B.bC.cva
D.avc
解析:
根据条件先判断函数的单调性,结合对数的运算性质进行化简即可
.当xC[0,+8)时,f'(x)<0,
当xC[0,+8)时,函数f(x)单调递减,
-'f(x)是定义在R上的奇函数,,函数在(-00,+°°)上单调递减,
•1••
afln—fln2fln2,2
111p11
In-->ln-1,又In—<0,
eeeee
一1101
则11,0vln2v1,ee
则1ee
一11
则fIn-=>fIn2>fe,ee
即cva答案:
C
11.函数f(x)=2sin(cox+(H(co>0)的图象过点(一,2),相邻两个对称中心的距离是
则下列说法不正确的是()
,一,…一,2
A.f(x)的最小正周期为—
3
B.f(x)的一条对称轴为x=—
9
C.f(x)的图象向左平移,个单位所得图象关于y轴对称
D.f(x)在[—,―]上是减函数
解析:
求出函数f(x)的解析式,再判断选项中的命题是否正确即可^
函数f(x)=2sin(3x+4)图象相邻两个对称中心的距离是一,
3
.T一22一
一一一,••T——,斛得④=3;
233
又f(x)的图象过点(6,2),
•.2sin(—3+$)=2,
••——2k,keZ;
92
解得4=—+2kTt,kCZ;
6
令k=0,得())=—,
6
f(x)=2sin(3x+一);
,f(x)的最小正周期为T=2_,A正确;
3
.44……
f——2sin3——一2为最小值,
996
4
•.f(x)的一条对称轴为x=2_,B正确;
9
f(x)的图象向左平移一个单位,
9
得函数y2sin3x——2sin3x_2cos3x
962'
其图象关于y轴对称,C正确;
xe[6,6]时’3xe[—,、],
.•・3x+_C[_]时,
・•.f(x)=2sin(3x+—)在[—,―]上是增函数,D错误.
答案:
D
12.已知函数fx
x21,2x1
1,若关于x的方程f(x)-ax=0
x-4,1有两个解,则实数
a的取值范围是()
A.(0,—]U[
25
B.(0,2)三
25
-2)
-2]
C.(-巴
D.(-8,
5)U[—,+8)U{0,-2}
225
5)U[—,+°°)
225
解析:
分别作出函数y=f(x)和y=ax的图象,利用方程有两个解,利用数形结合即可得到结
论.
设函数y=f(x)和y=ax,作出函数f(x)的图象如图:
要使方程f(x)-ax=0有2两个解,
即函数y=f(x)和y=ax有2个不同的交点,
•・f(-2)=5,f(5)=|5+1-4|=6,55
当y=ax经过点(5,6)时,此时a=—,525
,'一一,一,5
当过点(-2,5)时,此时a=一,
2
当直线y=ax与y=x2+1相切时,
7=2x,设切点为(x0,y0),-2A21o
———2x0,x0
解得x0=-1,
当x0=-1,此时a=-2,
结合图象,综上所述a的取值范围为[5,-2)U(0,—].
225
答案:
A
二、填空题(本题有4标题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
3
13.2x1dx
0
解析:
根据定积分的运算,即可求得答案.
323
2x1dxxx936.
00
答案:
6
14.一个圆柱的轴截面是正方形,在圆柱内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均
相切.记球O的体积为V1,圆柱内除了球之外的几何体体积记为V则V1的值为——
V2
解析:
设圆柱的底面半径为r,
则圆柱的高为2r,球。
的半径为
「•球O的体积Vi=4兀r3,3
圆柱内除了球之外的几何体体积:
V2=tir2x2r--%r3=—兀r3,
33
43
.・乂112.
V22r3
3
答案:
2
15.若f(x)=exlna+e-xlnb为奇函数,则—2的最小值为^
ab
解析:
由奇函数的性质可得f(0)=0,即有对数的运算性质可得ab=1,再由基本不等式,即
可得到所求最小值.
f(x)=exlna+e-xlnb为奇函数,
可得f(0)=0,
即有e°lna+e01nb=0,
即有1n(ab)=0,
可得ab=1(a>0,b>0),
则122户2衣,ab,ab
当且仅当b=2a=、.2时,等号成立,
则12的最小值为222.ab
答案:
22
16.已知抛物线C:
y2=4x,过其焦点F作一条斜率大于0的直线1,1与抛物线交于MN两
点,且|MF|二3|NF|,则直线1的斜率为——
解析:
方法一:
由抛物线的定义:
|NF|=|DH|=x,|MF|=|CM|=3x,根据相似三角形的性质,
即可求得直线MN的倾斜角为60°,即可求得直线1的斜率.
抛物线C:
y2=4x,焦点F(1,0),准线为x=-1,
分别过M和N作准线的垂线,垂足分别为C和D,
过NHLCM垂足为H,
设|NF|=x,则|MF|=3x,
由抛物线的定义可知:
|NF|=|DN|=x,|MF|=|CM|=3x,
•.|HM|=2x,由|MN|=4x,
・•./HMF=60,则直线MN的倾斜角为60°,
贝U直线l的斜率k=tan60°=J3.
方法二:
设直线MN的方程y=k(x-1),代入抛物线方程,利用韦达定理及向量的坐标运算,
即可求得k的值.
抛物线C:
y2=4x,焦点F(1,0),
准线为x=-1,
设直线MN勺斜率为k,则直线MN的方程y=k(x-1)
2.
y4x
设M(xi,yi),N(x2,y2),,
2
2k22
xix2=1,k2
ykx1
整理得:
k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则x1x
uuuuuu
由|MF|二3|NF|,MF3FN,即(1-xi,-yi)=3(x2-1,y2),
xi+3x2=4,整理得:
3x2-4x2+1=0,解得:
x'1,或x2=1(舍去),
3
则xi=3,解得:
k=±J3,
由k>0,则k=73.
方法三:
设直线MN的方程x=mx+1,代入抛物线方程,利用韦达定理及向量的坐标运算即可
求得m的值,则直线l的斜率为1.
m
抛物线C:
y2=4x,焦点F(1,0),准线为x=-1,
设直线MN勺方程x=mx+1,设M(xi,yi),N(x2,y2),y2-4my-4=0,贝Uyi+y2=4m,yiy2=-4,
uuu
3FN,即(1-x1,-y1)=3(x2-1,y2),-y1=3y2,即y1=-3y2,解得:
4m"则mj33
・•・直线l的斜率为J3.
答案:
..3三、解答题(本大题共6小题,共70分,第17~21题为必考题,每小题12分,第22、23
题为选考题,有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.设函数y=f(x)的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移一个单位得到
12
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解析:
(1)通过函数的图象的变换,求出函数的解析式,然后求解函数的周期以及函数的单调区间.
答案:
⑴y=2sin2x+1的图象向左平移一个单位得到y=2sin(2x+—)+1的图象,
即f(x)=2sin(2x+—)+1.
函数最小正周期丁二兀.
令一2k2x——2k(kCZ),
262
3一--
则——2k2x—2k(kCZ),
43
解得一kx—k(keZ),
36
所以y=f(x)的单调增区间是[-k,-k](keZ).
(2)在^ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(A)=2,b=1,4abc=J3,求a的值.
解析:
(2)利用已知条件求出A,然后利用图象定理,以及三角形的面积求解a即可.
答案:
(2)由题意得:
f(A)=2sin(2A+—)+1=2,则有sin(2A+—)=1.
662
一,一,5
因为OvAvtt,所以2A—―,A=-.
663
1一一一一一一
由SVABC-bcsinAJ3及b=1得,c=4.2
根据余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA=1+16-2xiX4xJ_=13,
2
所以a=.13.
1o5
18.已知数列{an}的前n项和为点(n,Sn)在曲线y_x2_x上,数列{bn}满足
22
bn+bn+2=2bn+1,b4=11,{bn}的前5项和为45.
(1)求{an},{bn}的通项公式.
解析:
(1)利用已知条件求出{an}的通项公式,判断数列是等差数列求解{bn}的通项公式
一.一1c5
答案:
(1)由已知得:
Sn-n2—n,
22
当n=1时,a1s153,22
125125
当n>2时,ansnsn1-n2-n-n1-n1n2,
2222
当n=1时,符合上式.
所以an=n+2.
因为数列{bn}满足bn+bn+2=2bn+1,所以{bn}为等差数列.设其公差为d.
所以bn=2n+3.
(2)设cn
1k
数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>—恒成立的最2an32bn854
大正整数k的值.
解析:
(2)化简数列的通项公式,利用裂项相消法求解数列的和即可
答案:
(2)由⑴得,
所以{Tn}是递增数列.
〜,1
所以Tn>T1=-,
6
k1k
故Tn>恒成立只要T1—>恒成立.
54654
所以kv9,最大正整数k的值为8.
19.已知四棱锥
P-ABCD的底面ABC的正方形,PL底面ABCDSPA=AB=2.E为PA的中点.
(1)求证:
PC//面BDE.
解析:
(1)连接CA交BD于O,连接OE证明0日/PC,即可推出PC//面BDE.
答案:
(1)连接CA交BD于0,连接0E
因为ABC的正方形且AC,BD为对角线,所以0为CA的中点,
又E为PA的中点,
故0£为4PAC的中位线,
所以0E//PC
而0E面BDEPC/面BDE
故PC//面BDE.
(2)求直线DE与平面PBC所成角的余弦值.
解析:
(2)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
r
求出平面PBC的法向量n=(x,v,z),设直线de与平面PBC所成角为九利用向量的数量
积求解即可.
答案:
(2)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
0,2),
则B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),E(0,0,1),P(0,
ruir
rngBP
设平面PBC的法向里n=(x,y,z),则ruuungBC
r
令z=1,则法向量n=(1,0,1),
设直线
DE与平面PBC所成角为0,
贝Usin
ruuucos:
:
n,DE
ruuungDE
叵,
10
故直线
DE与平面PBC所成角的余弦值3-10
10
2
x
20.已知椭圆C:
-2
a
2
。
1(a>b>0),其焦距为2,离心率为
b2
2
2
(1)求椭圆C的方程.
解析:
(1)
由2c=2,可得c=1,由*Y2,可得a=J2,从而b2=a2-c2=1,即可求出椭圆方
a2
程.
答案:
(1)因为椭圆焦距为
从而b2=a2-c2=1,
2,即2c=2,所以c=1,-
a
2
所以,椭圆的方程为—y21.
2
uuuuuu
(2)设椭圆的右焦点为F,K为x轴上一点,满足OK2OF,过点K作斜率不为0的直线
l交椭圆于P,Q两点,求^FPQ面积S的最大值.
解析:
(2)设直线MN的方程为y=k(x-2)(kW0).代入椭圆方程得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.设
M(x1,yO,N(x2,y#,由判别式4>0解得k范围.利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出.
uuu
uuu
答案:
(2)椭圆右焦点F(1,0),由OK2OF可知K(2,0),
直线l过点K(2,0),设直线l的方程为y=k(x-2),kw0,将直线方程与椭圆方程联立得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
由判别式4二(-8k2)2-4(2k2+1)(8k2-2)>0解得k2<1.
2
令t=1+2k:
贝U1S取得最大值.
S取得最大值
(1)分离参数,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围
lnx1
答案:
由题息知,1-ax+lnxW0恒成立.变形得:
a
x
lnx1
贝Ua>h(x)
max.
x
呼可知,h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,
x
h(x)在x=1处取得最大值,且h(x)max=h
(1)=1.所以a>h(x)max=1)
实数a的取值范围是[1,+8).
(2)在⑴中,a取最小值时,设函数g(x)=x(1-f(x))-k(x+2)+2.若函数g(x)在区间[2,8]
2
上恰有两个零点,求实数k的取值范围.
解析:
(2)问题转化为即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[1,8]上恰有两个实数
2
根,再分离参数,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围^
答案:
(2)由⑴可知,a>1,当a=1时,f(x)=1-x+lnx,
g(x)=x(x-lnx)-k(x+2)+2=x2-xlnx-k(x+2)+2,
g(x)在区间[1,8]上恰有两个零点,
2
即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[1,8]上恰有两个实数根.
2
整理方程得,
x2xlnx2
2
x3x2lnx4
2
x2
令())(x)=x2+3x-2lnx-4,xC[1,8],
2
皿2x1x21
则x,x€[-,8],
于是4'(x)>0,())(x)在[1,8]上单调递增.
2
因为。
(1)=0,当xC[1,1)时,2
当xC(1,8]时,0,从而s'(x)>0,s(x)单调递增,
15726ln2、八
因为s8s->0,
210
所以实数k的取值范围是(1,2坦?
].
105
解析:
(3)由⑴可得x-1>lnx,当且仅当x=1时取等号,令x=」,则有1L1ln工,k2k2k2
其中kCN*,k>2,利用放缩裂项,累加求和即可证明.
答案:
(3)证明:
由
(1)可知,当a=1时,有x-1>lnx,
当且仅当x=1时取等号.
111
令x=:
则有,1in,,其中kCN*,k>2.
k2k2k2
11111
整理得:
2lnk1二1一>11——一,
kkak1gkk1k
上面n-1个式子累加得:
21n(2X3X…xn)>n-1-1+1.nCN*且n>2,
n
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分[选彳4-4:
坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,以原点。
为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线G:
x2+y2=1,直线l:
p(cos0-sin0)=4.
(1)将曲线。
上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、J3倍后得到曲线。
,请写出直线I,和曲线。
的直角坐标方程解析:
(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化
答案:
(1)因为I:
P(cos0-sin0)=4,转化为直角坐标方程为:
x-y=4;
设曲线C2上任一点坐标为(x',y'),
2x
3y
所以
22
代入。
方程得:
-工1,
23
22
所以C2的方程为—1.
(2)若直线li经过点P(1,2)且li//l,li与曲线C2交于点MN,求|PM|•|PN|的值.解析:
(2)利用直线哈曲线建立方程组,利用一元二次方程根和系数的关系