坡度方向角与解直角三角形课时练习.docx

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坡度方向角与解直角三角形课时练习

坡度、方向角与解直角三角形

关键问答

1将方向角转化成三角形内角的方法有哪些？

2坡角和坡度的关系是什么？

1.①如图28—2—30,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时海

轮所在的B处与灯塔P的距离为（

A.40.;2海里B.40_：

3海里

C.80海里D.406海里

2.②如图28—2—31是某拦水坝的横断面示意图，斜坡AB的水平宽度AC的长为12米,

斜面坡度为1:

2，则斜坡AB的长为（）

命题点1方向角在海面上的应用

③

3.如图28—2—32,一渔船在海岛距离为20海里，渔船将险情报告给位于同时，从A处出发的救援船沿南偏西好遇上渔船，那么救援船航行的速度为

A.43米B.6：

5米

C.12,5米D.24米

考向提升训练

[热度：

93%]

A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的

A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰

A.103海里/时B.30海里/时

C.203海里/时D.30.3海里/时

解题突破

3由两个方向角的和及平行线的性质定理可得△ABC各内角的度数，进而求解即可•

4.2018-济宁如图28-2—33,在一笔直的海岸线I上有相距2km的A,B两个观测

站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线I的距离是km.

图28-2-33

5.2017•乌鲁木齐如图28-2—34,—艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口A20海里的B处，它沿着北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B,C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援船的航行速度.（结果取整数.参考数据：

sin37°~0.6,cos37°~0.8,-3~1.732）

6.④如图28—2—35,我国某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向25海里的B

处，该渔政船收到渔政搜救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时40海里的速度航行半小时到达C处，

再向南偏东53°方向航行，同时捕鱼船向正北方向低速航行.若两船航速不变，并且在D

处会合，求C,D两点间的距离和捕鱼船的速度.（结果保留整数.参考数据：

，3~1.7,sin53°

434

~匚，cos53°~二tan53°~~）

553

图28-2-35

解题突破

4通过作辅助线可以把四边形ABC除化成两个直角三角形和一个矩形求解

命题点2方向角在陆地上的应用[热度：

90%]

7.2017•百色如图28—2-36,在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和

谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车

车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车的平均车速是米/秒（）

中山路

图28-2-38

解题突破

5利用方向角、平行线的性质及三角形外角的性质，可得△ABD是等腰三角形•

命题点3坡度在实际问题中的应用[热度：

93%]

10.2018•重庆如图28-2—39,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角/AED=58°,升旗台底部到教

学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1:

0.75，坡长CD=2米.若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（参考数据：

sin58°~0.85,cos58°〜0.53,tan58°~1.6）（）

图28—2—39

A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米

11.2018•重庆如图28—2—40,AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端

B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度（或坡比）为i=1:

0.75、

坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（点代B,C,D,

E均在同一平面内）.在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为（参考数据：

sin24°~0.41,cos24°~0.91,tan24°~0.45）（）

图28—2—40

A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米

12.⑥如图28—2—41,某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm,深为30cm,

为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡

BC的坡度i=1:

5，则AC的长度是cm.

图28—2—41

解题突破

6利用平移可得斜坡BC的高.

13.⑦如图28—2—42,点A,B,C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段ABBC表

示连接缆车站的钢缆，已知A,B,C三点在同一铅直平面内，它们的海拔AA,BB,CC

分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度ii=1:

2，钢缆BC的坡度i2=1：

1,景区因改造缆车线路，需要从A到C沿直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？

图28-2-42

解题突破

7利用A,B,C三点的海拔，可以求出ABBC的竖直高度，进而利用坡度求出其水平宽度，再利用勾股定理求出AC的长度.

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14.⑧如图28-2-43，高36米的楼房AB正对着斜坡CD点E在斜坡CD的中点处，已知斜坡的坡角（即/DCG为30°,ABLBC

（1）若点A,B,C,D,E,G在同一个平面内，从点E处测得楼顶A的仰角a为37°,

楼底B的俯角卩为24°,则点A,E之间的距离是多少米（结果精确到0.1米）?

（2）现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条

新的斜坡DF使新斜坡DF的坡比为,3:

1.某施工队承接了这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建多少米？

（参考数据：

cos37°~0.80,tan37°~0.75,tan24°~0.45,cos24°~0.91）

图28-2-43

解题突破

8对于

（1）可先求出点E到AB的距离，从而求出AE的长度，对于

（2）可先求出EF,DF的长度，再列分式方程求解

详解详析

1.A2.B

3.D［解析］•••/CAB=10°+20°=30°,/CBA=80°—20°=60°,/-ZC=90°.•/AB=20海里，

20

•••AC=AB-cos30°=10.3海里，/•救援船航行的速度为103-烦=303（海里/

时）.

4.3［解析］如图，过点C作CDLAB于点D,

根据题意得：

ZCAD=90°—60°=30°,ZCB=90°—30°=60°,ACB=ZCBD

—ZCAD=30°,/ZCAB=ZACB•/BC=AB=2km.

在Rt△CBD中,CD=BC-sin60°=2乂今=3（km）.

•/EB=BC'cos37

•/EF=AM17.32

•FC=EF—CE^11.32海里，AF=ED=EB+BD«18海里.在Rt△AFC中，

AC=AF+FCf~.182+11.322〜21.26（海里）.

11

20分钟=3小时,21.26--=21.26X3~64（海里/时）.

33

答：

救援船的航行速度约是64海里/时.

6•解：

如图，过点C作CGLAB于点G,过点D作D吐CG于点F.

在Rt△CBG中

1

由题意知/CB@=30°,BC=40X2=20（海里），

1

•••CG=2BC=10海里，BG=BC-cos30°=103~17（海里）.

•••/DFG=ZFGA=ZDAG=90°,

•四边形ADFG是矩形，

DF=AG=AB-B®25-17=8（海里）.

在Rt△CDF中,ZCFD=90°,/DCF=53

•••AD=FG=CG-CF^10-6=4（海里）.

•••渔政船航行时间约为2+10=3（时）,

3

•捕鱼船的速度约为4十5（海里/时）.

答：

CD两点间的距离约为10海里，捕鱼船的速度约为5海里/时.

7.A［解析］过点B作BDLAC于点D贝UBD=200米，ZCB=45°,/ABD=60°.在Rt△BCD中BD=CD=200米，在Rt△ABD中,AD=BD-tam60°=2003米，•AC=CD

+AD=（200+2003）米，•动车的平均速度是（200+2003）-10=20+203=20（1+

3）米/秒.

&（30+10.3）［解析］如图，过点B,C分别作BHLEF,CKLMN垂足分别为H,K,则四边形BHCI是矩形.

设CK=HB=x米.

•••/CKA=90°,/CAK=45°,

•/CAK=ZAC=45°,

•AK=CK=x米，HC=BK=AK-AB=（x—30）米,

•HD=x—30+10=（x—20）米.

在Rt△BHD中,/BHD=90°,/HBD=30°,

oHD刚迪x—20

•tan30=HB即3="—",

解得x=30+103.

•河的宽度为（30+103）米.

9.解：

⑴由题意得/EAD=45°,/FBD=30°,

•••/EAC=ZEADrZDAC45°+15°=60°.

•/AE/IBF//CD

•••/FBC=/EAC=60°,

•••/DB=30°.

又•••/DBC=/DA+/ADB

•••/ADB=15°,

:

丄DAB=/ADB

•BD=AB=2km.

即B,D之间的距离为2km.

•BM=CJ=8米，BC=MJ=1米，DJ=6米，EM=MJ+DJ+DE=竽米.

555

8

AB+-

5

•••1.6~匚药，解得AB-13.1（米）.

"5

11.A［解析］如图，作BMLED交ED的延长线于点MCNLDM于点N

A*21.7（米）.

154

12.210［解析］由题意得斜坡的高为18X3=54（cm），由题意有、解得AC

560十AC

=210（cm）.

13•解：

如图，过点A作AE±CC于点E,交BB于点F,过点B作BDLCC于点D,

则厶AFB△BDC^AEC都是直角三角形，四边形AAB'F,BBCD和BFEDTE是矩

形，

•BF=BB—B'F=BB—AA'=310—110=200（米）,CD=CC—CD=CC—BB'=710—310=400（米）.

•/i1=1:

2,i2=1:

1,

•AF=2BF=400米，BD=CD=400米.

又•••EF=BD=400米，DE=BF=200米，

•AE=AF+EF=800米，CE=CD^DE=600米,•••在Rt△AEC中，AC=aE+CE=1000米.答：

钢缆AC的长度是1000米.

14.解：

（1）如图，过点E作EMLAB于点M

设ME=x米,

•••AM=tana•x米，BM=tan卩•x米.

TAB=36米，••tana•x+tan卩•x=36,

•tan37°x+tan24°x=36,解得x=30,

ME30,

•AE=cos^^而=37-5（米）.

答：

点A,E之间的距离约是37.5米.

⑵如图，延长EF交DG于点N

•/EF//BG•ENLDG

易知GNkBM=tan24°x30~13.5（米），DE=CEEF//BC,•••DNhGN^13.5米.

•••/DC=30°,「./DE=30°,

DN厂,

•EN=tansQ--（13・5x3）米.

•••斜坡DF的坡比为.3:

1,

DN-

•FN=3，•/DFN=60°,

DNJ3,

•/ED=30,FN=tan60-^25x^）米,

•DF=EF=EN-FN^（13.5x米，

•EF+DF=27x2-y^=183（米）.

设施工队原计划平均每天修建y米.

根据题意，得^8〒卫=1需+2,解得y=33,

经检验，y=33是方程的根且符合题意.

答：

施工队原计划平均每天修建33米.

【关键问答】

1直角与方向角的差，直角与方向角的和，方向角的和或差，平行线的性质定理等.

2坡角指的是坡面与水平面的夹角，坡度指的是坡角的正切值，即斜坡的垂直高度与水

平宽度的比.