平面向量知识点总结精华.docx
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平面向量知识点总结精华
必修4平面向量知识点小结
、向量的基本概念
1.向量的概念:
既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别向量常用有向线段来表示.
举例1已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量a(1,3)平移后得到的
向量是.结果:
(3,0)
2.零向量:
长度为0的向量叫零向量,记作:
0,规定:
零向量的方向是任意的;
3.单位向量:
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线
4.相等向量:
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
5.平行向量(也叫共线向量):
方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作:
a〃b,
规定:
零向量和任何向量平行
注:
①相等向量一疋是共线向量,但共线向量不一疋相等;
2两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:
两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;
3平行向量无传递性!
(因为有0);
4三点A、B、c共线AB、AC共线.
6.相反向量:
长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量
记作a.
举例2如下列命题:
(1)若|a|ibbl,则ab.
⑵两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同
⑶若ABDC,则ABCD是平行四边形.
(4)若ABCD是平行四边形,则ABDC.
(5)若ab,bc,则ac.
b//C则a//C.其中正确的是.结果:
(4)(5)
、向量的表示方法
1.几何表示:
用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后;
2.符号表示:
用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;
3.坐标表示:
在平面内建立直角坐标系,以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量r,j为基底,则平面内的任一向量a可表示为axiyj「(x,y),称(x,y)为向量a的坐标,a(x,y)叫做向量a的坐标表示.
结论:
如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
三、平面向量的基本定理
定理设ei,Gb同一平面内的一组基底向量,a是该平面内任一向量,则存在唯一实数对(1,2),使a2e2.
(1)定理核心:
a爲慮;
(2)从左向右看,是对向量a的分解,且表达式唯一;反之,是对向量a的合成.
(3)向量的正交分解:
当《育时,就说a恵也为对向量a的正交分解.
举例3
(1)若a(1,1),£(i,i),c(1,2),则c结果:
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是B
A.e(0,0),&(1,2)B.e(1,2),&(5,7)C.e(3,5),&(6,10)
(3)已知AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且ADa,BEb,
则皑可用向量a,b表示为.结果:
2a
33
uiurluuruurluutuur
(4)已知△ABC中,点D在BC边上,且CD2DB,CDrABsAC,贝rs
的值是.结果:
0.
四、实数与向量的积
实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如
下:
(1)模:
iai||⑸;
(2)方向:
当0时,a的方向与a的方向相同,当0时,a的
方向与a的方向相反,当0时,a0,
注意:
五、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角:
对于非零向量a,b,作OAa,OBb,则把AOB(0)称为向量a,b的夹角.
当0时,a,b同向;当时,a,b反向;当—时,a,b垂
直.
我们把数量|ar||b|cos叫做a与b的数量积(或内积或点积),记作:
ab,
ra
rb
ra
n—
规定:
零向量与任一向量的数量积是0.
注:
数量积是一个实数,不再是一个向量.
举例4
(1)△ABC中,|AB|3,|AC|4,|BC|5,则ABBC
结果:
9.
(2)已知a1,1,bo,1,cakb,dab,c
与d的夹角为壬,则
k
.结果:
1.
(3)已知|a|2,|b|5,ab3,则〔ab|.
结果:
卫.
(4)已知a,b是两个非零向量,且laiibiiabl,则a与ab的夹角为
结果:
30。
.
3.向量b在向量a上的投影:
|b|cos,它是一个实数,但不一定大于
0.
举例5已知|a|3,|b|5,且ab12,则向量a在向量b上的投影为
4.ab的几何意义:
数量积ab等于a的模ia|与b在a上的投影的积.
5.向量数量积的性质:
设两个非零向量a,b,其夹角为,贝u:
(1)ababo;
(2)当a、bb同向时,ab|舌||b|,特别地,a2aa|訂|si|■. ab|a||b|是a、b同向的充要分条件; 当a、b反向时,ab|S||b|,ab|首||b|是a、b反向的充要分 不充分条件. 举例6 (1)已知a(,2)(3,2),如果a与b的夹角为锐角,贝U的 取值范围是.结果: 4或0且1; 33' (2)已知△OFQ的面积为S,且OF1,若1S2.,则OF,皑夹角 的取值范围是.结果: -,-; 43 (3)已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),且满足|kab|.3|必kb|(其中k0). ①用k表示ab;②求ab的最小值,并求此时a与b的夹角的大小.结果: ①ab兽代0);②最小值为1,60。 . 六、向量的运算 1.几何运算 (1)向量加法 运算法则: ①平行四边形法则;②三角形法则. 运算形式: 若ABa,Beb,则向量AC叫做a与b的和,即 作图: 略. 注: 平行四边形法则只适用于不共线的向量 (2)向量的减法 运算法则: 三角形法则 运算形式: 若ABa,ACb,则abABACCA,即由减向量的 终点指向被减向量的终点. 作图: 略. 注: 减向量与被减向量的起点相同 举例7 (1)化简: ①ABBCCD: ②ABASDCu: ③ luuruurunruurumruurr (ABCD)(ACBD).结果: ①AD;②CB二③0; (2)若正方形abcd的边长为1,ABa,BC6,ACc,则〔abC|. 结果: 22; (3)若O是SBC所在平面内一点,且满足OBOC||OBOC2oA,则△ABC 的形状为.结果: 直角三角形; (4)若D为厶ABC的边BC的中点,△ABC所在平面内有一点P,满足 uur PABpCp0,设霸,则的值为.一结果: 2; (5)若点O是△ABC的外心,且OAOBCO0,则△ABC的内角C为. 结果: 120。 . 举例8 (1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若APABAC(R),则当 时,点P在第一、三象限的角平分线上•结果: 1; 2 (2)已知A(2,3),B(1,4),且IaB(sinx,cosy),x,y(-^-),贝xy. 结果: 6或-; 62' (3)已知作用在点A(1,1)的三个力F(3,4),F: (2,5),F(3,1),则合力 F3F1F2uu的终点坐标是_—结果: (9,1). (2)实数与向量的积: 舌(X1,yj(&,y) (3)若A(x1,y1),Bgy),则AB区x』yj,即一个向量的坐标 等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 举例9设A(2,3),B(1,5),且AC3AB,AD3AB,则c,d的坐标分别是 3 举例10已知向量a(sinx,cosx),b(sinx,sinx),c(1,0). (1)若x-,求向量a、c的夹角; 3 ⑵若x[善叩,函数f(x)a: 的最大值为: ,求的值.结果: (1) 150。 ; (2)1或21. (5)向量的模: 举例11已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60。 ,那么iaab| .结果: (6)两点间的距离: 若&为,%),B(X2,y2),则|AB|(X2xj2厲yj2. 举例12如图,在平面斜坐标系xOy中,xOy60。 ,平面上任一点P关于斜坐标系‘I 的斜坐标是这样定义的: 若OPxeye2,其中霏2分别为与x轴、y轴同 方向的单 位向量,则P点斜坐标为(x,y). (1)若点P的斜坐标为(2,2),求P到O的距离|PO|; (2)求以O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程. 结果: (1)2; (2)x2y2xy10. 七、向量的运算律 举例13给出下列命题: ①a(bC)abac: ②a(bC) ④若abo,则a0或b0;⑤若abcb则ac;⑥洁甘;®孝br; ⑧(ab)2a2b2: ⑨(ab)2a22abb2. 其中正确的是__一结果: ①⑥⑨. 说明: (1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别: 对于一个 向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约); (2)向量的“乘法”不满足结合律,即a(bc)(ab)c,为什么? 八、向量平行(共线)的充要条件 2 rr ro rb ra r12 (|a||b|)xy%X20. 举例14 (1)若向量a(x,1),b(4,x),当x时,a与b共线且方向 相同.结果: 2. (2)已知a(1,1),b(4,x),ua2b,v2ab,且u〃v,则x 结果: 4. (3)设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k),则k时,A,B,C共线.结 果: 2或11. 九、向量垂直的充要条件 uuuuuu特别地-ABUACF |AB||AC| uuuuuruuuuur 结果: 举例15⑴已知OA(1,2),OB(3,m),右OAOB,则m (2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B90,则 点b的坐标是.结果: (1,3)或(3,—1)); (3)已知n(a,b)向量nm,且lnllml,则m的坐标是.结果: (b,a) 或(b,a). 十、线段的定比分点 1.定义: 设点P是直线PP2上异于P、P2的任意一点,若存在一个实数,使営1? Pb,则实数叫做点p分有向线段P7P2所成的比,p点 叫做有向线段P1P2的以定比为的定比分点. 2.的符号与分点P的位置之间的关系 (1)P内分线段P^,即点P在线段RP2上0; (2)P外分线段pp时,①点P在线段RP2的延长线上1,② 点P在线段PP2的反向延长线上10. 注: 若点P分有向线段PPU2所成的比为,则点P分有向线段常所成的 比为1. 举例16若点p分Ar所成的比为;,则a分品所成的比为
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