数学物理方法-留数定理及其应用.ppt
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数学物理方法-留数定理及其应用.ppt
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第五章留数定理及其应用,第一节留数及留数定理第二节应用留数定理计算实函数的积分,留数的概念,则称f(z)的Laurent级数中(z-z0)-1的系数a-1为f(z)在z0点的留数(也称残数),记为,或,设z0是函数f(z)的孤立奇点,则由Laurent定理知:
在z=z0点的某个去心邻域内f(z)可展开成Laurent级数,第一节留数及留数定理,系数a-1的特殊作用,如何计算留数,或系数a-1,第一节留数及留数定理,留数的计算方法,
(1)一般方法:
利用留数的定义来求留数,
(2)根据孤立奇点的类型来计算留数,(A)可去奇点,(B)m级极点,第一节留数及留数定理,求留数举例,第一节留数及留数定理,留数定理,设函数f(z)在闭合回路C所围成的区域B内除有限个孤立奇点z1,z2,zN外解析,并且直到边界连续,则有,第一节留数及留数定理,留数定理的应用,设,第一节留数及留数定理,第一节留数及留数定理,Newton-Leibnitz公式,其中函数F(x)是函数f(x)的原函数,困难:
求原函数,问题:
寻找一条新的方法,定积分的计算,第二节应用留数定理计算实函数的积分,设函数f(z)在闭合回路C所围成的区域B内除有限个孤立奇点z1,z2,zN外解析,并且直到边界连续,则有,其中,可去奇点:
m级极点:
本性奇点:
第二节应用留数定理计算实函数的积分,建立定积分与复变函数闭合回路积分的关系,1.利用复值函数建立实参数到复平面中的闭合曲线的变换,例,第二节应用留数定理计算实函数的积分,2.利用实函数到复函数的自然扩张,a,b,a,b,第二节应用留数定理计算实函数的积分,利用留数定理计算实积分的步骤:
将实积分化成闭合回路的复积分,利用留数定理,计算留数,第二节应用留数定理计算实函数的积分,类型一,其中被积函数是三角函数的有理分式函数;积分区间为0,2,第二节应用留数定理计算实函数的积分,例2:
例1:
其中01,举例:
第二节应用留数定理计算实函数的积分,类型二,其中被积函数在实轴上无奇点;积分区间为(-,),无穷积分的收敛性,柯西主值,第二节应用留数定理计算实函数的积分,成立的前提:
(1)f(z)在上半平面只有有限个奇点
(2),将实积分化成闭合回路的复积分,利用留数定理,第二节应用留数定理计算实函数的积分,说明I:
第二节应用留数定理计算实函数的积分,说明II:
第二节应用留数定理计算实函数的积分,奇点z=/2i,3/2i,,周期2i,计算积分,设,第二节应用留数定理计算实函数的积分,问题:
思考:
第二节应用留数定理计算实函数的积分,类型三,成立的前提:
(1)f(z)在上半平面只有有限个奇点
(2),其中被积函数f(x)在实轴上无奇点;积分区间为(-,),m0,第二节应用留数定理计算实函数的积分,说明I:
第二节应用留数定理计算实函数的积分,说明II:
第二节应用留数定理计算实函数的积分,奇点z=/2i,3/2i,,周期2i,计算积分,设,第二节应用留数定理计算实函数的积分,思考:
第二节应用留数定理计算实函数的积分,实轴上有奇点的情况,第二节应用留数定理计算实函数的积分,补充例题,第二节应用留数定理计算实函数的积分,第二节应用留数定理计算实函数的积分,
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- 数学 物理 方法 定理 及其 应用