考研数学二真题答案.docx
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考研数学二真题答案
2016考研数学二真题答案
【篇一:
2003-2016年考研数学二真题及解析】
t>一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.
1
1.当x?
0时,若ln(1?
2x),(1?
cosx)?
均是比x高阶的无穷小,则?
的可能取值范围是
?
?
()
(a)(2,?
?
)(b)(1,2)(c)(,1)(d)(0,)2.下列曲线有渐近线的是
(a)y?
x?
sinx(b)y?
x2?
sinx(c)y?
x?
sin(d)y?
x?
1212
1x
2
1x
【详解】对于y?
x?
sin,可知x?
?
1
xy1
?
1且lim(y?
x)?
lim?
0,所以有斜渐近线y?
x
x?
?
x?
?
xx
应该选(c)
3.设函数f(x)具有二阶导数,g(x)?
f(0)(1?
x)?
f
(1)x,则在[0,1]上()
(a)当f(x)?
0时,f(x)?
g(x)(b)当f(x)?
0时,f(x)?
g(x)(c)当f?
?
(x)?
0时,f(x)?
g(x)(d)当f?
?
(x)?
0时,f(x)?
g(x)
?
x?
t2?
7,
4.曲线?
上对应于t?
1的点处的曲率半径是()2
?
y?
t?
4t?
1
(A)
(B)(C)(D)550100
5.设函数f(x)?
arctanx,若f(x)?
xf(?
),则x?
0
?
2
x2
?
()
(A)1(B)
121
(C)(D)
332
?
2u
6.设u(x,y)在平面有界闭区域d上连续,在d的内部具有二阶连续偏导数,且满足?
0及
?
x?
y?
2u?
2u
.?
2?
0,则()2
?
x?
y
(a)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上;(b)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部;
(c)u(x,y)的最大值点在区域d的内部,最小值点在区域d的边界上;(d)u(x,y)的最小值点在区域d的内部,最大值点在区域d的边界上.
7.行列式
0a
a0b00b
0cd0c00d
等于
22
(a)(ad?
bc)(b)?
(ad?
bc)(c)a2d2?
b2c2(d)?
a2d2?
b2c2
8.设?
1,?
2,?
3是三维向量,则对任意的常数k,l,向量?
1?
k?
3,?
2?
l?
3线性无关是向量
?
1,?
2,?
3线性无关的
(a)必要而非充分条件(b)充分而非必要条件(c)充分必要条件(d)非充分非必要条件
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
9.
?
1?
?
1
dx?
.
x2?
2x?
5
10.设f(x)为周期为4的可导奇函数,且f(x)?
2(x?
1),x?
0,2,则f(7)?
.11.设z?
z(x,y)是由方程e
2yz
?
?
?
x?
y2?
z?
7
确定的函数,则dz|?
11?
?
.
?
?
4?
22?
12.曲线l的极坐标方程为r?
?
,则l在点(r,?
)?
?
?
?
?
?
?
处的切线方程为.22?
?
13.一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上,若其线密度?
(x)?
?
x2?
2x?
1,则该细棒的质心坐标x?
.
22
14.设二次型f(x1,x2,x3)?
x1?
x2?
2ax1x3?
4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围是.
?
?
三、解答题
15.(本题满分10分)
1
t
?
求极限lim
x?
?
?
x1
(t2(e?
1)?
t)dt1
x2ln(1?
)
x
.
16.(本题满分10分)
已知函数y?
y(x)满足微分方程x?
yy?
1?
y,且y
(2)?
0,求y(x)的极大值和极小值.17.(本题满分10分)
2
2
xsin(?
x2?
y2)
dxdy设平面区域d?
(x,y)|1?
x?
y?
4,x?
0.y?
0.计算?
?
x?
yd
?
22
?
18.(本题满分10分)
?
2z?
2zx2x
设函数f(u)具有二阶连续导数,z?
f(ecosy)满足.若?
?
(4z?
ecosy)e
?
x2?
y2
x
f(0)?
0,f(0)?
0,求f(u)的表达式.
19.(本题满分10分)
设函数f(x),g(x)在区间a.b上连续,且f(x)单调增加,0?
g(x)?
1,证明:
(1)0?
(2)
?
?
?
b
x
a
g(t)dt?
x?
a,x?
?
a,b?
;
f(x)dx?
?
f(x)g(x)dx.
ab
?
a?
?
ag(t)dt
a
20.(本题满分11分)
设函数f(x)?
x
x?
?
0,1?
,定义函数列1?
x
f1(x)?
f(x),f2(x)?
f(f1(x)),?
fn(x)?
f(fn?
1(x)),?
设sn是曲线y?
fn(x),直线x?
1,y?
0所围图形的面积.求极限limnsn.
n?
?
21.(本题满分11分)已知函数f(x,y)满足
?
f
?
2(y?
1),且f(y,y)?
(y?
1)2?
(2?
y)lny,求曲线f(x,y)?
0所?
y
成的图形绕直线y?
?
1旋转所成的旋转体的体积.22.(本题满分11分)
?
1?
23?
4?
?
?
设a?
?
01?
11?
,e为三阶单位矩阵.
?
1203?
?
?
(1)求方程组ax?
0的一个基础解系;
(2)求满足ab?
e的所有矩阵.
23.(本题满分11分)
?
1
?
?
1
证明n阶矩阵?
?
?
?
1?
1?
1?
?
0?
01?
?
?
?
1?
1?
?
0?
02?
与?
相似.?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1?
1?
?
0?
0n?
?
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学
(二)试题
一、选择题:
1?
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求
的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上....
(1)下列反常积分收敛的是()
(a)
?
?
?
2
(b)?
?
?
2
lnx(c)?
?
1
dxdx(d)?
2xxlnx
x2
sint?
?
?
2
xdxxe
(2)函数f?
x?
?
lim(1?
t?
0
x
在(?
?
?
?
)内()
(a)连续(b)有可去间断点(c)有跳跃间断点(d)有无穷间断点
1?
?
xcos,x?
0?
x(?
?
0,?
?
0),若f?
x?
在x?
0处连续则:
()(3)设函数f?
x?
?
?
?
?
0,x?
0
(a)?
?
?
?
0(b)0?
?
?
?
?
1(c)?
?
?
?
2(d)0?
?
?
?
?
2
(4)设函数f(x)在?
?
?
?
?
?
内连续,其中二阶导数f?
?
(x)的图形如图所示,则曲线y?
f(x)的拐
点的个数为()
(a)0(b)1(c)2(d)3
(5)设函数f?
u,v?
满足f?
x?
y,?
?
x2?
y2,则
?
?
(a)
?
y?
?
f
u?
1与v?
1
?
f
u?
1v?
1
依次是()
1111,0(b)0,(c)?
0(d)0,?
2222
4xy?
1与直线y?
x,y?
围成的平面区域,(6)设d是第一象限由曲线2xy?
1,函数f?
x,y?
在d上连续,则
?
?
f?
x,y?
dxdy?
()
d
?
(a)
?
?
d?
34
1
sin212sin2?
f?
rcos?
rsin?
?
rdr
(b)
?
?
3
4
d?
1sin2?
12sin2?
f?
rcos?
rsin?
?
rdrf?
rcos?
rsin?
?
dr
?
(c)
?
?
d?
?
34
?
(d)
?
d?
34
f?
rcos?
rsin?
?
dr
【篇二:
2016年考研数学二真题与解析】
txt>一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.
1
1.当x?
0时,若ln(1?
2x),(1?
cosx)?
均是比x高阶的无穷小,则?
的可能取值范围是()
(a)(2,?
?
)(b)(1,2)(c)(,1)(d)(0,)
?
?
1212
?
?
?
1?
【详解】ln?
(1?
2x)~2?
x?
,是?
阶无穷小,(1?
cosx)?
~1x?
是阶无穷小,由题意可知?
2
?
?
1?
2?
?
?
1
1
2
2
所以?
的可能取值范围是(1,2),应该选(b).2.下列曲线有渐近线的是
(a)y?
x?
sinx(b)y?
x2?
sinx(c)y?
x?
sin(d)y?
x?
1x
2
1x
【详解】对于y?
x?
sin,可知x?
?
1xy1
?
1且lim(y?
x)?
limsin?
0,所以有斜渐近线y?
x
x?
?
x?
?
xx
应该选(c)
3.设函数f(x)具有二阶导数,g(x)?
f(0)(1?
x)?
f
(1)x,则在[0,1]上()
(a)当f(x)?
0时,f(x)?
g(x)(b)当f(x)?
0时,f(x)?
g(x)(c)当f?
?
(x)?
0时,f(x)?
g(x)(d)当f?
?
(x)?
0时,f(x)?
g(x)【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断.显然
g(x)?
f(0)(1?
x)?
f
(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f
(1))两点的直线方程.故当f?
?
(x)?
0时,曲线是凹
的,也就是f(x)?
g(x),应该选(d)
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话,可令
f(x)?
f(x)?
g(x)?
f(x)?
f(0)(1?
x)?
f
(1)x,则f(0)?
f
(1)?
0,且f(x)?
f(x),故当f?
?
(x)?
0时,曲线是凹的,从而f(x)?
f(0)?
f
(1)?
0,即f(x)?
f(x)?
g(x)?
0,也就是
f(x)?
g(x),应该选(d)
?
x?
t2?
7,
4.曲线?
上对应于t?
1的点处的曲率半径是()2
?
y?
t?
4t?
1
(A)
(B)(C)(D)550100
y(1?
y2)3
2
【详解】曲线在点(x,f(x))处的曲率公式k?
,曲率半径r?
1
.k
22dxdydy2t?
42dy1?
2t,?
2t?
4,所以?
?
1?
,2?
本题中?
?
3,
dtdtdx2tt2tdxt
?
对应于t?
1的点处y?
3,y?
?
1,所以k?
应该选(c)
5.设函数f(x)?
arctanx,若f(x)?
xf(?
),则x?
0
y(1?
y2)3
?
110,曲率半径r?
1
?
10.k
?
2
x
2
?
()
(A)1(B)
211(C)(D)323
【详解】注意
(1)f(x)?
1133
x?
0时,arctanx?
x?
x?
o(x).,
(2)2
31?
x
由于f(x)?
xf(?
).所以可知f(?
)?
1f(x)arctanxx?
arctanx2,,?
?
?
?
xx1?
?
2(arctanx)2
13
x)?
o(x3)
1?
.3x3
x?
0
?
2
x2
?
x?
0
x?
arxtanx
?
x(arctanx)2x?
0
x?
(x?
?
2u
6.设u(x,y)在平面有界闭区域d上连续,在d的内部具有二阶连续偏导数,且满足?
0及
?
x?
y?
2u?
2u
.?
2?
0,则()2
?
x?
y
(a)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上;(b)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部;
(c)u(x,y)的最大值点在区域d的内部,最小值点在区域d的边界上;
(d)u(x,y)的最小值点在区域d的内部,最大值点在区域d的边界上.
【详解】u(x,y)在平面有界闭区域d上连续,所以u(x,y)在d内必然有最大值和最小值.并且如果在
内部存在驻点(x0,y0),也就是,由?
?
0,在这个点处a?
2,c?
2,b?
?
?
x?
y?
x?
y?
y?
x?
x?
y
条件,显然ac?
b?
0,显然u(x,y)不是极值点,当然也不是最值点,所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上.
所以应该选(a).
2
a
7.行列式
0cab000b
等于
cd000d
2
2
2
2
2
2
2
2
(a)(ad?
bc)2(b)?
(ad?
bc)2(c)ad?
bc(d)?
ad?
bc【详解】
0a0cab0
a0ba0b
00babab
?
?
a0d0?
b0c0?
?
ad?
bc?
?
(ad?
bc)2
cd0cdcd
c0dc0d
00d
应该选(b).
8.设?
1,?
2,?
3是三维向量,则对任意的常数k,l,向量?
1?
k?
3,?
2?
l?
3线性无关是向量?
1,?
2,?
3线性无关的
(a)必要而非充分条件(b)充分而非必要条件(c)充分必要条件(d)非充分非必要条件【详解】若向量?
1,?
2,?
3线性无关,则
?
10?
?
?
(?
1?
k?
3,?
2?
l?
3)?
(?
1,?
2,?
3)?
01?
?
(?
1,?
2,?
3)k,对任意的常数k,l,矩阵k的秩都等
?
kl?
?
?
于2,所以向量?
1?
k?
3,?
2?
l?
3一定线性无关.
?
1?
?
0?
?
0?
?
?
?
?
?
?
而当?
1?
?
0?
?
2?
?
1?
?
3?
?
0?
时,对任意的常数k,l,向量?
1?
k?
3,?
2?
l?
3线性无关,但
?
0?
?
0?
?
0?
?
?
?
?
?
?
.?
1,?
2,?
3线性相关;故选择(a)
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
1
dx?
2
x?
2x?
5
11dx1x?
11
dx?
?
|?
?
?
?
?
?
x2?
2x?
5?
?
?
(x?
1)2?
4221
9.
?
1?
?
【详解】
1?
?
?
?
3?
.?
?
(?
)?
?
2?
42?
8
10.设f(x)为周期为4的可导奇函数,且f(x)?
2(x?
1),x?
?
0,2?
,则f(7)?
.【详解】当x?
?
0,2?
时,f(x)?
?
2(x?
1)dx?
x2?
2x?
c,由f(0)?
0可知c?
0,即
f(x)?
x2?
2x;f(x)为周期为4奇函数,故f(7)?
f(?
1)?
f
(1)?
1.
11.设z?
z(x,y)是由方程e
2yz
?
x?
y2?
z?
7
确定的函数,则dz|?
11?
?
.
?
?
4?
22?
【详解】设f(x,y,z)?
e
2yz
71
?
x?
y2?
z?
,fx?
1,fy?
2ze2yz?
2y,fz?
2ye2yz?
1,当x?
y?
42
时,z?
0,
fyf11?
z1?
z1
?
?
x?
?
,?
?
?
?
,所以dz|?
11?
?
?
dx?
dy.
?
?
22?
xfz2?
yfz2?
22?
?
?
?
?
?
处的切线方程为22?
?
12.曲线l的极坐标方程为r?
?
,则l在点(r,?
)?
?
【详解】先把曲线方程化为参数方程?
?
x?
r(?
)cos?
?
?
cos?
?
?
,于是在?
?
处,x?
0,y?
,
22?
y?
r(?
)sin?
?
?
sin?
?
2dysin?
?
?
cos?
2?
?
?
?
|?
?
|?
?
?
,则l在点(r,?
)?
?
?
处的切线方程为y?
?
?
(x?
0),即
2?
dx2cos?
?
?
sin?
2?
?
22?
y?
?
2x?
?
2
?
.
2
13.一根长为1的细棒位于x轴的区间?
0,1?
上,若其线密度?
(x)?
?
x?
2x?
1,则该细棒的质心坐标
x?
11
(?
x?
2x?
x)dx?
11?
00
【详解】质心坐标x?
1.?
1?
?
25
?
0?
(x)dx?
0(?
x?
2x?
1)dx320
1
x?
(x)dx
1
32
22
14.设二次型f(x1,x2,x3)?
x1?
x2?
2ax1x3?
4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围
是.【详解】由配方法可知
2
f(x1,x2,x3)?
x12?
x2?
2ax1x3?
4x2x3
2
?
(x1?
ax3)2?
(x2?
2x3)2?
(4?
a2)x3
由于负惯性指数为1,故必须要求4?
a?
0,所以a的取值范围是?
?
2,2?
.
2
三、解答题
15.(本题满分10分)
?
求极限lim
x?
?
?
x1
(t(e?
1)?
t)dt1
x2ln(1?
)
x
.
2
1t
【分析】.先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极限.【详解】
x?
?
?
?
lim
x1
(t(e?
1)?
t)dtx2ln(1?
1
)x
2
1t
?
?
lim
x?
?
?
x
1
(t(e?
1)?
t)dt
x
2
1
t
?
lim(x2(e?
1)?
x)
x?
?
1x
111?
?
1
?
lim?
x2(?
?
o()?
x?
?
22x?
?
x2xx?
?
2
16.(本题满分10分)
已知函数y?
y(x)满足微分方程x2?
y2y?
1?
y,且y
(2)?
0,求y(x)的极大值和极小值.【详解】
解:
把方程化为标准形式得到(1?
y)
2
dy
?
1?
x2,这是一个可分离变量的一阶微分方程,两边分别积分dx
可得方程通解为:
1312y?
y?
x?
x3?
c,由y
(2)?
0得c?
,333
即
1312
y?
y?
x?
x3?
.333
dy1?
x2d2y?
2x(1?
y2)2?
2y(1?
x2)2令;?
?
0,得x?
?
1,且可知2?
dx1?
y2dx(1?
y2)3
当x?
1时,可解得y?
1,y?
?
1?
0,函数取得极大值y?
1;当x?
?
1时,可解得y?
0,y?
2?
0,函数取得极小值y?
0.17.(本题满分10分)
【篇三:
考研数二历年真题(2016-2003)】
t>一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.
1
1.当x?
0时,若ln?
(1?
2x),(1?
cosx)?
均是比x高阶的无穷小,则?
的可能取值范围
?
是()
(a)(2,?
?
)(b)(1,2)(c)(,1)(d)(0,)2.下列曲线有渐近线的是
(a)y?
x?
sinx(b)y?
x2?
sinx(c)y?
x?
(d)y?
x?
1212
1x
2
1x
3.设函数f(x)具有二阶导数,g(x)?
f(0)(1?
x)?
f
(1)x,则在[0,1]上()
(a)当f(x)?
0时,f(x)?
g(x)(b)当f(x)?
0时,f(x)?
g(x)(c)当f?
?
(x)?
0时,f(x)?
g(x)(d)当f?
?
(x)?
0时,f(x)?
g(x)
?
x?
t2?
7,
4.曲线?
上对应于t?
1的点处的曲率半径是()2
?
y?
t?
4t?
1
(A)
(B)(C)(D)550100
5.设函数f(x)?
arctanx,若f(x)?
xf(?
),则x?
0
?
2
x
2
?
()
(A)1(B)
121
(C)(D)
332
?
2u
6.设u(x,y)在平面有界闭区域d上连续,在d的内部具有二阶连续偏导数,且满足?
0
?
x?
y?
2u?
2u及.?
2?
0,则()2
?
x?
y
(a)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上;(b)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部;
(c)u(x,y)的最大值点在区域d的内部,最小值点在区域d的边界上;(d)u(x,y)的最小值点在区域d的内部,最大值点在区域d的边界上.
7.行列式
0aa0b00b
0cd0c00d
等于
22
(a)(ad?
bc)(b)?
(ad?
bc)(c)ad?
bc(d)?
ad?
bc
22222222
8.设?
1,?
2,?
3是三维向量,则对任意的常数k,l,向量?
1?
k?
3,?
2?
l?
3线性无关是向量
?
1,?
2,?
3线性无关的
(a)必要而非充分条件(b)充分而非必要条件(c)充分必要条件(d)非充分非必要条件
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)9.
?
1?
?
1
dx?
2
x?
2x?
5
10.设f(x)为周期为4的可导奇函数,且f(x)?
2(x?
1),x?
?
0,2?
,则
f(7)?
11.设z?
z(x,y)是由方程e
2yz
?
x?
y2?
z?
7
确定的函数,则dz|?
11?
?
.
?
?
4?
22?
12.曲线l的极坐标方程为r?
?
,则l在点(r,?
)?
?
?
?
?
?
?
处的切线方程为.
22?
?
2
13.一根长为1的细棒位于x轴的区间?
0,1?
上,若其线密度?
(x)?
?
x?
2x?
1,则该细棒的质心坐标x?
.
22
14.设二次型f(x1,x2,x3)?
x1?
x2?
2ax1x3?
4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围
是.三、解答题15.(本题满分10分)
?
求极限lim
x?
?
?
x1
(t(e?
1)?
t)dt1
x2ln(1?
)
x
.
2
1t
16.(本题满分10分)
已知函数y?
y(x)满足微分方程x2?
y2y?
1?
y,且y
(2)?
0,求y(x)的极大值和极小值.17.(本题满分10分)
22
xsin(?
x?
y)22
dxdy设平面区域d?
(x,y)|1?
x?
y?
4,x?
0.y?
0.计算?
?
x?
yd
?
?
18.(本题满分10分)
?
2z?
2z
设函数f(u)具有二阶连续导数,z?
f(ecosy)满足?
2?
(4z?
excosy)e2x.若2
?
x?
y
x
f(0)?
0,f(0)?
0,求f(u)的表达式.
19.(本题满分10分)
设函数f(x),g(x)在区间?
a.b?
上连续,且f(x)单调增加,0?
g(x)?
1,证明:
(1)0?
(2)
?
b
x
a
g(t)dt?
x?
a,x?
?
a,b?
;
f(x)dx?
?
f(x)g(x)dx.
ab
?
a?
?
ag(t)dt
a
20.(本题满分11分)设函数f(x)?
x
x?
?
0,1?
,定义函数列1?
x
f1(x)?
f(x),f2(x)?
f(f1(x)),?
fn(x)?
f(fn?
1(x)),?
设sn是曲线y?
fn(x),直线x?
1,y?
0所围图形的面积.求极限limnsn.
n?
?
21.(本题满分11分)
已知函数f(x,y)满足
?
f
且f(y,y)?
(y?
1)2?
(2?
y)lny,求曲线f(x,y)?
0?
2(y?
1),
?
y
所成的图形绕直线y?
?
1旋转所成的旋转体的体积.22.(本题满分11分)
?
1?
23?
4?
?
?
设a?
?
01?
11?
,e为三阶单位矩阵.
?
1203?
?
?
(1)求方程组ax?
0的一个基础解系;
(2)求满足ab?
e的所有矩阵.
23.(本题满分11分)
?
1
?
?
1
证明n阶矩阵?
?
?
?
1?
1?
1?
?
0?
01?
?
?
?
1?
1?
?
0?
02?
与
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