巧算巧算面积.docx
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巧算巧算面积
第六章巧算巧算面积
(二)
在计算比较复杂的平面图形面积时,常用方法是:
(1)“割补法”:
把原来的图形剪拼成我们所熟悉的“基本”图形。
(2)“分解法”:
把复杂的图形分成几个简单的图形。
除此之外,还可以运用平移、旋转等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导来寻求解题的有效途径。
【例1】把△ABC的边AB三等分,AC四等分,如图所示。
已知△ADE的面积为l平方厘米,求△ABC的面积。
做一做1如下图,BD=3AD,CE=5AE,问:
△ABC的面积是△ADE的面积的()倍。
【例2】在下图所示的长方形中,E,F分别是AD和DC的中点。
如果已知长方形ABCD的面积是64平方厘米,求阴影部分的面积。
做一做2如下图所示,长方形ABCD的面积为36平方厘米,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点,H为AD边上任意一点。
问:
阴影部分的面积是多少?
【例3】一个正方形,如果一边增加6厘米,另一边增加2厘米,那么所得的长方形面积比原正方形面积多92平方厘米。
求原正方形的边长。
做一做3一个正方形,一边截去6厘米,另一边截2厘米,剩下的长方形面积比原正方形面积少68平方厘米。
求原正方形的边长。
【例4】图1是一块长方形草地。
长方形长16米,宽10米,中间有两条宽2米的道路,一条是长方形,另一条是平行四边形。
求有草部分(阴影部分)的面积。
做一做4求下图阴影部分的面积(单位:
厘米)。
【例5】下图中的每个长方形小格的面积都是1平方厘米,求阴影部分的面积。
做一做5如下图,每个长方形小格的面积都是1,求阴影部分的面积。
【例6】如图1,直角梯形ABCD的上底和腰相等,正方形DEFG的边长等于6厘米,阴影部分的面积。
做一做6如下图,正方形ABCD的边长为l,E是AD的中点,P为CE的中点,那么△BPD的面积是多少?
【例7】如图1,ABCD是平行四边形,面积为72平方厘米,E,F分别为AB,BC的中点,则图中阴影部分的面积为多少平方厘米?
做一做7如图,E是矩形ABCD的边BC的中点,BD与AE的交点为F,那么,图中阴影部分(三角形FAB)与矩形ABCD的面积之比是()。
(1)在下图中,BC=CD,CE=3AE,△ABC的面积是12平方厘米,求△CDE的面积。
(2)在下图所示的长方形内有一个钝角三角形,按照图上的数值,求出这个三角形的面积。
(3)如下图,△ABC是一个等腰直角三角形,它与一个正方形叠放在一起。
已知AE,EF,BF三条线段一样长,且△EFD(阴影部分)的面积是4,求△ABC的面积。
(4)一个平行四边形ABCD被CE分成两部分(如下图),梯形ABCE与△ECD的面积差是18.6平方厘米,又知平行四边形ABCD的高为6.2厘米,BC=15厘米。
求梯形的上底长。
(5)如下图,△ABC的面积为1,AE=ED,BD=2DC,求阴影部分的面积。
(6)一个长方形,如果长增加2厘米,宽增加5厘米,那么面积就增加60平方厘米,这时恰好是一个正方形,求原长方形的面积。
(7下图中,正方形ABCD的边长为12,P是AB边上任意一点,M,N,I,H分别是边BC,AD的三等分点,E,F,G是边CD的四等分点,求图中阴影部分的面积。
(9)三条边长分别为6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形,将它的短直角边对折到斜边上去,与斜边相重合(如下图),那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
第七章巧解长方体和正方体
(一)
在数学竞赛中,有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点:
1.必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;
2.依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;
3.求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。
【例1】一个零件形状大小如下图:
算一算,它的体积是多少立方厘米?
表面积是多少平方厘米?
(单位:
厘米)
做一做1一个长5厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体,被切去一块后(如图),剩下部分的表面积和体积各是多少?
【例2】有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔(如图),你能算出它的体积和表面积吗?
(单位:
厘米)
做一做2有一个形状如下图的零件,求它的体积和表面积。
(单位:
厘米)。
【例3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米?
做一做3把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体,这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米,而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米,那么它的体积是多少立方厘米?
【例4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。
已知每块砖的体积是288立方厘米,求大长方体的表面积。
做一做4一块小正方体的表面积是6平方厘米,那么,由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米?
【例5】一个长方体,前面和上面的面积之和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。
这个长方体的体积和表面积各是多少?
做一做5有一个长方体,它的前面和上面的面积和是88平方厘米,且长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?
(1)把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段,表面积增加了2平方分米,求这根木料原来的体积是()立方分米。
(2)有一个长8厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体木块,在它的左右两角各切掉一个正方体(如图),求切掉正方体后的表面积是()平方厘米,体积是()立方厘米。
(3)有一个棱长是4厘米的正方体,从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后,剩下物体的体积是()立方厘米,表面积是()平方厘米。
(4)如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上(如图),那么得到的物体的体积是()立方厘米,表面积是()平方厘米。
(5)一根长80厘米,宽和高都是12厘米的长方体钢材,从钢材的一端锯下一个最大的正方体后,它的表面积减少了()平方厘米。
(6)把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体,它们的表面积最多会减少()平方分米。
(7)一个长方体的体积是385立方厘米,且长、宽、高都是质数,求这个长方体的表面积是()平方厘米。
(8)有24个正方体,每个正方体的体积都是1立方厘米,用这些正方体可以拼成()种不同的长方体。
(9)一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数,体积是960立方厘米,求它的表面积是()平方厘米。
第八章巧解相遇和追及问题
(二)
相遇问题常用关系式:
路程和=速度和×相遇时间
速度和=路程和÷相遇时间
相遇时间=路程和÷速度和相遇时间=路程差÷速度差
追及问题常用关系式:
追及时间=路程差÷速度差
速度差=路程差÷追及时间
路程差=速度差×追及时间
常用思考方法:
①整体思考法,②转化法。
【例1】甲、乙、丙三人中,甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米。
甲、乙两人从东镇,丙从西镇同时相向出发,丙遇到乙后再经过2分钟遇到甲。
求两镇之间的距离。
做一做1甲、乙、丙三人走路,甲每分钟走60米,乙每分钟走50米,丙每分钟走40米。
甲从A地,乙和丙从B地同时出发,相向而行。
甲和乙相遇后,过了5分钟又与丙相遇。
求A,B两地间的距离。
【例2】A、B两车同时从甲、乙两站相对开出,两车第一次是在离甲站50千米处相遇。
相遇后两车各以原速度继续行驶,到达乙、甲两站后立即原路返回,第二次是在离乙站30千米处相遇。
问:
如此继续下去,A,B两车第三次在何处相遇?
做一做2客、货两车同时从甲、乙两地相对开出,第一次相遇是在离乙地80千米的地方。
相遇后继续行驶,均在到达对方出发地后立即返回,第二次相遇是在距离甲地50千米处。
求甲、乙两地间的距离。
【例3】甲、乙两人往返于A、B两地之间,甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,在途中相遇。
甲每小时行10千米,乙每小时行8千米,各自到达对方出发地后立即返回,第一次与第二次相遇点的距离为20千米。
求A,B两地之间的距离。
做一做3客、货两车同时从甲、乙两地相对开出,在途中相遇后继续前进,各自到达对方出发点后立即返回,途中第二次相遇,两次相遇地点间相距120千米。
已知客车每小时行60千米,货车每小时行48千米,问:
甲、乙两地相距多少千米?
【例4】甲、乙两人从相距1836米的两地相向同时出发,9分钟后,两人在途中相遇。
如果甲、乙两人每分钟都多行6米,那么相遇的地方距离原相遇地点9米。
问:
甲、乙两人每分钟各行多少米?
做一做4甲、乙两人从相距4800米的两地同时相向而行,30分钟后相遇。
如果他们每分钟的速度各增加20米,那么,相遇地点距前一次相遇地点24米。
求甲、乙两人原来的速度。
【例5】甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地。
甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米。
途中甲车因故障修车用了3小时,结果甲车比乙车迟到目的地1小时。
求两地间的距离。
做一做5A,B两地相距20千米,甲、乙两人同时从A地出发去B地。
甲骑车每小时行10千米,乙步行每小时行5千米。
甲在途中停了一段时间修车。
乙到达B地时,甲离B地还有2千米。
问:
甲修车用了多少时间?
【例6】甲、乙两地相距48千米,其中有一部分是上坡路,其余是下坡路。
某人骑自行车从甲地到达乙地后,沿原路返回,去时用了4小时12分,返回时用了3小时48分。
已知自行车上坡每小时行10千米,求:
自行车下坡时每小时行多少千米?
做一做6南、北两镇之间全是小路。
某人上山每小时走2千米,下山每小时走5千米。
他从南镇到北镇要走38小时,从北镇到南镇要走32小时。
问:
两镇之间的路程是多少千米?
【例7】从A站开往B站的公共汽车每隔30分钟开出一班。
某乘客到达A站时汽车刚好开出,他立即改为步行,速度为每小时5千米。
他向前走了3千米时,被第2辆汽车赶上,再向前走5千米又与第2辆汽车在返回的途中相遇。
已知这辆汽车在B站停留了30分钟,求A、B两站间的距离。
做一做7两人同时从A地去B地,一人骑自行车,另一人骑摩托车。
自行车每小时行18千米,摩托车的速度是自行车的2倍。
摩托车到达B地后暂停30分钟立即返回A地,在返回途中与自行车相遇,他们从出发到相遇经过4小时30分钟。
求A,B两地间的距离。
【例8】如下图所示,是一个边长为100米的正方形的墙。
甲、乙两人分别从两个对角处沿围墙按逆时针方向同时出发。
已知甲每秒跑5米,乙每秒跑3米。
问:
至少经过多长时间甲才能看到乙?
做一做8甲、乙两个同学分别站在长方形围墙外的两角上(如下图),如果他们同时开始绕着围墙沿逆时针方向跑,甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,那么,甲至少跑多少秒才看到乙?
(一)相遇问题巩固练习
(1)两地的距离是1120千米,有两列火车同时相向开出。
第一列火车每小时行60千米,第二列火车每小时行48千米。
在第二列火车出发时,从里面飞出一只鸽子,以每小时80千米的速度向第一列火车飞去。
问:
在鸽子遇上第一列火车时,第二列火车距离目的地多远?
(2)甲、乙两人同时从两地骑车相向而行,甲车速度是15千米每小时,乙车速度是13千米每小时,两人相遇时,距离中点3千米。
问:
这两地的距离是多少千米?
(3)A、B两地相距8千米,小明骑自行车从A地出发到B地,开始以每分钟120米的速度行驶,后来改为以每分钟160米的速度行驶,共用了l小时到达B地。
问:
小明是在离A地多少米的地方改变速度的?
(4)早上8点,小明和小强从甲、乙两地出发,以不变的速度相向而行。
9点20分两人相距10千米。
10点时,两人还是相距10千米。
11点时小明到达乙地,这时小强距甲地多少千米?
(2009年北京市解题能力测试)
(5)两地相距1720米,甲、乙相对而行,甲每分钟走70米,乙每分钟走55米。
甲走了2分钟后因事回家,再以同样的速度往回走,这样两人相遇时要用多少分钟?
(二)追及问题巩固练习
(1)学校和部队驻地相距16千米。
小红和小宇由学校骑车去部队驻地,小红每小时行12千米,小宇每小时行15千米。
当小红走了3千米后,小宇才出发。
问:
当小宇追上小红时,距部队驻地还有多少千米?
(2)小明以每分钟50米的速度从学校步行回家,12分钟后小周从学校出发骑自行车去追小明,结果在距离学校1000米处追上小明。
求小周骑自行车的速度。
(3)摩托车和汽车从相距10千米的甲、乙两地同时同向出发,汽车在前,摩托车每小时行60千米,汽车每小时行35千米。
出发几分钟后,摩托车发生故障,修理了半小时后继续前进.问:
摩托车追上汽车时它们各行多少千米?
(4)同学们排成一支长480米的队伍去郊游,以每分钟70米的速度行进。
队尾的同学小刚因事需从队尾追至队首,并立即返回队尾,他的速度是每分钟90米,求他从队尾到队首又回到队尾所需的时间。
(5)一条东西向的公路与一条南北向的公路交叉于O点(如下图)。
甲从十字路口南1350米的M点沿公路北行,乙从十字路口的O点沿公路向东行。
两人同时出发10分钟后,他们离十字路口的距离相等;又过了80分钟,两人离十字路口的距离又相等。
已知甲的速度快于乙的速度,求甲、乙的速度。
第九章巧解火车行程问题
(二)
火车过桥问题也是行程问题的一种。
首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。
列车过桥的总路程是桥长加车长,这是解决过桥问题的关键。
过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系:
过桥问题的一般数量关系是:
过桥的路程=桥长+车长
过桥的时间=(桥长+车长)÷车速
车速=(桥长+车长)÷过桥时间
公式的变形:
桥车=车速×过桥时间—车长
车长=车速×过桥时间—桥长
火车通过遂道的问题和过桥问题的道理是一样的,也是通过上面的数量关系来解决。
补充:
错车时间=两列车长和÷两车速度和
超车时间=两列车长和÷两车速度差
(从追上到完全超过)
【例1】长150米的火车以每秒18米的速度穿越一条长300米的隧道,问:
火车穿越隧道(从进入隧道直至完全离开)要用多长时间?
做一做1长130米的列车,以每秒16米的速度行驶,通过1条隧道用了48秒。
问:
这条隧道长多少米?
【例2】慢车车身长125米,车速为每秒17米;快车车身长140米,车速为每秒22米。
慢车在前面行驶,快车在后面从追上到完全超过需要多少秒?
做一做2甲火车车身长250米,车速为每秒16米;乙火车车身长140米,车速为每秒21米。
问:
乙火车从追上到完全超过甲火车需要多少秒?
【例3】一列火车通过一座长1260米的桥(车头上桥直至车尾离桥)用了60秒,火车穿长2010米的隧道用了90秒。
问:
这列火车的车速和车身长各是多少?
做一做3一列火车通过450米长的桥用了23秒,从头到尾经过一位站在铁路边的扳道工人用了8秒。
问:
这列火车的速度和车身长度各是多少?
【例4】两列火车相向而行。
甲车每小时行36千米,乙车每小时行54千米。
两车错车时,甲车上一乘客发现:
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他车窗时共用了14秒。
求乙车的车长。
做一做4快车每秒行18米,慢车每秒行10米。
现有两列火车同时同方向齐头行进,经过10秒钟后,快车超过慢车;如果两车车尾相齐行进,则7秒钟后,快车超过慢车。
求两列火车的车身长。
【例5】某小学三、四年级学生共528人排成4路纵队去看电影,队伍的速度是每分钟25米,前后两人都相距1米。
现在队伍要走过一座桥,整个队伍从上桥到离桥共需16分钟。
问:
这座桥长多少米?
做一做5有346名少先队员排成2路纵队去参观科技成果展览。
队伍行进的速度是每分钟23米,前后两人都相距1米。
现在队伍要通过一座长度为702米的大桥,问:
整个队伍从上桥到下桥共用了多长时间?
【例6】火车通过长为105米的铁桥用了25秒;如果火车的速度加快一倍,那么它通过96米长的铁桥只用12秒。
求火车原来的速度和它的长度。
做一做6火车通过长为82米的桥用了22秒。
如果火车的速度加快1倍,那么它通过162米长的桥就只用16秒。
求这列火车原来的速度和长度。
【例7】沿着铁路线,有两个人迎面相对走着,两人的速度是一样的。
一列火车开来,整个列车从第一个人身边开过用了8秒钟,火车与第一个人相遇5分后,与第二人相遇。
火车从第二个人身边开过,全列车只用了7秒钟。
问:
车遇到第二人后多少分钟,两人才能相遇?
做一做7铁路旁有一条小路,一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去,8点时追上向南行走的一名军人,15秒后离他而去,8点6分迎面遇到一个向北行走的农民,12秒后离开这个农民,问:
军人与农民何时相遇?
(1)两列火车,长都是270米,从甲、乙两地都以54千米每小时的速度相对开出。
两列火车从相遇到相离,要用几秒钟?
(2)长135米的列车以每秒12米的速度行驶,后面开来长126米的另一列车,每秒行驶17米。
求这列车从车头遇到前面的车到完全超过前面的车用了多少秒。
(3)长90米的列车以54千米每小时的速度行驶,它追上并超过长50米的列车用了14秒。
如果这两列列车相向而行,问:
从相遇到完全离开要用多长时间?
(4)一列火车,从车头到桥头算起,用5秒钟时间全部驶上一座大桥,26秒后全部驶离大桥。
已知大桥全长525米,求火车过桥的速度和火车的长度。
(5)长120米的列车,以每小时72千米的速度往东行驶;长300米的货车往西行驶。
它们在长125米的铁桥西端相遇,在桥的东端离开,求货车每小时行驶多少千米。
(四舍五入到小数点后一位)
(6)铁路与公路平行。
公路上有一个人在行走,速度是4千米每小时,一列火车追上并超过这个人用了6秒。
公路上还有一辆汽车与火车同向行驶,速度是67千米每小时,火车追上并超过这辆汽车用了48秒。
求火车的速度与长度。
(不用考虑汽车的长度)
(7)一列火车通过一座长456米的桥需要80秒,用同样的速度通过一条长399米的隧道需要77秒。
求这列火车的速度和长度。
(8)公路两边的电线杆间隔都是30米。
一位乘客坐在行驶的汽车中,他从看到第1根电线杆到看到第26根电线杆正好用了3分钟。
求这辆汽车每小时行驶多少千米。
(9)一列客车每分钟行1000米,一列货车每分钟行750米,货车比客车的车身长135米。
两车在平行的轨道上同向行驶,当客车从后面超过货车时,它们的交叉时间是1分30秒。
求货车的车身长度。
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