将军饮马问题的11个模型及例题.docx
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将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题
问题概述
路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题
方法原理--===========================================================
1.两点之间,线段最短;2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
3•中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4.垂线段最短.
基本模型-……………………-……………--……………-……
1.
已知:
如图,定点A、B分布在定直线I两侧;
解:
连接AB交直线I于点P,
\i
\f
1
E
理由:
在I上任取异于点P的一点P',连接AP、BP',
在厶ABP中,AP+BP'>AB即AP+BP'>AP+BP
的交点时,PA+PB最小.
2.
已知:
如图,定点A和定点B在定直线I的同侧
要求:
在直线I上找一点P,使得PA+PB值最小
(或△ABP的周长最小)
解:
作点A关于直线I的对称点A',连接A'B交I于
p,
点P即为所求;
理由:
根据轴对称的性质知直线I为线段AA'的中垂线,
由中垂线的性质得:
PA=PA,要使PA+PB最小,则需PA'+PB值最小,从而转化为模型1.
3.
it
已知:
如图,定点AB分布在定直线I的同侧(A、B两点到I的距离不相等)
要求:
在直线I上找一点P,使IPA-PBI的值最大
解:
连接BA并延长,交直线I于点P,点P即为所求;
理由:
此时IPA-PB|=AB在I上任取异于点P的一点P',
连接AP'、BP',由三角形的三边关系知IP'A-P'B
I 即IP'A-P'BI 已知: 如图,定点AB分布在定直线I的两侧(A、B两 点到I的距离不相等) 要求: 在直线I上找一点P,使丨PA-PBI的值最大 解: 作点B关于直线I的对称点B',连接B'A并延长交 理由: 根据对称的性质知I为线段BB的中垂线,由中垂 线的性质得: PB-PB,要使丨PA-PB|最大,则需 IPA-PB'丨值最大,从而转化为模型3. 典型例题1-1 如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分 别为线段AB0B的中点,点P为0A上一动点,当PC+PD最小时, 点P的坐标为,此时PC+PD勺最小值为. 【分析】符合基本模型2的特征,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD直最小,由条件知CD为△BAO的中位线,0P为△CDD'的中位线,易求0P长,从而求出P点坐标;PC+PD勺最小值即CD'长,可用勾股定理(或两点之间的距离公式,实质相同)计算 【解答】连接CD作点D关于x轴的对称点D',连接CD交x轴 于点P,此时PC+PD直最小.令y=x+4中x=0,则y=4. ^22 •••点B坐标(0,4);令y=x+4中y=0,则亍x+4=0,解得: (-6,0).T点C、D分别为线段AB0B的中点, x=-6,「.点A的坐标为 CDBAO的中位线, •CD//x轴,且CD=2A0=3 •••点D'和点D关于x轴对称,•0为DD的中点, D'(0,-1),•0卩为厶CDD的中位线,•0P=^CD=|, •••点P的坐标为(-2,0).在Rt△CDD中, 【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标;若题型变 化,C、D不是AB和0B中点时,则先求直线CD的解析式,再求其与x轴的交点P的坐标. 典型例题1-2 如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,1),点B 的坐标为(孑,-2),点P在直线y=-x上运动,当|PA-PB|最 大时点P的坐标为 【分析】符合基本模型4的特征,作A关于直线y=-x对称点C,连接BC,可得直线BC的方程;求得BC与直线y=-x的交点P的坐标;此时|PA-PB|=|PC-PB|=BC取得最大值,再用两点之间的距离公式求此最大值• 【解答】作A关于直线y=-x对称点C, 易得C的坐标为(-1,0); 连接BC,可得直线BC 的方程为y=-4x-5,与直线 -PB|=|PC-PB|=BC取得最大值, y=-x联立解得交点坐标P为(4,-4);此时|PA 最大值BC=(21)2 (2)2^41; 【小结】“两点一线”大多考查基本模型 2和4,需作一次对称点,连线得交点 变式训练1-1 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),0B=^5,点P是对角线0B上的一个动点,D(0,1),当CP+DR最短时,点P的坐标为() 变式训练1-2 如图,菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点0,AC=2 BD=2,E为AB的中点,P为对角线AC上一动点,贝UPE+PB勺 最小值为. 变式训练1-3 -12 如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x+bx+c与直线交于 A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0). (1)求该抛物线的解析式; M的坐标. (2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大,求出点 拓展模型 已知: 如图,A为锐角/MOM—定点; 要求: 在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q使 AP+PQ的值最小. 时,AP+PQ最小; 理由: AP+P®AQ当且仅当AP、Q三点共线时, AP+PQ取得最小值AQ根据垂线段最短,当 AQLON时,AQ最小. 要求: 在射线0M上找一点P,在射线ON上找一点Q使 AP+PQ的值最小. A',过点A作AQLON 3. 解: 作点A关于0M的对称点 于点QAQ交OMI于点P,此时AP+PQt小; 理由: 由轴对称的性质知AP=AP,要使AP+PQ最小, 只需AP+PQ最小,从而转化为拓展模型1 已知: 如图,A为锐角/MON内一定点; 要求: 在射线OMk找一点P,在射线ON上找一点Q使 △APQ的周长最小 解: 分别作A点关于直线OM的对称点Ai,关于ON的对 称点A2,连接AiAe交OM于点P,交ON于点Q,点 P和点Q即为所求,此时△APQ周长最小,最小值 即为线段A1A2的长度; 理由: 由轴对称的性质知AP=AP,AQ=AQ△APQ的周 长AP+PQ+AQ=A+PQ+AQ,当Ai、P、QA四点共线 时,其值最小 4. 已知: 如图,A、B为锐角/MON内两个定点; 要求: 在OM上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形 APQB勺周长最小 解: 作点A关于直线OM的对称点A,作点B关于直 ON的对称点B',连接AB'交OM于P,交ON于Q 则点P、点Q即为所求,此时四边形APQB周长的 AJ 理由: AB长为定值,由基本模型将 最小值即为线段AB和AB'的长度之和; PA转化为PA,将 QB转化为QB,当A P、QB'四点共线时, PA+PQ+QB的值最小,即PA+PQ+QB的值最小. 5.搭桥模型 已知: 如图,直线m//n,A、B分别为m上方和n下方的定 点,(直线AB不与m垂直) 要求: 在mn之间求作垂线段PQ使得AP+PQ+B最小. 分析: PQ为定值,只需AP+BQ最小,可通过平移,使 P、Q“接头”,转化为基本模型 解: 如图,将点A沿着平行于PQ的方向,向下平移至 点A',使得AA'=PQ连接AB交直线n于点 Q,过点Q作PQLn,交直线m于点P,线段PQ即 为所求,此时AP+PQ+B最小. 理由: 易知四边形QPAA为平行四边形,则QA=PA 当B、QA'三点共线时, QA+BQ最小,即 AP+BQ最小,PQ长为定值,此时AP+PQ+B(最小. 6. 已知: 如图,定点AB分布于直线I两侧,长度为a (a为定值)的线段PQ在I上移动(P在Q左边) 要求: 确定PQ的位置,使得AP+PQ+Q最小 分析: PQ为定值,只需AP+QB勺值最小,可通过平移, 使P、Q“接头”,转化为基本模型 解: 将点A沿着平行于I的方向,向右移至A',使 AA=PQ=a连接AB交直线I于点Q在I上截取 PQ=a(P在Q左边),则线段PQ即为所求,此时 AP+PQ+Q的最小值为AB+PQ即AB+a 理由: 易知四边形APQA为平行四边形,则PA=QA, 当A'、QB三点共线时,QA+QB最小,即PA+QB 最小,又PQ长为定值此时PA+PQ+Q值最小. 7. 已知: 如图,定点AB分布于直线I的同侧,长度a (a为定值)的线段PQ在I上移动(P在Q左边) 要求: 确定PQ的位置,使得四边形APQB周长最小 分析: AB长度确定,只需AP+PQ+Q最小,通过作A点 关于I的对称点,转化为上述模型3 解: 作A点关于I的对称点A',将点A'沿着平行于 的方向,向右移至A',使A'A'=PQ=a连接 交I于Q,在I上截取QP=a(P在Q左边),线段 PQ即为所求,此时四边形APQB周长的最小值为 A'B+AB+PQ即卩A'B+AB+a 典型例题2-1 如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5若点MN分别是线段AG AB上的两个动点,则BM+M的最小值为. 【分析】符合拓展模型2的特征,作点B关于AG的对称点E,再过点E作AB的垂线段,该垂线段的长即BM+MN勺最小值,借助等面积法和相似可求其长度• 其最小值即EN长;TAB=10,BG=5 【解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作ENLAB于N,贝UBM+MN=EM+MN 二AG=AB2BG2=55, 等面积法求得AC边上的高为105=2,5,•••BE=4,5, 5j5 易知△AB"EW『代入数据解得EN=8 即BM+MN勺最小值为8. 【小结】该类题的思路是通过作对称,将线段转化,再根据定理、公理连线或作垂线;可作 定点或动点关于定直线的对称点,有些题作定点的对称点易解,有些题则作动点的 对称点易解. 典型例题2-2 如图,/AOB=60,点P是/AOB内的定点且OP如,点MN分别 是射线OAOB上异于点O的动点,则厶PMN周长的最小值是() 【分析】符合拓展模型3的特征;作P点分别关于OAOB的对称点CD,连接CD分别交 OAOB于MN,此时△PMN周长最小,其值为CD长;根据对称性连接OGOD, 分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形,作底边上高,易求底边CD. (1)请直接写出点A坐标为,点B坐标为 (2)当BP+PM+ME的长度最小时,请求出点P的坐标. 【分析】 (1)解直角三角形求出ODBD的长即可解决; (2)符合“搭桥模型”的特征;首先证明四边形OPME是平行四边形,可得OP=EM PM是定值,PB+ME=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME的长度最小,此时P点为 •••/PEO=/EOMMPMO=90,•四边形OMPE是矩形, •PM=OE=「;,•••OE=OE,•PM=OE,PM//OE, •四边形OPME是平行四边形 典型例题2-4 (2)求经过AB、D三点的抛物线的解析式; (3)在 (2)中抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方),且EF=1,使四边形 ACEF的周长最小,求出E、F两点的坐标. 【分析】符合拓展模型7的特征,通过作对称、平移、连线,可找出E、F点,结合直线的 解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标. 【解答】 (1)由旋转的性质可知: 0C=0A=20D=0B=4「.C点的坐 标是(0,2),D点的坐标是(4,0), (2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 4a-2b+c=0「 由题意,得'l6a+4b+c=0 c=4 解得a=-pb=1,c=4, •••所求抛物线的解析式为y=-'-'; (3)只需AF+CE最短,抛物线y=-: 一-1的对称轴为x=1, 将点A向上平移至A(-2,1),则AF=AE,作A关于对称轴x=1的对称点 A(4,1),连接AC,A2C与对称轴交于点E,E为所求,可求得A2C的解析式 11一F一3 为y=-庐+2,当x=1时,y=,•点E的坐标为(1,j),点F的坐标为(1,J. 【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”;其中,作对称和平移的顺序可互换 变式训练2-1 几何模型: 条件: 如图1,A,B是直线l同旁的两个定点. 问题: 在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小. 方法: 作点A关于直线I的对称点A'连接AB交I于点P,即为所求•(不必证明)模型应用: (1)如图2,已知平面直角坐标系中两定点A(0,-1)和B(2,-1),P为x轴上一动 点,则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是,此时PA+PB. (2)如图3,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,P是AC上一动点,连接BD,由 正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称•连接ED交AC于P,贝UPB+PE的最小 值是. (3)如图4,在菱形ABCD中,AB=10,ZDAB=60,P是对角线AC上一动点,E,F分别是线段AB和BC上的动点,贝UPE+PF的最小值是. (4)如图5,在菱形ABCD中,AB=6,ZB=60°,点G是边CD边的中点,点E.F分别是 AGAD上的两个动点,则EF+ED的最小值是. 变式训练2-2 如图,矩形ABCD中,AD=15AB=10,E为AB边上一点,且 DE=2AE连接CE与对角线BD交于F;若P、Q分别为AB边 和BC边上的动点,连接EPPQ和QF则四边形EPQF周长 的最小值是. 变式训练2-3 如图,已知直线l1IIl2,|1、l2之间的距离为8,点P到直线l1的 离为6,点Q到直线丨2的距离为4,PQ=4II,在直线l1上有一动点A,直线I2上有一动点B,满足AB丄12,且PA+AB+BQt小,此时 PA+BQ= 变式训练2-4 如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC勺边0A在y轴的正半轴上,0C在x轴的正半轴上,OA=AB=20C=3过点B作BD丄BC,交0A于点D.将/DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F. (1)求经过AB、C三点的抛物线的解析式; (2)当BE经过 (1)中抛物线的顶点时,求CF的长; (3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1要使四边形BCPQ的周长最小,求出P、Q两点的坐标. t—I—t—占,日百I____ |——I——IIILi? ! II x轴,建立了如图所示的平面直角坐标系,A点坐标为(0, 3),B点坐标为(6,5),则AB两点到奶站距离之和的最小值是 离之和PA+PB的最小值为( A. C.5.■: 4. F(0,2)的距离与到x 已知抛物线讨x2+1具有如下性质: 该抛物线上任意一点到定点 轴的距离始终相等,如图,点M的坐标为(岛,3),P是抛物线y』x2+1上一个动点, 4 5.如图,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线、亠上,点C,D,分别是x轴,y轴上的动点, 则四边形ABCD周长的最小值为() A.亦B.甌C.2V10+2V2D.8V2 6.如图,在Rt△ABC中,/C=90°,AC=3BC=4DE分别是ABBC边上的动点,贝UAE+DE 的最小值为() 则DA+DB的最小值为 9.如图,菱形ABCD的边长为6,/ABC=120,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC 上的动点,当 PB+PM勺值最小时, PM的长是() A.' B.' C. D.' \T 3 5 10.如图,在Rt△ABC中,/ACB=90,AC=6,BC=8AD平分/CAB交BC于D点,E,F分 别是ADAC上的动点,贝UCE+EF的最小值为() 11.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y丄(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC x 的两边AB,BC分别相交于M,N两点.△OMN勺面积为10.若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是() 野。 题第10甌第口题 A.6「B.10C.2一,D.2: ■! 12.如图,△ABC中,AC=BC=2AB=1,将它沿AB翻折得到厶ABD则四边形ADBC 的形状是形,P、E、F分别为线段ABADDB上的任意点,贝UPE+PF 的最小值是 连接ACBC,已知A(0,3),C(-3,0). (1)求此抛物线的解析式; (2)在抛物线对称轴I上找一点M,使|MB-MD的值最大,并求出这个最大值; (3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA过点P作PQLPA交y轴于点Q,问: 是否存在点P,使得以AP,Q为顶点的三角形与△ABC相似? 若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说 明理由. 14.如图,在四边形ABCD中,/B=ZC=90°,AB>CD,AD=AB+CD B 1*11 (1)用尺规作/ADQ的平分线DE交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法) 2 15.如图,抛物线y=ax+bx+c (a^0)经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. (2)连接ACBC,N为抛物线上的点且在第四象限,当&nbc=S^abc时,求N点的坐标; (1)求二次函数的表达式; (2)在 (1)的条件下, ①证明: AE±DE (1)求抛物线的解析式及顶点 M的坐标; (3)在 (2)问的条件下,过点C作直线I//x轴,动点P(m,3)在直线l上,动点Q(m 和的最小值. 紺I胛 的图象交x轴于另一点B. ②若CD=2AB=4,点M N分别是AEAB上的动点,求BM+MN的最小值. 0)在x轴上,连接PMPQNQ当m为何值时,PM+PQ+Q的和最小,并求出 PM+PQ+QN 16.如图,直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数 y=ax2+4x+c (2)连接BC,点N是线段BC上的动点,作ND! x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND 长度的最大值; (3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点,点M(4,m)是该二次函数图象上一点,在x轴、y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小,求出点F,E的坐标. 17.如图1,已知抛物线y—(x-2)(x+a)(a>0)与x轴从左至右交于A,B两点,与y a 轴交于点C. (1)若抛物线过点T(1,-5),求抛物线的解析式; 4 (2)在第二象限内的抛物线上是否存在点D,使得以A、BD三点为顶点的三角形与△ ABC相似? 若存在,求a的值;若不存在,请说明理由. (3)如图2,在 (1)的条件下,点P的坐标为(-1,1),点Q(6,t)是抛物线上的点, 在x轴上,从左至右有MN两点,且MN=2问MN在x轴上移动到何处时,四边形PQNM的周长最小? 请直接写出符合条件的点M的坐标. 18.如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(-1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),P是第一象限内抛物线上的动点. (1)求此抛物线的解析式; (2)当a=1时,求四边形MEFP勺面积的最大值,并求此时点P的坐标; (3)若厶PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小? 请说明理由. 19. P1 探究: 小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点I (X1,y1),P2(X2,y),可通过构造直角三角形利用图1得到结论: PQ=;I他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x,y)P的坐标 ¥21‘2'1 h1 2 ,y= 2 公式: x= 运用: (2[①已知点M(2,-1),N(-3,5),则线段MN长度为; ②直接写出以点A(2,2),B(-2,0),C(3,-1),D为顶点的平行四边形顶点D的坐标: ; 拓展: (3)如图3,点P(2,n)在函数y=」x(x>0)的图象0L与x轴正半轴夹角的平 3 分线上,请在OL、x轴上分别找出点E、巳使厶PEF的周长最小,简要叙述作图方法,并求出周长的最小值. 20.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x2+2x+1与y轴交于点C. (1)求直线y=kx+b的函数解析式; (2)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标; (3)若点E在抛物线y=-x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF勺最小值. 21.如图①,在平面直角坐标系中,0A=6以0A为边长作等边三角形ABC使得BC//OA且 点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上. (1)求这条抛物线的解析式; (2)在图①中,假设一动点P从点B出发,沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动, 同时另一动点Q从0点出发,沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动,当点P运动到A点时,P、Q都同时停止运动,在P、Q的运动过程中,是否存在时间t,使得 PQLAB,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由; (3) 在BC边上取两点E、F,使BE=EF=1个单位,试在AB边上找一点G,在抛物线的对称轴上找一点H,使得四边形EGHF勺周长最小,并求出周
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