华师大版八年级数学下册193正方形与特殊的三角形综合题专训.docx

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华师大版八年级数学下册193正方形与特殊的三角形综合题专训

华师大版八年级下册19.3正方形与特殊的三角形综合题专训

一、正方形与等腰三角形综合

试题１、（2011常熟市模拟）如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．

（1）求证：

BF=DE；

（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？

说明理由．

【分析】

（1）根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE；

（2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可．

【解答】

（1）证明：

∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵AF⊥AC，

∴∠EAF=90°，

∴∠BAF=∠EAD，

在△ADE和△ABF中

∴△ADE≌△ABF（SAS），

∴BF=DE；

（2）解：

当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，

理由：

∵点E运动到AC的中点，AB=BC，

∴BE⊥AC，BE=AE=

AC，

∵AF=AE，

∴BE=AF=AE，

又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，

∴BE∥AF，

∵BE=AF，

∴得平行四边形AFBE，

∵∠FAE=90°，AF=AE，

∴四边形AFBE是正方形．

【点评】本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质．

试题２、（2015黑龙江二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC，CD的中点，则下列结论：

①AF⊥DE；②AF=DE；③AD=BP；④PE+PF=

PC．其中结论正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【分析】先证明△ADF≌△DCE得到AF=DE，则可对②进行判断；由全等性质得∠DAF=∠CDE，则利用∠DAF+∠DFA=90°可得∠CDE+∠DFA=90°，则可对①进行判断；作BG∥DE交AF于M，交AD于G，如图1，证明BM垂直平分AP得到BP=BA=AD，则可对③进行判断；延长DE到N使EN=PF，连结CN，如图2，先证明△CFP≌△CEN得到CP=CN，∠1=∠2，再证明△PCN为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质对④进行判断．

【解答】解：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，

而点E、F分别为BC，CD的中点，

∴DF=CE，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE，

∴AF=DE，所以②正确，

∠DAF=∠CDE，

而∠DAF+∠DFA=90°，

∴∠CDE+∠DFA=90°，

∴∠DPF=90°，

∴AF⊥DE，所以①正确；

作BG∥DE交AF于M，交AD于G，如图1，则四边形BEDG为平行四边形，

∴BE=DG=

AD，

∴GM为△APD的中位线，

∴AM=MP，

∵AP⊥DE，

∴AP⊥BG，

∴BM垂直平分AP，

∴BP=BA=AD，所以③正确；

延长DE到N使EN=PF，连结CN，如图2，

∵∠CFP=90°+∠3，∠CEN=90°+∠3，

∴∠CFP=∠CEN，

在△CFP和△CEN中，

，

∴△CFP≌△CEN，

∴CP=CN，∠1=∠2，

∵∠1+∠PCE=90°，

∴∠2+∠PCE=90°，即∠PCN=90°，

∴△PCN为等腰直角三角形，

∴PN=

PC，

∴PE+EN=PE+PF=

PC，所以④正确．

故选D．

【点评】本题考查了正方形的性质：

正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了全等三角形的判定与性质．

试题３、（2015春天河区期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　）

A．2

B．2

C．2

D．

【分析】连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据S△BCE=S△BCP+S△BEP求出h=PQ+PR，再根据正方形的性质求出h即可．

【解答】解：

如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，

则S△BCE=S△BCP+S△BEP，

即

BEh=

BCPQ+

BEPR，

∵BE=BC，

∴h=PQ+PR，

∵正方形ABCD的边长为4，

∴h=4×

=2

．

故答案为：

2

．

【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线，利用三角形的面积求出PQ+PR等于点C到BE的距离是解题的关键．

试题４、（2015秋乐清市校级期中）如图，在正方形ABCD中，BD=BE，CE∥BD，BE交CD于F点，则∠DFE的度数为（　　）

A．45°

B．60°

C．75°

D．90°

【分析】把△BCE逆时针旋转90°得到△BAG，连接DG、AC、AG；则∠BAG=∠BCE，BG=BE，∠GBE=90°，先证出C、A、G三点共线，得出∠DAG135°，∠BAG=∠DAG，由SAS证明△BAG≌△DAG，得出BG=DG，证出BG=DG=BE，即△BDG是等边三角形，得出∠GBD=60°，∠DBE=30°，再由三角形的外角性质求出∠DFE即可．

【解答】解：

把△BCE逆时针旋转90°得到△BAG，连接DG、AC、AG；如图所示：

则∠BAG=∠BCE，BG=BE，∠GBE=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠BAC=∠DAC=∠BDC=45°，AB=AD，

∵CE∥BD，

∴∠DCE=∠BDC=45°，

∴∠BCE=90°+45°=135°，

∴∠BAG=135°，

∴∠BAG=135°，

∴∠BAG+∠BAC=135°+45°=180°，

∴点C、A、G三点共线，

∴∠DAG=180°﹣45°=135°，

∴∠BAG=∠DAG，

在△BAG和△DAG中，

，

∴△BAG≌△DAG（SAS），

∴BG=DG，

∵BD=BE，

∴BG=DG=BE，

即△BDG是等边三角形，

∴∠GBD=60°，

∴∠DBE=90°﹣60°=30°，

∴∠DFE=∠DBE+∠BDC=°+45°=75°．

故选：

C．

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．

试题５、（2015春建瓯市校级月考）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（　　）

A．35°

B．45°

C．55°

D．60°

【分析】由正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，然后由三角形内角和定理求出∠AEB+∠AED=135°，即可得出∠BEF．

【解答】解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵AE=AB，

∴AE=AB=AD，

∴∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，

∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，

∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE=270°，

∴∠AEB+∠AED=135°，

即∠BED=135°，

∴∠BEF=180°﹣135°=45°．

故选：

B．

【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等腰三角形的性质，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．

试题６、（2014秋沙坪坝区校级期中）如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于点F，若BE=1，AB=3，则PF的长为　

　．

【分析】连接AP．根据四边形ABCD是正方形的性质得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，证△ABP≌△CBP，推出PA=PC，∠3=∠4，求出∠3=∠5，得出△APE是等腰直角三角形，求出AE，即可求出PE．

【解答】解：

连接AP．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠3=∠4，

∵PE=PC，

∴PA=PE，

∵PE=PC，

∴∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

又∵∠ANP=∠ENB，

∴∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°，

∴AP⊥PE，即△APE是等腰直角三角形，

∵BE=1，AB=3，

∴AE=

=

，

∴PE=

=

=

．

∴PF=

PE=

．

故答案是：

．

【点评】本题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．

二、正方形与等边三角形综合

试题１、（2015咸宁模拟）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）

A．75°

B．60°

C．55°

D．45°

【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE=150°，AB=AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE=∠AEB=15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．

【解答】解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，

∵△ADE是等边三角形，

∴∠DAE=60°，AD=AE，

∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB=

（180°﹣150°）=15°，

∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；

故选：

B．

【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

试题２、（2015春和平区期末）如图为等边三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D，E两点分别在AB，BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则点F到AC的距离为（　　）

A．6

﹣6

B．6

﹣6

C．2

D．3

【分析】过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，两直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解．

【解答】解：

如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=60°，

∵BD=BE，

∴△BDE是等边三角形，

∴∠BDE=60°，

∴∠A=∠BDE，

∴AC∥DE，

∵四边形DEFG是正方形，GF=6，

∴DE∥GF，

∴AC∥DE∥GF，

∴KH=18×

﹣6×

﹣6=9

﹣3

﹣6=6

﹣6，

∴F点到AC的距离为6

﹣6，

故选B．

【点评】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的高线等于边长的

倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键．

试题３、（2013宜宾模拟）如图，已知：

△AEC是以正方形ABCD的对角线为边的等边三角形，EF⊥AB，交AB延长线于F，则∠BEF度数为　45　°．

【分析】根据正方形的四条边都相等和等边三角形的三条边都相等，AB=CB，AE=CE，而BE是△ABE和△CBE的公共边，所以两三角形全等，再根据全等三角形对应角相等，∠AEB=∠CEB，所以∠AEB=30°，再根据三角形的外角性质求出∠EBF等于45°，又EF⊥AB，所以∠BEF度数为45°．

【解答】解：

在正方形ABCD中，

AB=CB，∠BAC=90°÷2=45°，

在等边三角形AEC中，

AE=CE，∠EAC=∠AEC=60°，

∴∠EAB=60°﹣45°=15°，

在△ABE和△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE（SSS），

∴∠AEB=∠CEB=60°÷2=30°，

∴∠EBF=∠AEB+∠EAB=30°+15°=45°，

∵EF⊥AB，

∴∠BEF=90°﹣∠EBF=90°﹣45°=45°．

故答案为45．

【点评】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和全等三角形的性质，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解题的关键．

试题４、（2012南昌）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是　15°或165°　．

【分析】利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时，∠BAE的大小，应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．

【解答】解：

①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，

∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，

当BE=DF时，

∴

，

∴△ABE≌△ADF（SSS），

∴∠BAE=∠FAD，

∵∠EAF=60°，

∴∠BAE+∠FAD=30°，

∴∠BAE=∠FAD=15°，

②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．

∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，

当BE=DF时，

∴AB=ADBE=DFAE=AF，

∴△ABE≌△ADF（SSS），

∴∠BAE=∠FAD，

∵∠EAF=60°，

∴∠BAE=（360°﹣90°﹣60°）×

+60°=165°，

∴∠BAE=∠FAD=165°

故答案为：

15°或165°．

【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小．

试题５、（2012秋江阴市校级期中）如图，S正方形ABCD=8，△ADE为等边三角形，F为DE的中点，BE、AF相交于点M，连接DM，则DM=　2　．

【分析】先根据正方形的面积求出边长AD，再求出EF，然后根据正方形的性质与等边三角形的性质求出∠BAE，AB=AD=AE，再根据等腰三角形两底角相等求出∠AEB=15°，然后求出∠DAM=45°，再根据等边三角形的性质可得AF垂直平分DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DM=EM，再求出△EFM是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的

倍列式进行计算即可得解．

【解答】解：

∵S正方形ABCD=8，

∴AD=

=2

，

在正方形ABCD和等边△ADE中，

∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AD=AE，

∴∠AEB=

（180°﹣∠BAE）=

（180°﹣150°）=15°，

∴∠DEM=∠AED﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，

∵F为DE的中点，

∴AF垂直平分DE，EF=

DE=

×2

=

，

∴DM=EM，△EFM是等腰直角三角形，

∴EM=

EF=

×

=2，

∴DM=2．

故答案为：

2．

【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握并灵活运用正方形的性质，等边三角形的性质是解题的关键

试题５、（2016长春模拟）【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC=　90°　读．

【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．

（1）求证：

ED=FC．

（2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数．

【分析】阅读发现：

只要证明∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，即可证明．

拓展应用：

（1）欲证明ED=FC，只要证明△ADE≌△DFC即可．

（2）根据∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC即可计算．

【解答】解：

如图①中，∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=CD，∠ADC=90°，

∵△ADE≌△DFC，

∴DF=CD=AE=AD，

∵∠FDC=60°+90°=150°，

∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，

∴∠FDE=60°+15°=75°，

∴∠MFD+∠FDM=90°，

∴∠FMD=90°，

故答案为90°

（1）∵△ABE为等边三角形，

∴∠EAB=60°，EA=AB．

∵△ADF为等边三角形，

∴∠FDA=60°，AD=FD．

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，DC=AB．

∴EA=DC．

∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°，∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°，

∴∠EAD=∠CDF．

在△EAD和△CDF中，

，

∴△EAD≌△CDF．

∴ED=FC；

（2）∵△EAD≌△CDF，

∴∠ADE=∠DFC=20°，

∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．

三、正方形与直角三角形综合

试题１、（2015春宝应县期中）在Rt△AEB中，∠AEB=90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）

（1）求证：

EO平分∠AEB．

（2）试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．

（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：

四边形EFGH为正方形．

【分析】

（1）先根据正方形的性质得出OA⊥OB，故可得出A、O、B、E四点共圆，再由圆周角定理即可得出结论；

（2）延长EA至点F，使AF=BE，连接OF，先根据SAS定理得出△OBE≌△OAF，故可得出OE=OF，再判断出△OEF的形状，根据勾股定理即可得出结论；

（3）先根据ASA定理得出△ABE≌△ADH，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，故可得出CG+FG=BF+BE=AE+AH，由此可得出结论．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，AC⊥BD，∠ABO=∠BAO=45°，

∴∠AOB=90°，

∴∠AEB+∠AOB=90°+90°=180°，

∴A、O、B、E四点共圆，

∵OA=OB，

∴∠OEB=∠OEA，即EO平分∠AEB；

（2）解：

AE+BE=

OE．

理由：

如图1，延长EA至点F，使AF=BE，连接OF，

∵由

（1）知，∠OBE+∠OAE=180°，∠OAE+∠OAF=180°，

∴∠OBE=∠OAE，

在△OBE与△OAF中，

，

∴△OBE≌△OAF（SAS），

∴OE=OF，∠BOE=∠AOF．

∵∠BOE+∠AOE=90°，

∴∠AOF+∠AOE=90°，

∴∠EOF=90°，

∴△EOF是等腰直角三角形，

∴2OE2=EF2，即2OE2=（AE+BE）2，

∴AE+BE=

OE．

（3）证明：

如图2所示，

∵ABCD是正方形，∠E=∠H=90°，

∴AB=AD．

∵∠EAB+∠DAH=90°，∠EAB+∠ABE=90°，∠ADH+∠DAH=90°，

∴∠EAB=∠HAD，∠ABE=∠DAH．

在△ABE与△ADH中，

，

∴△ABE≌△ADH（ASA）．

同理可得，△ABE≌△ADH，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，

∴CG+FG=BF+BE=AE+AH，

∴四边形EFGH为正方形．

【点评】本题考查的是正方形的判定与性质，涉及到全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质等知识，难度适中．

试题２、（2012许昌一模）已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H

（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？

并证明；

（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；

小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

【分析】

（1）延长CB至E使BE=DN，连接AE，由三角形全等可以证明AH=AB；

（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又AE=AD=AF，所以四边形AEGF是正方形，设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，所以BG=x﹣2；CG=x﹣3；BC=2+3=5，在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2=52解之得x1=6，x2=﹣1，所以AD的长为6．

【解答】

（1）答：

AB=AH，

证明：

延长CB至E使BE=DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠D=90°，

∴∠ABE=180°﹣∠ABC=90°

又∵AB=AD，

∵在△ABE和△ADN中，

，

∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠1=∠2，AE=AN，

∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，

∴∠2+∠3=90°﹣∠MAN=45°，

∴∠1+∠3=45°，

即∠EAM=45°，

∵在△EAM和△NAM中，

，

∴△EAM≌△NAM（SAS），

又∵EM和NM是对应边，

∴AB=AH（全等三角形对应边上的高相等）；

（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°

∴∠E=∠F=90°，

又∵∠BAC=45°

∴∠EAF=90°

延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，

又∵AE=AD=AF

∴四边形AEGF是正方形，

由

（1）、

（2）知：

EB=DB=2，FC=DC=3，

设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，

∴BG=x﹣2；CG=x﹣3；BC=2+3=5，

在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2=52

解得x1=6，x2=﹣1，

故AD的长为6．

【点评】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，题目的综合性很强，难度中等．

试题３、（2010石家庄二模）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为　OE=OF　；

（2）如图2，