三角形解题技巧及例题.docx
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三角形解题技巧及例题
三角形解题技巧及例题
三角形解题口诀及例题
角平分线四连线,边垂折叠全等现.
垂线要把三线连,平行等腰来构建.
垂直平分若出现,线上一点两相连.
六十三十四十五,等边直角作三角.
要证线段倍与半,延长缩短与直角.
两线之和等一线,截长补短试试看.
线段和差比大小,三角形中来相见.
三角形中有中线,延长中线等中线.
中点若与中点见,两点相连中位线
边垂作全等
1.在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,所示,E、F分别是AB、AC上的点,且∠EDF+∠BAC=180°,求证:
DE=DF.
证明:
作DM⊥AB于点M,作DN⊥AC于点N,如右图所示,
则∠EMD=∠FND=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴DM=DN,
∵∠EDF+∠BAC=180°,
∴∠AED+∠AFD=180°,
又∵∠DFN+∠AFD=180°,
∴∠DEM=∠DFN,
在△EMD和△FND中,
,
∴△EMD≌△FND(AAS),
∴DE=DF.
2.在△ABC中,AD为△ABC的角平分线.如图,∠C≠90°,如果∠C=2∠B,求证:
AB=AC+CD.
折叠作全等
解:
在AB上截取AE=AC,连接DE,
∵AD为△ABC的角平分线,
∴∠CAD=∠EAD,
在在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD(SAS),
∴∠C=∠AED,CD=ED,
∵∠C=2∠B,
∴∠AED=2∠B,
∵∠AED=∠B+∠EDB,
∴∠B=∠EDB,
∴ED=EB,
∴EB=CD,
∵AB=AE+EB,
∴AB=AC+CD.
3.如图,点O是△ABC边AC上的一个动点,过O点作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.求证:
OE=OF;
证明:
∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,
角平分线与平行于角一边的线构造等腰三角形
∴∠2=∠5,∠4=∠6,
∵MN∥BC,
∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,FO=CO,
∴OE=OF;
4.如图,在△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于点E,且AE=BD,求证:
BD是∠ABC的角平分线.
垂直于角平分线,构造三线合一
证明:
延长AE、BC交于点F.
∵AE⊥BE,
∴∠BEF=90°,又∠ACF=∠ACB=90°,
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°,
∴∠DBC=∠FAC,
在△ACF和△BCD中,
∴△ACF≌△BCD(ASA),
∴AF=BD.
又AE=BD,
∴AE=AF=EF,即点E是AF的中点.
∵BE⊥AF
∴DE是AF的垂直平分线
∴AB=BF,
根据等腰三角形三线合一的性质可知:
BD是∠ABC的角平分线.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AB,AC于点D,E.
求证:
AE=2CE;
有中垂线即向两端连线
证明:
连接BE.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A=30°,
∵∠C=90°,
∴∠ABC=90°﹣30°=60°,
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°,
在Rt△BCE中,BE=2CE,
∴AE=2CE;
6.如图,已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,对角线AC=8,求菱形ABCD的周长和面积.
60°角找等边三角形
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=8.
∴菱形ABCD的周长=4×8=32,
∵BO==4,
∴BD=2BO=8,
∴菱形ABCD的面积=×8×=32.
7.如图,△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AC=10,求边AB的长.
60°角找直角三角形,45°角构造直角
解:
作AD⊥BC于点D,
在Rt△ADC中,∠C=60°,
∴∠CAD=30°,
∴CD=AC=5,
∴AD==5,
在Rt△ADB中,∠B=45°,
∴BD=AD=5,
由勾股定理得,AB===5.
30°角找直角三角形
8.如图,四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD的长.
解:
延长AD、BC交于E,
∵∠A=30°,∠B=90°,
∴∠E=60°,
∵∠ADC=120°,
∴∠EDC=60°,
∴△EDC是等边三角形,
设CD=CE=DE=x,
∵AD=4,BC=1,
∴2(1+x)=x+4,
解得;x=2,
∴CD=2.
9.如图,△ABC中,AB=AC=2,∠B=15°,求等腰△ABC腰上高的值.
15°角构造30°找直角三角形
解:
作BD⊥AC交CA的延长线于D,
∵AB=AC,∠B=15°,
∴∠C=∠B=15°,
∴∠DAB=∠C+∠B=30°,
∴BD=AB=1.
10.已知,如图,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线.求证:
BD=2CD;
线段倍与半构造直角三角形
解:
如图,过D作DE⊥AB于E,
∵∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,
∴DE=CD,
又∵∠B=30°,
∴Rt△BDE中,DE=BD,
∴BD=2DE=2CD;
11.已知:
如图,AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD,求证:
AE=AC.
证明:
延长AE至F,使EF=AE,连接DF.
∵AE是△ABD的中线,
线段倍与半延长缩短
∴BE=DE.
∵∠AEB=∠FED,
∴△ABE≌△FDE(SAS).
∴∠B=∠BDF,AB=DF.
∵BA=BD,
∴∠BAD=∠BDA,BD=DF.
∵∠ADF=∠BDA+∠BDF,∠ADC=∠BAD+∠B,
∴∠ADF=∠ADC.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
∴DF=CD.
∴△ADF≌△ADC(SAS).
∴AC=AF=2AE,即AE=AC.
12.如图,在△ABC中,AB>BC,BD是高,P是BD上任意一点,求证:
PA﹣PC<AD﹣CD.
证明:
在AD上取一点E,使得DE=CD,
线段和差比大小,构造三角形
∴AD﹣CD=AD﹣DE=AE,
∵BD⊥AC,
∴PD⊥CE,
∵DE=CD,
∴PE=PC,
∵PA﹣PE<AE,
故PA﹣PC<AD﹣CD.
13.如图,DC∥AB,∠BAD和∠ADC的角平分线相交于E,过E的直线分别交DC,AB于CB两点.求证:
AD=AB+DC
两线之和等一线,截长补短
证明:
在AD上截取AF=AB,连接EF,如图所示:
在△ABE和△AFE中,,
∴△ABE≌△AFE(SAS),
∴∠AFE=∠B,
∵AB∥DC,
∴∠B+∠C=180°,
∵∠AFE+∠DFE=180°,
∴∠DFE=∠C,
在△DEF和△DEC中,,
∴△DEF≌△DEC(AAS),
∴DF=DC,
∴AB+DC=AF+DF=AD,
即AD=AB+DC.
14.已知:
如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.
求证:
AB=CD.
中线倍长
证明:
延长DE到F,使EF=DE,连接BF,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
∵在△BEF和△CED中
,
∴△BEF≌△CED.
∴∠F=∠CDE,BF=CD.
∵∠BAE=∠CDE,
∴∠BAE=∠F.
∴AB=BF,
又∵BF=CD,
∴AB=CD.
15.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,F是BC延长线上的一点,且CF=BC.试猜想DE与CF有怎样的数量关系,并说明理由.
中位线
解:
DE=CF,
理由如下:
∵点D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE=BC,
∵CF=BC,
∴DE=CF.
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