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24抛物线
2.4抛物线
一教学设想
12.31抛物线及标准方程
(1)教具的准备
问题1:
同学们对抛物线已有了哪些认识?
在物理中,抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中,抛物线是二次函数的图象?
问题2:
在二次函数中研究的抛物线有什么特征?
在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形.引导学生进一步思考:
如果抛物线的对称轴不平行于y轴,那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今天,我们突破函数研究中这个限制,从更一般意义上来研究抛物线.
通过提问来激发学生的探究欲望,首先研究抛物线的定义,教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示,再由学生归纳出抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0).下面,我们来求抛物线的方程.怎样选择直角坐标系,才能使所得的方程取较简单的形式呢?
让学生议论一下,教师巡视,启发辅导,最后简单小结建立直角坐标系的方案
方案1:
(由第一组同学完成,请一优等生演板.)以l为y轴,过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30).设定点F(p,0),动点M的坐标为(x,y),过M作MD⊥y轴于D,抛物线的集合为:
p={M||MF|=|MD|}.
化简后得:
y2=2px-p2(p>0).
方案2:
(由第二组同学完成,请一优等生演板)
以定点F为原点,平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31).设动点M的坐标为(x,y),且设直线l的方程为x=-p,定点F(0,0),过M作MD⊥l于D,抛物线的集合为:
p={M||MF|=|MD|}.
化简得:
y2=2px+p2(p>0).
方案3:
(由第三、四组同学完成,请一优等生演板.)
取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(图2-32).
抛物线上的点M(x,y)到l的距离为d,抛物线是集合p={M||MF|=d}.
化简后得:
y2=2px(p>0).
(3)例题讲解与引申
教材中选取了2个例题,例1是让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。
例2是应用方面的问题,关键是由题意设出抛物线的方程即可。
22。
32抛物线的几何性质
(1)抛物线的几何性质
下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程y2=2px(p>0)出发来研究它的几何性质.
(二)几何性质
怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质?
以y2=2px(p>0)为例,用小黑板给出下表,请学生对比、研究和填写.
(2)例题的讲解与引申
例3有2种解法;解法一运用了抛物线的重要性质:
抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离.可得焦半径公式设P(x0,
这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到,因此必须熟练掌握.
(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式:
设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦),若A(x1,y1)、B(x2,y2)则有|AB|=x1+x2+p.特别地:
当AB⊥x轴,抛物线的通径|AB|=2p
例4涉及直线与圆锥曲线相交时,常把直线与圆锥曲线方程联立,消去一个变量,得到关于另一变量的一元二次方程,然后用韦达定理求解,这是解决这类问题的一种常用方法.
附教学教案
2.4.1抛物线及标准方程
知识与技能目标
使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程.
要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.
过程与方法目标
情感,态度与价值观目标
(1)培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
(2)培养学生观察,实验,探究与交流的数学活动能力。
能力目标:
(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养;
(2)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题;
(3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力
(1)复习与引入过程
回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹,当0<e<1时是椭圆,当e>1时是双曲线,那么当e=1时,它又是什么曲线?
2.简单实验
如图2-29,把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上,一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A,截取绳子的长等于A到直线l的距离AC,并且把绳子另一端固定在图板上的一点F;用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺左右滑动,这样铅笔就描出一条曲线,这条曲线叫做抛物线.反复演示后,请同学们来归纳抛物线的定义,教师总结.
(3)新课讲授过程
(i)由上面的探究过程得出抛物线的定义
《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
(ii)抛物线标准方程的推导过程
引导学生分析出:
方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个方程不仅具有较简的形式,而方程中的系数有明确的几何意义:
一次项系数是焦点到准线距离的2倍.
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况,抛物线的标准方程有四种情形(列表如下):
将上表画在小黑板上,讲解时出示小黑板,并讲清为什么会出现四种不同的情形,四种情形中P>0;并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即:
当对称轴为x轴时,方程等号右端为±2px,相应地左端为y2;当对称轴为y轴时,方程等号的右端为±2py,相应地左端为x2.同时注意:
当焦点在正半轴上时,取正号;当焦点在负半轴上时,取负号.
(iii)例题讲解与引申
例1已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程
已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程
解因为p=3,所以抛物线的焦点坐标是(3/2,0)准线方程是x=-3/2
因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且p/2=2,p=4,所以抛物线的标准方程是x2=-8y
例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。
卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线,经反射聚焦到焦点处。
已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m,求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解;设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)。
有已知条件可得,点A的坐标是(0.5,2.4)代入方程,得2.4=2p*0.5即=5.76
所以,抛物线的标准方程是y2=11.52x,焦点坐标是(2.88,0)
练习:
第72页1、2、3、
作业:
第78页1、2、3、4、
2.4.2抛物线的几何性质
知识与技能目标
使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质.
从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能力
过程与方法目标
复习与引入过程
1.抛物线的定义是什么?
请一同学回答.应为:
“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.”
2.抛物线的标准方程是什么?
再请一同学回答.应为:
抛物线的标准方程是y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0)和x2=-2py(p>0).
下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程y2=2px(p>0)出发来研究它的几何性质.《板书》抛物线的几何性质
(2)新课讲授过程
(i)抛物线的几何性质
通过和椭圆、双曲线的几何性质相比,抛物线的几何性质有什么特点?
学生和教师共同小结:
(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线.
(2)抛物线只有一条对称轴,这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合,抛物线没有中心.
(3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点.
(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义,并和抛物线的定义作比较.其结果是应规定抛物线的离心率为1.注意:
这样不仅引入了抛物线离心率的概念,而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了
(ii)例题讲解与引申
.例题3已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.
解法一:
由焦半径关系,设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则准线方
因为抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离
得p=4.
因此,所求抛物线方程为y2=-8x.
又点M(-3,m)在此抛物线上,故m2=-8(-3).
解法二:
由题设列两个方程,可求得p和m.由学生演板.由题意
在抛物线上且|MF|=5,故
例4 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点,且A(x1,y1)、B(x2,y2)(图2-34).
证明:
(1)当AB与x轴不垂直时,设AB方程为:
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标,则有y1y2=-p2.
或y1=-p,y2=p,故y1y2=-p2.
综合上述有y1y2=-p2
又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上的两点,
练习:
第78页:
1、2、3、4、
作业:
5、6、7
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