数学建模教材14第十四章稳定状态模型.docx
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数学建模教材14第十四章稳定状态模型
虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述,但是对于某些
实际问题,建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态,而是研究某种意义下稳定状态的特征,特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。
譬如在什么情况下描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值,在什么情况下又会越来越远离这些数值而导致过程不稳定。
为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程,而可以利用微分方程稳定性理论,直接研究平衡状态的稳定性就行了。
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念,然后列举几个这方面的建模例子。
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§2再生资源的管理和开发
渔业资源是一种再生资源,再生资源要注意适度开发,不能为了一时的高产“竭泽而渔”,应该在持续稳产的前提下追求最高产量或最优的经济效益。
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习题十四
1.单棵树木的商品价值V是由这棵树能够生产的木材体积和质量所决定的。
显然V=V(t)依赖于树木的年龄t。
假设曲线V(t)已知,c为树木砍伐成本。
试给出砍伐树木(更确切地说砍伐相同年龄的树木)的最优年龄。
如果考虑到森林轮种问题,即一旦树木从某一处砍掉,这块土地便可以种植新树,假定各轮种周期具有相等的长度,试建模讨论最优砍伐轮种的森林管理策略的问题。
2.如果两个种群都能独立生存,共处时又能相互提供食物,试建立种群依存模型并讨论平衡点及稳定性,解释稳定的意义。
3.如果两个种群都不能独立生存,但共处时可以相互提供食物,试建模以讨论共处的可能性。
4.如果在食饵—捕食者系统中,捕食者掠夺的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获。
在适当的假设下建立这三者之间关系的模型,求平衡点。
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