高一三角函数.docx
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高一三角函数
三角函数
本章教学目标
1.
(1)任意角的概念以及弧度制.正确表示象限角、区间角、终边相同的角,熟练地进行角度制与弧度制的换算.
(2)任意角的三角函数定义,三角函数的符号变化规律,三角函数线的意义.
2.
(1)同角三角函数的基本关系和诱导公式.
(2)已知三角函数值求角.
3.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(ωx+φ)的图像和“五点法”作图、图像法变换,理解A、ω、φ的物理意义.
4.三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性.
5.两角和与差的三角函数、倍角公式,能正确地运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等证明.
本章包括任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质三部分.
三角函数是中学数学的重要内容,它是解决生产、科研实际问题的工具,又是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础,它在物理学、天文学、测量学以及其他各种应用技术学科中有着广泛的应用.
核心知识
一、本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念,同角三角函数之间的基本关系,正弦、余弦的诱导公式,两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切,正弦、余弦、正切函数的图像和性质,以及已知三角函数值求角.
二、根据生产实际和进一步学习数学的需要,我们引入了任意大小的正、负角的概念,采用弧度制来度量角,实际上是在角的集合与实的集合R这间建立了这样的一一对应关系:
每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应.采用弧度制时,弧长公式十分简单:
l=|α|r(l为弧长,r为半径,α为圆弧所对圆心角的弧度数),这就使一些与弧长有关的公式(如扇形面积公式等)得到了简化.
三、在角的概念推广后,我们定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的六种三角函数.它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是以实数为自变量的函数.
四、同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一,它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中要经常用到,必须熟记,并能熟练运用.
五、掌握了诱导公式以后,就可以把任意角的三角函数化为0°~90°间角的三角函数.
六、以两角和的余弦公式为基础推导得出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,掌握这些公式的内在联系及推导的线索,能够帮助我们理解和记忆这些公式,这也是学好本单元知识的关键.
七、利用正弦线、余弦线可以比较精确地作出正弦函数、余弦函数的图像,可以看出,因长度在一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为零的点)在确定正弦函数、余弦函数图像的形状时起着关键的作用.
学习本章知识,要从两个方面加以注意:
一是三角函数的图像及性质,函数图像是函数的一种直观表示方法,它能形象地反映函数的各类基本性质,因此对三个基本三角函数的的图像要掌握,它能帮助你记忆三角函数的性质,此外还要弄清y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx图像的关系,掌握“A”、“ω”、“φ”的确切含义.对于三角函数的性质,要紧扣定义,从定义出发,导出各三角函数的定义域、值域、符号、最值、单调区间、周期性及奇偶性等.二是三角函数式的变换.三角函数式的变换涉及公式较多,掌握这些公式要做到如下几点:
一要把握各自的结构特征,由特征促记忆,由特征促联想,由特征促应用;二是要从这些公式的导出过程抓内在联系,抓变化规律,这样才能在选择公式时灵活准确.同时还要善于观察三角函数式在代数结构、函数名称、角的形式等三个方面的差异,根据差异选择公式,根据差异确定变换方向和变换方法.
有关"第四章三角函数"的阶段测试】
阶段测试试卷名称:
第四章综合检测A级
背景说明:
第四章综合检测A级
试卷内容:
一、选择题
1.在直角坐标系中,若角α与角β的终边关于x轴对称,则α与β的关系一定是()
A.α=-βB.α+β=k·360°(k∈Z)C.α-β=k·360°(k∈Z)D.以上答案都不对
2.圆内一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角是()
A.等于1弧度B.大于1弧度C.小于1弧度D.无法判断
3.在△ABC中,如果sinA+cosA=,则△ABC是()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
4.已知:
sinα+cosα=-1,则tanα+cotα的值是()
A.1B.-1C.0D.不存在
5.y=cos|x|-cosx的值域是()
A.〔-1,1〕B.0C.〔-2,0〕D.〔0,2〕
6.下列各函数中,奇函数的个数是()
(1)y=sinx
(2)y=cosx
(3)y=tanx(4)y=secx
(5)y=lg(sinx+)
(6)y=lg(cosx+)
A.1B.2C.3D.4
7.若y=sin(-α)=,则y=sin(π+α)的值是()
A.B.-C.D.-
8.方程sinx=lgx的实根的个数是()
A.1B.2个C.3个D.3个以上
9.若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则的值是()
A.B.-C.5D.-5
10.若x=cos36°-cos72°,则x的值为()
A.B.C.D.-
11.函数y=3sin(2x+)的图像可以看成把函数y=3sin2x的图像经过下列平移而得到的()
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
12.下列四命题中正确的应当是()
①y=tan恒为增函数;②y=cotx在x∈(-π,0)∪(0,π)上是周期函数;③y=cosx在(-π,π)上为偶函数;④y=sinx在x∈〔-,〕上为奇函数.
A.①B.①②C.②③D.④
二、填空题
1.如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-对称,那么a=.
2.函数y=sin2x-3cos2x的单调递减区间为.
3.arctan1+arctan2+arctan3的值是.
4.若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为.
三、解答题
1.设α+β=150°,求sin2α+sin2β-sinαsinβ的值.
2.设x∈(-,),f(x)=sin(x-)cos(-x)+sin2(x-),求f(x)的最大值和最小值.
3.已知sinα和cosα是方程x2-kx+k+1=0的两根,且0<α<2π,求k与α的值.
4.设关于sinx的方程sin2x-(a2+2a)sinx+a3+a2=0有实数解,求实数a的范围.
5.设0<α<π,0<β<π,且cosα+cosβ-cos(α+β)=,求α,β的值.
6.求函数y=的值域.
试卷答案:
一、1.B2.B3.C4.D5.B6.C7.A8.C9.C10.C11.C12.D
二、1.-12.〔kπ+,kπ+π〕(k∈Z)3.π4.4π
三、1.2.x=时,最大值为,x=时,最小值为-3.k=-1,α=π或或4.≤a≤15.α=β=6.〔-,-1〕∪(-1,)
阶段测试试卷名称:
第四章综合检测AA级
背景说明:
第四章综合检测AA级
试卷内容:
一、选择题
1.角的集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=±,k∈Z},则M与N的关系是()
A.MNB.MNC.M=ND.不能确定
2.若集合A=R,B=R,则下列对应f:
x→y是A到B的映射的是()
A.y=tanxB.y=cotxC.y=secxD.y=cosx
3.若θ是第三象限的角,且cos<0,那么是()
A.第一象限的角B.第二象限的角
C.第三象限的角D.第四象限的角
4.函数y=的定义域为()
A.〔2kπ-,2kπ+〕(k∈Z)B.〔2kπ,2kπ+〕(k∈Z)
C.〔2kπ,2kπ+π〕(k∈Z)D.R
5.在△ABC中,若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则△ABC必是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形
6.函数y=lgsinx+的定义域是()
A.2kπ<x≤2kπ+(k∈Z)B.2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z)
C.2kπ<x≤2kπ+π(k∈Z)D.2kπ<x≤2kπ+(k∈Z)
7.把函数y=sin2x的图像在y轴方向压缩一半,沿y轴正方向平移个单位,再沿x轴正方向平移个单位,所得图像的函数表达式是()
A.y=+sin2(x-)B.y=sin(2x-)-
C.y=sin2(x-)D.y=sin2(x+)
8.已知函数:
①f(x)=sinx2;②f(x)=sin2x;③f(x)=tan;④f(x)=其中周期函数是()
A.①和③B.①和④C.②和③D.②和④
9.设α、β为锐有,则sin(α+β)与sinα+sinβ的值满足关系式()
A.sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)<sinα+sinβ
C.sin(α+β)=sinα+sinβD.以上结论都不对
10.已知cosα=,cos(α+β)=,且α、β为锐有,那么sinβ的值是()
A.B.C.D.
11.方程cos(x+)=1的解集是()
A.{x|x=4kπ,k∈Z}B.{x|x=4kπ±-,k∈Z}
C.{x|x=kπ±-,k∈Z}D.
12.在区间(0,π)上满足cos5x=cos2x的值的个数是()
A.3B.4C.5D.6
二、填空题
1.函数y=arctan的值域是为.
2.两弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所夹的扇形的面积为.
3.函数y=2|sin(4x-)|的最小正周期是.
4.若sinx+cosx=,x∈〔0,π〕,那么tanx=.
三、解答题
1.设6sin3β-cos22α=6,求α、β.
2.已知关于x的方程
(2cosθ-1)x2-4x+4cosθ+2=0有两个不相等的正根,且θ为锐角,求θ的范围.
3.设cos(α-)=-,sin(-β)=,且<α<π,0<β<,求cos(α+β)的值.
4.求函数y=sin2x+9cos2x-8sinxcosx的最值及其相对应的x的值.
5.已知AB=2a,在以AB为直径的半圆上有一点C,设AB中点为O,∠AOC=60°.
(1)在上取一点P,若∠BOP=2θ,把PA+PB+PC表示成θ的函数;
(2)设f(θ)=PA+PB+PC,当θ为何值时f(θ)有最大值,最大值是多少?
6.已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=.
(1)求实数m的范围.
(2)当m取最小值时,求sin(α+β)的值.
试卷答案:
一、1.B2.D3.B4.D5.C6.A7.A8.D9.B10.B11.D12.C
二、1.〔arccot,π-arccot〕
2.3.4.-
三、1.α=kπ±,β=+,(k,n∈Z)
2.30°<θ<60°3.-4.x=kπ-arctan,(k∈Z)时,ymax=11
x=kπ+-arctan(k∈Z)时ymin=1
5.
(1)f(θ)=2acosθ+2asinθ+2asin(60°-θ)
(2)当θ=15°时,f(θ)max=(+)a
6.
(1)m∈〔-,〕
(2)m=-时,sin(α+β)=-1
你需要牢记公式才能够灵活运用。
我们也是在初三初次学习三角函数,高一正式接触。
高中的三角函数不是很难,只要用心学习,就会觉得很轻松的。
正弦函数sin(A)=a/h
余弦函数cos(A)=b/h
正切函数tan(A)=a/b
余切函数cot(A)=b/a
正割函数sec(A)=h/b
余割函数csc(A)=h/a
注:
a—所研究角的对边
b—所研究的邻边
h—所研究角的斜边
三角函数常用公式:
同角三角函数间的基本关系式:
·平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·商的关系:
tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα
·倒数关系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
三角函数恒等变形公式:
·两角和与差的三·两角和与差的三角函数:
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·倍角公式:
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公式:
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式:
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·万能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式:
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
任意角的三角函数——三角函数线
河南省焦作市第一中学孟丽华
教学背景:
1.教材地位分析:
三角函数是中学数学的重要内容之一,而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想,又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式,求解三角函数不等式,探索三角函数的图像和性质,可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.
2.学生现实分析:
学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.高一上学期研究指、对数函数图像时,已带领学生学习了几何画板的基础知识,现在他们已经具备初步的几何画板应用能力,能够制作简单的动画,开展数学实验.
教学目标:
1.知识目标:
使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
2.能力目标:
借助几何画板让学生经历概念的形成过程,提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;在论坛上开展研究性学习,让学生借助所学知识自己去发现新问题,并加以解决,提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.
3.情感目标:
激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.
教学重点难点:
1.重点:
三角函数线的作法及其简单应用.
2.难点:
利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.
教学方法与教学手段:
1.教法选择:
“设置问题,探索辨析,归纳应用,延伸拓展”——科研式教学.
2.学法指导:
类比、联想,产生知识迁移;观察、实验,体验知识的形成过程;猜想、求证,达到知识的延展.
3.教学手段:
本节课地点选在多媒体网络教室,学生利用几何画板软件探讨数学问题,做数学实验;借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能.
教学过程:
一、设置疑问,实验探索(17分钟)
教学环节
教学过程
设计意图
设
置
疑
问,点明主题
前面我们学习了角的弧度制,角弧度数的绝对值,其中是以角作为圆心角时所对弧的长,r是圆的半径.特别地,当r=1时,,此时的圆称为单位圆,这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值,那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢?
这就是我们今天一起要研究的问题.
既可以引出单位圆,又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.
概
念
学
习,分
散
难
点
有向线段:
带有方向的线段.
(1)方向:
按书写顺序,前者为起点,后者为终点,由起点指向终点.
如:
有向线段OM,O为起点,M为终点,由O点指向M点.
(动态演示)
(2)数值:
(只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段)
绝对值等于线段的长度,若方向与坐标轴同向,取正值;与坐标轴反向,取负值.如:
OM=1,
ON=-1,
AP=
相关概念的学习分散了教学难点,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究.
实验探索,
辨析研讨
1.(复习提问)任意角的正弦如何定义?
角的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是(),它与原点的距离是r,比值叫做的正弦.
思考:
能否用几何图形表示出角的正弦呢?
学生联想角的弧度数与弧长的转化,类比猜测:
若令r=1,则.取角的终边与单位圆的交点为P,过点P作轴的垂线,设垂足为M,则有向线段MP=.(学生分析的同时,教师用几何画板演示)
请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的终边位置,观察终边在各个位置的情形,注意有向线段的方向和正弦值正负的对应.特别地,当角的终边在轴上时,有向线段MP变成一个点,记数值为0.
这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正弦线.
2.思考:
用哪条有向线段表示角的余弦比较合适?
并说明理由.
请学生用几何画板演示说明.
有向线段OM叫做角的余弦线.
3.如何用有向线段表示?
讨论焦点:
若令=1,则=AT,但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点,若此时取=-1的点T‘,tan=-=T‘A‘,有向线段的表示方法又不能统一.
引导观察:
当角的终边互为反向延长线时,它们的正切值有什么关系?
统一认识:
方案1:
在象限角的终边或其反向延长线上取=1的点T,则tan==AT;
方案2:
借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到=.
几何画板演示验证:
当角的终边落在坐标轴上时,tan与有向线段AT的对应.
这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角的正切线.
美国华盛顿一所大学有句名言:
“我听见了,就忘记了;我看见了,就记住了;我做过了,就理解了.”要想让学生深刻理解三角函数线的概念,就应该让学生主动去探索,大胆去实践,亲身体验知识的发生和发展过程.
教学已经不再是把教师或学生看成孤立的个体,而是把他们的教和学看成是相互影响的辩证发展过程.在和谐的氛围中,教师和学生都处在自由状态,可以不受框框的束缚,充分表达各自的意见,在自己积极思维的同时又能感受他人不同的思维方式,从而打破自己的封闭状态,进入更加广阔的领域.
二、作法总结,变式演练(13分钟)
教学环节
教学过程
设计意图
作法总结
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板演示(一学生描述,同时用电脑演示):
第一步:
作出角的终边,与单位圆交于点P;
第二步:
过点P作轴的垂线,设垂足为M,得正弦线MP、余弦线OM;
第三步:
过点A(1,0)作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线的交点设为T,得角的正切线AT.
特别注意:
三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要注意它们的方向,分清起点和终点,书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点,正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点,其中点A为定点(1,0).
及时归纳总结,加深知识的理解和记忆.
变式演练,提高能力
练习:
利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
(1);
(2).
学生先做,然后投影展示一学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.
例1利用几何画板画出适合下列条件的角的终边:
(1);
(2);
(3).
共同分析
(1),设角的终边与单位圆交于P(),则=,所以要作出满足的角的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为的点P,则射线OP即为的终边.(几何画板动态演示)
请学生分析
(2)、(3),同时用几何画板演示.
例2利用几何画板画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:
(1)≥;
(2)≤-.
分析:
先作出满足,的角的终边(例1已做),然后根据已知条件确定角终边的范围.(几何画板动态演示)
答案:
(1){}.
(2){}.
延伸:
通过
(1)、
(2)两图形的复合又可以得出不等式组的解集:
{}.
巩固练习,准确掌握三角函数线的作法.
逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角函数不等式(组)作铺垫.
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- 关 键 词:
- 三角函数
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