数字信号处理(第三版)-课后习题答案全-(原题+答案+图).ppt
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1.4习题与上机题解答1.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
题1图,解:
x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2给定信号:
2n+54n160n40其它
(1)画出x(n)序列的波形,标上各序列值;
(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列;,(x(n)=,(3)令x1(n)=2x(n2),试画出x1(n)波形;(4)令x2(n)=2x(n+2),试画出x2(n)波形;(5)令x3(n)=x(2n),试画出x3(n)波形。
解:
(1)x(n)序列的波形如题2解图
(一)所示。
(2)x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),(3)x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位,再乘以2,画出图形如题2解图
(二)所示。
(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位,再乘以2,画出图形如题2解图(三)所示。
(5)画x3(n)时,先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180),然后再右移2位,x3(n)波形如题2解图(四)所示。
题2解图
(一),题2解图
(二),题2解图(三),题2解图(四),3判断下面的序列是否是周期的;若是周期的,确定其周期。
(1),
(2),解:
(1)因为=,所以,这是有理数,因此是周期序列,周期T=14。
(2)因为=,所以=16,这是无理数,因此是非周期序列。
4对题1图给出的x(n)要求:
(1)画出x(n)的波形;
(2)计算xe(n)=x(n)+x(n),并画出xe(n)波形;(3)计算xo(n)=x(n)x(n),并画出xo(n)波形;(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),将x1(n)与x(n)进行比较,你能得到什么结论?
解:
(1)x(n)的波形如题4解图
(一)所示。
(2)将x(n)与x(n)的波形对应相加,再除以2,得到xe(n)。
毫无疑问,这是一个偶对称序列。
xe(n)的波形如题4解图
(二)所示。
(3)画出xo(n)的波形如题4解图(三)所示。
题4解图
(一),题4解图
(二),题4解图(三),(4)很容易证明:
x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。
偶对称序列可以用题中
(2)的公式计算,奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。
5设系统分别用下面的差分方程描述,x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。
(1)y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)
(2)y(n)=2x(n)+3(3)y(n)=x(nn0)n0为整常数(4)y(n)=x(n),(5)y(n)=x2(n)(6)y(n)=x(n2)(7)y(n)=(8)y(n)=x(n)sin(n)解:
(1)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02)y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02)=y(n),故该系统是非时变系统。
因为y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2)Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2)Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。
(2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。
由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。
(3)这是一个延时器,延时器是线性非时变系统,下面证明。
令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。
由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。
(4)y(n)=x(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。
由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系统。
(5)y(n)=x2(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。
由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2aTx1(n)+bTx2(n)=ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。
(6)y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系统是非时变系统。
由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。
(7)y(n)=x(m)令输入为x(nn0)输出为y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。
由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。
(8)y(n)=x(n)sin(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)sin(n)y(nn0)=x(nn0)sin(nn0)y(n)故系统不是非时变系统。
由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)sin(n)+bx2(n)sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。
6给定下述系统的差分方程,试判定系统是否是因果稳定系统,并说明理由。
(1)y(n)=x(nk)
(2)y(n)=x(n)+x(n+1)(3)y(n)=x(k)(4)y(n)=x(nn0)(5)y(n)=ex(n),解:
(1)只要N1,该系统就是因果系统,因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
如果|x(n)|M,则|y(n)|M,因此系统是稳定系统。
(2)该系统是非因果系统,因为n时间的输出还和n时间以后(n+1)时间)的输入有关。
如果|x(n)|M,则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M,因此系统是稳定系统。
(3)如果|x(n)|M,则|y(n)|x(k)|2n0+1|M,因此系统是稳定的;假设n00,系统是非因果的,因为输出还和x(n)的将来值有关。
(4)假设n00,系统是因果系统,因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。
如果|x(n)|M,则|y(n)|M,因此系统是稳定的。
(5)系统是因果系统,因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。
如果|x(n)|M,则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM,因此系统是稳定的。
7设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示,要求画出y(n)输出的波形。
解:
解法
(一)采用列表法。
y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm),题7图,y(n)=2,1,0.5,2,1,4.5,2,1;n=2,1,0,1,2,3,4,5,解法
(二)采用解析法。
按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+(n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故,y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*2(n)+(n1)+(n2)=2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式,得到y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2)+4.5(n3)+2(n4)+(n5),8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况,分别求出输出y(n)。
(1)h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)
(2)h(n)=2R4(n),x(n)=(n)(n2)(3)h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)解:
(1)y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm)先确定求和域。
由R4(m)和R5(nm)确定y(n)对于m的非零区间如下:
0m34mn,根据非零区间,将n分成四种情况求解:
n7时,y(n)=0,最后结果为0n7n+10n38n4n7y(n)的波形如题8解图
(一)所示。
(2)y(n)=2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2)=2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图
(二)所示,y(n)=,题8解图
(一),题8解图
(二),(3)y(n)=x(n)*h(n)=R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y(n)对于m的非零区间为0m4,mnn0时,y(n)=00n4时,,=(10.5n1)0.5n=20.5n,n5时,最后写成统一表达式:
y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5),9证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律,即证明下面等式成立:
(1)x(n)*h(n)=h(n)*x(n)
(2)x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)(3)x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)证明:
(1)因为令m=nm,则,
(2)利用上面已证明的结果,得到,交换求和号的次序,得到,10设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n),系统的输入x(n)是一些观测数据,设x(n)=x0,x1,x2,xk,,试利用递推法求系统的输出y(n)。
递推时设系统初始状态为零状态。
解:
n=0时,,n0,n=1时,,n=2时,,最后得到,11设系统由下面差分方程描述:
设系统是因果的,利用递推法求系统的单位脉冲响应。
解:
令x(n)=(n),则,n=0时,,n=1时,,n=2时,,n=3时,,归纳起来,结果为,12.设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述,初始条件y(-1)=0,试分析该系统是否是线性非时变系统。
解:
分析的方法是让系统输入分别为(n)、(n1)、(n)+(n1)时,求它的输出,再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。
(1)令x(n)=(n),这时系统的输出用y1(n)表示。
该情况在教材例1.4.1中已求出,系统的输出为y1(n)=anu(n),
(2)令x(n)=(n1),这时系统的输出用y2(n)表示。
n=0时,,n=1时,,n=2时,,任意n时,,最后得到,(3)令x(n)=(n)+(n1),系统的输出用y3(n)表示。
n=0时,,n=1时,,n=2时,,n=3时,,任意n时,,最后得到,由
(1)和
(2)得到y1(n)=T(n),y2(n)=T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可断言这是一个时不变系统。
情况(3)的输入信号是情况
(1)和情况
(2)输入信号的相加信号,因此y3(n)=T(n)+(n1)。
观察y1(n)、y2(n)、y3(n),得到y3(n)=y1(n)+y2(n),因此该系统是线性系统。
最后得到结论:
用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n),0a1描写的系统,当初始条件为零时,是一个线性时不变系统。
13有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j),式中,f=20Hz,j=/2。
(1)求出xa(t)的周期;
(2)用采样间隔T=0.02s对xa(t)进行采样,试写出采样信号的表达式;(3)画出对应的时域离散信号(序列)x(n)的波形,并求出x(n)的周期。
解:
(1)xa(t)的周期为,
(2),(3)x(n)的数字频率=0.8,故,因而周期N=5,所以x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。
题13解图,14.已知滑动平均滤波器的差分方程为,(
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