,该如何平移? 方法1: y=x2+4x+3=(x+2)2-1也就是二次函数y=x2+4x+3要变为y=(x+2-2)2-1+1=x2需要向上平移1个单位,再向右平移2个单位。 也就是要从y=x2变为y=(x+2)2-1需要向左平移2个单位再向下平移1个单位。 方法2: 顶点平移法,y=x2的顶点是原点(0,0),而y=x2+4x+3的顶点是(-2,-1),因此是向左平移2个单位,向下平移1个单位。 如何快速确定二次函数的顶点、开口从而确定二次函数图象的位置 1、化为顶点式,从而确定顶点坐标 2、通过二次项系数的正负号从而确定开口向上(a>0)是向下(a<0)。 A.y=2x2+4x+8B.y= x2+ x+9 综合练习题 1.若函数y= (x2-100x+196+︱x2-100x+196︱),则当自变量x取1,2,3,…这100个自然数时,函数值的和是多少? 2.若二次函数有最大值1,此函数表达式为y=(k+1)x2+k2-8,求k的值。 3.已知点(-5,y1),(1,y2),(10,y3)在函数y=(x-2)2+C的图象上,则求y1,y2,y3的大小关系(用画图法) 4.如图的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是() 5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,根据图象解答下题() (1)写出ax2+bx+c=0的两个根 (2)当x为何值时,y>0,当x为何值时,y>0. (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 一次函数、二次函数和反比例函数混合考查 1. 如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,-2),它与反比例函数y=- 图象交于A(m,4),求b,c. 2. 如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过原点。 直线AC的解析式为y=kx+4. (1)求二次函数的解析式; (2)若 = 求k;(3)若以BC为直径的圆经过原点,求K. 3.如图,四边形ABCD是正方形,点A坐标为(0,1),B坐标为(0,-2),反比例函数y=k/x图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点。 (1)求反比例函数解析式; (2)求反比例函数与一次函数的另一交点。 (3)P是反比例函数上的一点,S△AOP=S□ABCD,求P点坐标。 在函数上的动点: 某个坐标点,满足一定条件,求坐标点。 先设动点坐标为(x,y) 在几何图形上的动点: 时间为t,速度为m个单位,所走过的路程为mt 三角函数 直角三角函数 比值 特殊角的三角函数值 30° 45° 60° sin cos tan 1 考查方式: 1.计算题中计算特殊角的三角函数值 2.任意一个直角三角形,通过一条边和一个特殊角(30°、45°、60°),可以通过三角函数求出其他边。
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