微分几何22曲面的第一基本形式.docx
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微分几何22曲面的第一基本形式
所以
称为曲面的第一基本形式。
其中
E="‘F=%.〒v‘G=rvrv
称为第一类基本量。
第二节曲面的第一基本形式
2、1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长
1、给出曲面S:
r=r(u,v),曲面曲线(c):
u=u(t),v=v(t),或r=r\u(0(0]=r(0
fdudv
r(0=—取dr=rtldu+rvdv
若s表示弧长有ds1=dr2={rudu+rvdvY
=ru-rudu2+2%・rvdudv+rv-rvdv2
I=Edu2+2Fdudv+Gclv2
2、曲线(C)上两点4(%)(切间的弧长为:
ds,厂】Ifdu^\dudv(dv^\1
s=—dt=JE一+2F+G\一dt
儿dt儿V\dt)dtdt\dt)
3、用显函数样z=Z(xfy)表示的曲面的第一基本形式
r={x,y,z{x,y)}
dzdz
q=
dxdy
E=rx•片=l+p)F=&•片=pq.G=ry•人=l+q2I=(1+p2)dx2+2pqdxdy+(1+q2)dy2
4、第一基本形式是正定的。
事实上,E=r^ru=r^>^G=r^>^EG-F2=ry^-{rirrvy>^也可从1=直接得到。
例题1:
求球面的第一基本形式
I=ds2=du1+(/+a2)dv2
2、2曲面上两方向的交角
1、把两个向量dr=rudu+rvdv和3r=ru8u+rv6v间的交角称为方向(du:
dv)和(况:
况)间的角。
2、设两方向的夹角为0,则
COS0=
dr・dr(rudu+rvdv){ruda+rvdv)|凋|昂yldr2J务2
Eclu8u+F{dudv+Sudv)+Gdvdv
^Edu2+2Fdudv+Gdv2^Edu2+2F8udv+G3v2
3、特别
(1)(d)丄(》)<=>Edudu+F{dudv+6udv)+Gdvdv=0
⑵对于坐标曲线的交角,有
COS0=
dr-3r
dr5r
F
4eg
故坐标曲线正交的充要条件为F=0o
设有两曲Adu+Bdv=0,C{u,v)3u+D{u.v}dv=0
如果它们正交,贝IIEdudu+F{dudv+dudv)+Gdvdv=0或£+尸(型+色)+6色色=0du6adu3u
acAC
即^-F(-+-)+G--=O
若另给出一簇曲线Adu+Bdv=O9
则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线,它的微分方程
是£+F(--+—)+G(--)—=0
BduBdu
dvBE-AFduBF-AG
2、4曲面域的面积
G—F2dudv
D
cr=jjjcr=Jj\ruxrv\ludv=jjVE
DD
其中D为相对应的^,v平面上的区域,
(兀")2=尸卍—(兀•兀)2=EG—戸>0
定义:
仅由第一基本形式出发所建立的几何性质(量)称为曲面的内在性质(量)或内蕴性质(量)。
如曲面上曲线的弧长,曲面上两方向的交角,曲面域的面积。
1)曲面S到S]的变换
给定两曲面:
s:
r=r(w,v)S1:
斤=斤(岡,岭)
如果其对应点的参数之间存在对应关系:
ux-,Vi=
其中坷(仏卩),儿(仏V)连续,有连续的偏导数,且
0(%1,儿)
这种一一对应关系称为曲面S到S]的变换。
由于S1:
斤=rx(Wj,Vi)=A](Wj(w,v),Vj(w,v))=rx(w,v)
这样两个曲面在对应点就有相同的参数。
并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数。
2)等距变换:
曲面间的一个变换,如果保持曲面上任意曲线的长度不变,则这个变换称为等距变换(保长变换)。
2、6保角变换(共形变换)
1)定义:
两曲面之间的一个变换,如果保持曲面上曲线的交
角相等,则这个变换称为保角变换(保形变换)
2)定理:
两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们
的第一基本形式成比例。
证明:
设取相同的参数时两个第一基本形式为1,1]。
必要性:
设曲面间的变换是保角变换,因此正交性不变,由正
交条件Edudu+F{dudv+3udv)+Gdvdv=0
得E^dudu+F、{dudv+6udv)+Gxdvdv=0
消去矶况得Edu+Fdv_Fdu+Gdv
Exdu+FxdvFxclu+Gxdv
FGEF
由du.dv的任意性,在也/=0时有_=_,加=0时有—
因此A=£=£
耳片G、
充分性由于第一基本形式成比例,得
E=22E1,F=22^,G=22G1
代入交角公式知对应曲线的交角相等。
特别:
等距变换是它的特例。
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