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离散数学复习题
离散数学复习题
一、单项选择题
1.下列命题公式为重言式的是【A】。
A.p→(p∨q)B.(p∨┐p)→q
C.q∧┐qD.p→┐q
2.下列语句中不是命题的是【A】。
A.这个语句是假的。
B.1+1=1.0
C.飞碟来自地球外的星球。
D.凡石头都可练成金。
3.设A={
,{1},{1,3},{1,2,3}},则A上包含关系“
”的哈斯图为【C】
4.在公式
中变元y是【B】。
A.自由变元
B.约束变元
C.既是自由变元,又是约束变元
D.既不是自由变元,又不是约束变元
5.设A={1,2,3},A上二元关系S={<1,1>,<1,2>,<3,2>,<3,3>},则S是【D】。
A.自反关系B.反自反关系
C.对称关系D.传递关系
6.图中从v1到v3长度为3的通路有【D】条。
A.0;B.1;C.2;D.3。
7.在下列代数系统中,不是环的只有【C】。
A. B.(Q,+,*),其中Q为有理数集,+,*分别为有理数加法和乘法。 C. D. 8.下列整数集对于整除关系都构成偏序集,而能构成格的是【B】。 A.{l,2,3,4,5}B.{1,2,3,6,12} C.{2,3,7}D.{l,2,3,7} 9.结点数为奇数且所有结点的度数也为奇数的连通图必定是【D】。 A.欧拉图B.汉密尔顿图 C.非平面图D.不存在的 10.无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且【C】。 A.G中各顶点的度数均相等 B.G中各顶点的度数之和为偶数 C.G中各顶点的度数均为偶数 D.G中各顶点的度数均为奇数 11.设S={0,1},*为普通乘法,则 A.半群,但不是独异点;B.只是独异点,但不是群; C.群;D.环,但不是群; 12.设(A,+,×)是代数系统,其中+,×是普通的加法和乘法运算,能使(A,+,×)成为环的集合A是【A】。 A.所有偶数组成的集合;B.所有奇数组成的集合; C.所有正整数组成的集合;D.所有非负整数组成的集合。 13.设A={1,2,3},则A上的二元关系有【C】个。 A.23;B.32; C. ;D. 。 14.在【A】下有 。 A. ;B、 C、 ;D、 15.下列结果正确的是【B】。 A. ;B. ; C. ;D. 。 16.设p: 我很累,q: 我去学习,命题: “除非我很累,否则我就去学习”的符号化正确的是【B】。 A.┐p∧qB.┐p→q C.┐p→┐qD.p→┐q 17.下列函数是双射的为【A】 A.f: I E,f(x)=2x;B.f: N N N,f(n)= C.f: R I,f(x)=[x];D.f: I N,f(x)=|x|。 (注: I—整数集,E—偶数集,N—自然数集,R—实数集) 18.有向图中D= ,则 长度为2的通路有【D】条。 A.0;B.1;C.2;D.3。 19.在一棵树中有7片树叶,3个度为3的结点,其余都是度为4的结点,则该树有【A】个度为4的结点。 A.1;B.2;C.3;D.4。 20.下图中既不是Eular图,也不是Hamilton图的图是【B】 二、填空题 请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 1.命题逻辑与谓词逻辑的区别是 。 2.谓词逻辑中,命题被分解为___________,_________两部分。 3.集合的常用表示方法有___________,___________,____________和图示法四种。 4.具有___________,___________和___________三种性质的二元关系叫等价关系。 5.n阶有向完全图的边数为_________,n阶无向完全图的边数为________。 6.如果一个图的每条边都是___________称为有向图,每条边都是称为无向图。 7.若图中存在____________________________的通路,该图称为半欧拉图。 8.有向图树T中,___________________称为根,__________________称为树叶。 9.设R是A上的二元关系,当有(a,b)∈R和(b,c)∈R时,必有,则称R为可传递的二元关系。 a b c abc bbc ccb 10.设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元是;是否有幂等性;是否有对称性。 11.能够判断______________________称为命题。 12.不包含任何联结词的命题叫做__________命题,至少包含一个联结词的命题叫做_________命题。 13.二元关系的表示方法有___________,___________,____________三种。 14. (1)A,B,C表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为 。 (2)设P,Q的真值为0,R,S的真值为1,则 的真值=。 (3)公式 的主合取范式为 。 15. ,*表示求两数的最小公倍数的运算(Z表示整数集合),对于*运算的幺元是,零元是。 16.将有向图D各边的方向去掉得无向图G,称G为D的____________。 17.若图中存在____________________________回路,该图称为欧拉图。 18.拉格朗日定理说明若 R=。 若|G|=n,|H|=m则m和n关系为。 19.根据入射函数,满射函数,双射函数的定义填空。 设N是自然数集合,Z是整数集合,R是实数集合,则f1(N→N,f1(n)=n2)是函数;f2(N→N,f2(n)=n+10)是函数;f3(Z→Z,f3(z)=z+10)是函数;f4(R→R,f4(r)=r+5.6)是函数;f5(Z→{0,1},当z为偶数时,f5(z)=1;当z为奇数时,f5(z)=0。 )是函数。 [填空题参考答案: 1.在命题逻辑中,原子命题是进行演算的基本单位,不再研究命题的内部结构。 而谓词逻辑的任务就是对原子命题作进一步的分析,研究其内部的逻辑结构。 2.个体词和谓词两部分。 3.列举法、叙述法、特定字母集和图表法。 4.自反性、对称性和传递性 5.n2和n(n-1)/2 6.有向边和无向边 7.一条通过图中各边一次且仅一次的通路。 8.入度为零的顶点称为根,出度为零的顶点称为叶子。 9.(a,c)∈R 10.a、否、有 11.能够判断内容真假的语句称为命题。 12.原子和复合。 13.表格法、矩阵法和图表法。 14. (1) ; (2)1;(3) 15.不存在、e≠θ 16.底图 17.一条通过图中各边一次且仅一次的回路。 18. 、 19.入射 、 入射 、 双射 、 双射 、满射。 三、判断说明题 判断下列各题正误,正确的在题后括号内打“√”,错误的打“×”,并说明其正确或错误的理由。 (一)判断下列语句那些是命题 1.我是工程师。 【√】 2.计算机有空吗? 【×】 3.6是奇数。 【√】 4.太美妙了! 【×】 5.雪是白的。 【√】 6.我是大学生【√】 7.雪是黑的。 【√】 8.外星人是存在的。 【√】 9.请打开门! 【×】 10.这束花多么好看啊! 【×】 (二)下列函数中(1~5小题),哪些是单射函数,满射函数,双射函数。 其中N是自然数集合,I是整数集合,R是实数集合。 已知集合A={a,b,c},集合B={1,2,3},下列A→B的二元关系中,R1~R5哪些可以构成函数。 1.f: N→N,f(n)=2n【单射】 2.f: A→B,A={0,1,2},B={0,1,2,3,4},f(a)=a2【单射】 3.f: I→I,f(i)=i+10【双射】 4.f: I→I,f(i)=|i| 【既不是单射,也不是满射】 5.f: I→{0,1},当I为偶数时,f(i)=0;当I为奇数时,f(i)=1。 【满射】 6.R1={(a,1),(b,2),(c,3)}【√】 7.R2={(a,3),(c,2),(c,1)}【×】 8.R3={(a,2),(b,1),(b,2),(c,3)}【×】 9.R4={(b,1),(c,3)} 【×】 10.R5={(a,1),(b,1),(c,3)}【√】 四、表述题: 将下列命题符号化 (一)命题逻辑符号化 1.我美丽而又快乐。 2.如果老张和老李都不去,他就去。 3.电灯不亮,当且仅当灯泡或开关发生故障。 4.王强工作努力且身体好。 5.我是本次校运动会的跳远或100米短跑的冠军。 6.只要有学习机会,我一定用功读书。 7.两个三角形全等,当且仅当它们的三个对应边相等。 8.如果不下雨,我不乘公交车上班。 (二)谓词逻辑符号化(论域为全部个体域) 1.小张不是学生。 2.所有的有理数都是实数。 3.小张大于18岁,身体健康,无色盲,大学毕业,则他可参加飞行员考试。 4.小王不是研究生。 37.他是跳高或篮球运动员 38.晓莉非常聪明和能干 39.若m是奇数,则2m是偶数。 [四、参考答案: (一) 1.设P表示命题“我美丽”,Q表示命题“我快乐”。 则用符号表示命题为: P∧Q 2.P表示“老张去”;Q表示“老李去”;R表示“他去”。 则(P∧Q)→R。 3.设P表示“电灯不亮”,Q表示“灯泡发生故障”;R表示“开关发生故障”。 则P (Q∨R)。 4.设P表示命题王强工作努力,Q表示命题王强身体好。 则用联结词表示复合命题为: P∧Q 5.设P: 我是本次校运动会的跳远冠军 Q: 我是本次校运动会的100米短跑的冠军,则P∨Q。 6.设P: 有学习机会,Q: 我一定用功读书,则P→Q。 7.设P: 两个三角形全等,Q: 三个对应边相等,则P⇆Q 8.P: 下雨,Q: 我不乘公交车上班。 则┒P→Q。 (二) 1.令S(x): x是学生;a: 小张;则┐S(a) 2.设Q(x): x是有理数;R(x): x是实数,则符号化为: ∀x(Q(x)→R(x))] 3.设A(x): x超过18岁;B(x): x身体健康;C(x): x色盲;D(x): x大学毕业 E(x): x参加飞行员考试;a: 小张;则A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(a)→E(a)。 4.设A(x): x是研究生;a: 小王,则┒A(a)。 5.设A(x): x是跳高运动员;B(X): x是篮球运动员;a: 他;则A(a)∨B(a) 6.设A(x): x非常聪明;B(x): x能干;a: 晓莉;则A(a)∧B(a) 7.A(x): x是奇数;B(x): x是偶数;m: 某整数;则A(m)→B(2m)。 ] 五、计算题 1.构造公式: ┒P∨Q的真值表 2.已知集合A={1,2},求集合A的幂集P(A)。 3.已知集合A={a,b},求集合A上的笛卡尔积A×A. 4.知集合A={a,b,c,d},R={(a,a),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,b),(d,c)}是A上的关系,试用矩阵表示法表示R。 5.试画出树叶权为1,2,3,5,7,12的最优二元树,并求出该树的权。 6.求公式(┒P∧Q)∨(P∧┒Q)的真值表。 7.已知集合A={1,2,3},求集合A的幂集P(A)。 8.已知集合A={a,b,c},求集合A上的笛卡尔积A×A. 9.画出一个3阶有向完全图 10.(A,R)是偏序集,A={2,3,4,5,6,8,12,16,24},R是A上的整除关系。 试写出A中的所有极大元和极小元,它有没有最大元和最小元? [五、参考答案: 1. P Q ┒P∨Q F F T F T T T F F T T T 2.因为|A|=2,所以A的幂集|P(A)|=2^2=4。 P(A)={Φ,{1},{2},{1,2}} 3. A×A={a,b}×{a,b}={(a,a),(a,b),,(b,a),(b,b),} 4.A={a,b,c,d},R={(a,a),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,b),(d,c)} 矩阵表示: 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 5.最优二元树为: 最优二元树的权为: W=12+18+2*(7+11)+3*(5+6)+4*(3+3)+5*(1+2)=138] 6. P Q ┒P Q ┒P∧Q P∧┒Q (┒P∧Q)∨(P∧┒Q) T T F F F F F T F F T F T T F T T F T F T F F T T F F F 7.因为|A|=3,所以A的幂集|P(A)|=2^3=8。 P(A)={Φ,{1},{2},{3},{1,2}{1,3},{2,3},{1,2,3}} 8. A×A={a,b,c}×{a,b,c}={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)} 9. 10.极大元为: 5,16,24;极小元为: 2,3,5。 无最大和最小元。 六、证明题 1.设R是A上的反自反关系和可传递关系,证明R是A上的反对称关系。 2.若图G中恰有两个奇数顶点,则这两个顶点是连通的。 3.设A和B是集合,证明A∪(B-A)=A∪B。 4.R是集合X上的一个自反关系,求证: R是对称和传递的,当且仅当 [六、参考答案: 1.证: 因为当a≠b,且(a,b)∈R时,必有(b,a)∉R,否则如果(b,a)∈R,根据传递性,应有(a,a),(b,b)∈R,这与反自反矛盾。 故反对称性成立。 2.证: 设G中两个奇数度结点分别为u,v。 若u,v不连通,即它们中无任何通路,则至少有两个连通分支G1、G2,使得u,v分别属于G1和G2。 于是G1与G2中各含有一个奇数度结点,与握手定理矛盾。 因而u,v必连通。 3..证: A∪(B-A)=A∪(B∩—A) =(A∪B)∩(A∪—A) =(A∪B)∩U =(A∪B) 4.证: “ ” 若 由R对称性知 ,由R传递性得 “ ”若 , 有 任意 ,因 若 所以R是对称的。 若 , 则 即R是传递的。 ]是【B】。
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