抛物线方程.docx

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抛物线方程

抛物线方程

【本讲教育信息】

一.教学内容：

      抛物线方程

二.重点、难点：

教学重点：

抛物线的定义、标准方程、几何性质及运用

教学难点：

利用定义解题及求抛物线方程．

三.主要知识点：

1、抛物线的定义：

平面内到定点F的距离与到定直线l（F不在定直线l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

2、标准方程的推导

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

过定点F作FN⊥l，垂足为K，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．设|FN|＝p（p＞0），M（x，y）为抛物线上任意一点，作PH⊥l，垂足为H．PF＝PH．

．化简得y2＝2px（p>0）

3.四种标准方程的比较

4.抛物线的简单几何性质

（1）自身固有的几何性质

   ①位置关系：

焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴；顶点是焦点及焦点在准线上射影的中点；

②数量关系：

焦点到准线的距离为p．

离心率e＝1，通径长为2p

（2）解析性质：

以抛物线y2＝2px（p>0）为例

范围：

x≥0，y∈R

基本参数：

焦点F（

，0），准线x＝

，顶点（0，0）

焦半径：

抛物线y2＝2px（p>0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r＝x0＋

           抛物线y2＝－2px（p>0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r＝

－x0

           抛物线x2＝2py（p>0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r＝y0＋

           抛物线x2＝－2py（p>0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r＝

－y0

5.直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系与直线与椭圆双曲线的位置关系一样，有三种：

相离、相交、相切，判断方程仍然是判别式法（△法），其中当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线方程与抛物线方程联立消元后所得方程为一元一次方程．所以在用判别式的符号判断直线与抛物线位置关系时，应注意这一退化情形．

【典型例题】

例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程．

法一、设抛物线方程为y2＝－2px（p>0）.则焦点F（－

，0）

∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝

法二、设抛物线方程为y2＝－2px（p>0），

则焦点F（－

，0），利用定义得

－（－3）＝5，

∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x，

又因为点M（－3，m）在抛物线上，故m2＝－8（－3）

∴m＝

.

分析：

充分利用抛物线的定义解题．

例2.抛物线y2＝4x上一点A到B（3，2）与到焦点F的距离之和最小，求点A的坐标并求最小值．

分析：

因为AF＝AN，故N，A，B三点共线既可．

解：

在图中画出准线l，过点A作AN⊥l，则AN＝AF，

∴AB＋AF＝AB＋AN≥BN．故当A，B，N三点共线时，其和最小，

过点B作BN⊥l交抛物线于点A．则点A即为所求的点，A（1，2）．

说明：

将最值转化为几何问题解决，从而比较容易解决．

例3.求与圆（x－3）2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．

解题思路分析：

设定圆圆心M（3，0），半径r＝3，动圆圆心P（x，y），半径为R，则由已知得下列等式

∴|PM|＝|x|＋3

当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等

∴点P轨迹为抛物线，焦点M（3，0），准线x＝－3

∴P＝6，抛物线方程为y2＝12x

当x<0时，|PM|＝3－x

动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离

点P轨迹为x轴负半轴

∴所求轨迹方程为y2＝12x（x>0），y＝0（x<0）

注：

本题在列出等量关系后，注意到它们都与距离有关，故用定义求解．降低了运算量．值得注意的是，相当多的同学直接画图求解时会忘记x轴负半轴．

例4.当k为何值时，直线y＝kx＋k－2与抛物线y2＝4x有两个公共点？

仅有一个公共点？

无公共点？

解题思路分析：

直线与抛物线的位置关系是通过它们的方程构成的方程组的解的情况来判断的．

由

得：

k2x2＋2（k2－2k－2）x＋（k－2）2＝0

当k＝0时，方程退化为一次方程，－4x＋4＝0，该方程只有一解x＝1，原方程组只有一组解

，∴直线y＝－2与抛物线只有一个公共点．

当k≠0时，二次方程的△＝4（k2－2k－2）2－4k2（k－2）2＝－16（k2－2k－1）

当△>0得k2－2k－1<0，

，∴当

，或

时，直线与抛物线有两个公共点

由△＝0得k＝

，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点

由△<0得

，或

，此时直线与抛物线无公共点

注：

（1）由本题可知，直线与抛物线只有一个公共点的含义有两种位置情形：

（2）因抛物线方程不是关于x、y的齐次式，故在消元过程中应适当加以选择，如本题，应消去x较方便．请同学们实践一下．

例5.过抛物线y2＝2px（p>0）焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，线段PQ的中垂线交x轴于R，求证：

|PQ|＝2|FR|．

解题思路分析：

引入参数求出|PQ|及|FR|，因PQ是过F的旋转直线系，所以将直线PQ的斜率作为参数．

显然直线PQ的斜率存在

设直线PQ：

由

得：

设P（x1，y2），Q（x2，y2），则由抛物线定义得：

为求|FR|，先求PQ中点M坐标，设PQ中点M（x0，y0）

则

，

∴PQ中垂线方程：

令y＝0，得：

∴|FR|＝

∴|PQ|＝2|FR|

注：

（1）本题在求弦长|PQ|时，因直线PQ过焦点，故采用了定义，简化计算．

（2）在求PQ中点M坐标时，除了用韦达定理法，还可用点差法，而且因为抛物线方程是非齐次式，用点差法相对来说简单一些．

①－②得：

（y1－y2）（y1＋y2）＝2p（x1－x2）

∵x1≠x2

∴

∴

∴

【模拟试题】（满分100分，时间60分钟）

一、选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．）

1、已知抛物线的焦点坐标是（2，0），则抛物线的标准方程是

A、y2＝4x            B、y2＝－4x          C、y2＝－8x         D、y2＝8x

2、经过点P（4，－2）的抛物线的标准方程为

A、y2＝x或x2＝－8y             B、y2＝x或y2＝8x

C、y2＝－8x                          D、x2＝－8y

3、抛物线x2＝4ay的准线方程为

A、x＝－a      B、x＝a        C、y＝－a            D、y＝a

4、焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程为

A、x2＝16y或y2＝16x             B、y2＝16x或x2＝12y

C、y2＝16x或x2＝－12y         D、x2＝16y或y2＝－12x

5、已知动点M的坐标满足

，则动点M的轨迹是

A、椭圆              B、双曲线            C、抛物线            D、以上均不对

6、抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是10，则点P的坐标是

A、（±6，9）        B、（9，±6）        C、（9，6）    D、（6，9）

7、已知A、B是抛物线y2＝2px（p>0）上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是

A、x＝9              B、x＝3p              C、x＝

p           D、x＝

p

8、过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1＋x2＝6，则|AB|等于

A、10                B、8                 C、6                 D、4

二、填空题（每题6分，共12分．）

9、动圆M经过点A（3，0）且与直线l：

x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是

           ．

10、已知P（4，－1），F为抛物线y2＝8x的焦点，M为此抛物线上的点，且使|MP|＋|MF|的值最小，则M点坐标是        ．

三、解答题（共48分）

11、（本题满分14分）、若抛物线y2＝2px（p>0）上一点P到准线及对称轴距离分别是10和6，求P点横坐标及抛物线方程．

12、（本题满分16分）、求以点F（1，1）为焦点，以l：

－x＋y－2＝0为准线的抛物线方程．

13、（本题满分18分）、抛物线C：

y2＝4ax（a>0）上动点M，当M到点A（1，0）的距离|MA|最小时，M的位置为M0，若|M0A|<1，求：

（1）a的取值范围；

（2）a变化时，点M0的轨迹方程．

【试题答案】

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

C

C

C

B

C

B

二、填空题

9、y＝12x

10、M（

，0）

三、解答题

11、解：

设P（x，y）

则

………………6′

∴

………………10′

∴P点横坐标为9，抛物线方程为y2＝4x………………14′

12、解：

设抛物线上任一点P（x，y），则由定义得：

 ………………6′

两边平方得：

  2[（x－1）2＋（y－1）2]＝（x－y＋2）2………………12′

展开，整理得：

  x2＋2xy＋y2－8x＝0………………16′

13、解：

（1）设M（x，y）

则|MA|2＝（x－1）2＋y2＝（x－1）2＋4ax＝x2＋2（2a－1）x＋1

       ＝[x＋（2a－1）]2＋4a－4a2（x≥0）………………6′

①当2a－1≥0，a≥

时，x＝0时（|MA|2）min＝1（舍）………………10′

②当2a－1<0，0

时，x＝1－2a时（|MA|2）min＝4a－4a2………………12′

此时，|MA|＝

<1………………13′

∴0

………………14′

（2）设M0（x0，y0）

则x0＝1－2a

又y02＝4ax0………………16′

消去a得：

2y2＋4（x－

）2＝1  x∈（0，1）………………18′