修订版线性代数习题三答案.docx
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修订版线性代数习题三答案
AVV*
第二早
线性方程组
、温习巩固
X
2x2
X3
X4
0
1.求解齐次线性方程组
3x-i
6x2
X3
3x4
0
5x1
10x2
X3
5x4
0
解:
化系数矩阵为行最简式
1
2
1
1
1
2
0
-1
A3
6
1
3
行变换
0
0
1
0
5
10
1
5
0
0
0
0
因此原方程冋解于
X
2x2
x4
令X2
k1
X4
k2
X30
21
10
xk1
k2
其中
k1,k2
为任意常数。
0
0
0
1
4x-|
2x2
X3
2
2.求解非齐次线性方程组
3x-i
X2
2x3
10
11x13x28
解:
把增广矩阵(A,b)化为阶梯形
4
2
1
2
1
3
3
8
1
3
-3
-8
(A,b)
3
1
2
10
「23
1
2
10
行变换
0
-10
11
34
11
3
0
8
11
3
0
8
0
0
0
-6
因此R(A)2R(代b)3,所以原方程组无解。
3.设(3,2,1,1),(3,1,2,1)。
求向量,使23。
151
解:
一
(2)3,-,0,-
333
4.求向量组1(1,1,2,4)t,2(0,3,1,2)t,3(3,0,7,14)T,4(1,1,2,0)t,
5(2,1,5,6)t的秩和一个极大线性无关组。
解:
将1,5作为列向量构成矩阵,做初等行变换
1
0
3
1
2
1
0
3
1
2
1
0
3
1
2
1
3
0
1
1
0
3
3
0
3
0
1
1
0
1
A
2
1
7
2
5
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
4
2
14
0
6
0
2
2
4
2
0
0
0
4
4
所以向量组的秩为
3,
1,2
曰
4是
」个极大线性无关组。
二、练习提高
1.判断题
⑴初等变换总是把方程组变成同解方程组,这也是消元法的理论基础。
(V)
⑵设A为mn矩阵,Ax0是非齐次线性方程组Axb的导出组,贝U
(a)若Ax0仅有零解,则Axb有唯一解。
()
(b)若Ax0有非零解,则Axb有无穷多解。
()
(c)
若Axb有无穷多解,则Ax0有非零解。
(V)
⑶设A为n阶矩阵,
1,2,3线性表示,则对于任意常数k,必有1,2,3,k12线性相关。
()
⑹设n维列向量组1,2,,s线性相关,A是mn矩阵,则A1,A2,,As线性相关。
(V)
⑺若向量组B能由向量组A线性表示,B和A的秩分别为Rb和Ra,则RbRa。
()
⑻设A为mn矩阵,R(A)rmn,则A的r1阶子式不能为0。
()
⑼设n元齐次线性方程组的一个基础解系为1,2,3,4,则
1,12,123,1234仍为该齐次线性方程组的基础解系。
(V)
⑽集合V{x(X1,X2,,Xn)X1x2Xn0,XiR}是一个向量空间。
()
2.填空题
⑴齐次线性方程组A43X310有非零解的充要条件是_R(A)3_=。
由向量组1(1,3,1,1)T,2(2,
成的向量空间的维数为3。
3.计算题
X1X2X31
⑴取何值时,方程组X1X2X3有唯一解,无解或有无穷多解?
在有无
X1X2X3
穷多解时求解。
解:
对此线性方程组的增广矩阵进行初等行变换可得
11Ml
1'
1
M
BA
b
11M
r1r:
!
1
1
M
11M
11
M
1
1
M
1
1
M
r3r1
0
11
r3r2
0
11
M0
0
112
M2
0
02
M
所以当
0,1时,R(A)
R(B)
3线性方程组有唯一解。
1
1
1
M
1
1
0Ml
若
1
B
Ab
r
0
0
2
M0
r0
0
1
M),
解
为
0
0
2
M0
0
0
0
M0
X1
1
1
X2
C1
1
0;
X3
0
0
1
1
1
M
1
1
0
1
M1
若
1,
B
A
br
0
2
0
M0
r0
1
0
M0,
解
为
0
0
0
M0
0
0
0
M0
X1
1
1
X2
C2
0
0。
X3
1
0
a3,332i线性相关,求a的值
⑵已知!
2,3线性无关,若122,22
解:
由题意知存在不全为0的k1,k2,k3,使得
ki(i22)k2(22a3)ks(3321)0,整理得
(k12k3)1(2k12k2)2(ak23k3)30
k12k30
因为1,2,3线性无关,从而有齐次线性方程组2k12k20
kt)A0
ak23k30
⑶设向量1,2,,
t是齐次方程组Ax
0的一个基础解系,向量
不是方程组
Ax0的解,即A
0。
试证明:
向量组,1,2,,
t线性无关。
解:
设有一组数k,k1,
kt,使得
k
&
(1)kt(
t)0
整理该式得(kk1
kt)k11
ktt0①
由k1,k2,k3不全为0知方程组有非零解,则系数行列式必为0a3
2
用A左乘上式两边,注意A
i
0,故有(kk1
因为A
0
kk1
kt
0②
将②代回①式,
得到
k11
ktt
0,因为
k1
kt
0,
再由②式,
可得k
k1
⑷
已知向量组
1(0,1,
1)T,2
(a,2,1)T,
2
(3,0,1)丁
3(9,6,7)t具有相同的秩,且
解:
对矩阵1,2,3做初等行变换
1
3
9
1
3
9
2
0
6
0
1
2,所以R
3
1
7
0
0
0
又因为R
1,2
3
R1,
2,
3,所以
另一
方面
3可
由1,
2,
3线性表示
1
3b
2
01
0
b
5
3
10
1,,t线性无关,故必有
kt0
3(b,1,0)T与向量组i(1,2,3)t,
1,2,3线性表示,求a,b的值。
2,32,且1,2是一个极大无关组
0
a
b
1
2
1
0
a3b
1
1
0
所以3可由1,2线性表示,即
⑸设4元齐次线性方程组(I)为1
X2
的通解为和0,1,1,0)丁
k2(1,2,2,1)T。
求
程组(I)和
(n)是否有非零公共解?
①I的系数矩阵为
1A
100
R(A)
0
101'
故I的基础解系含有
42
2个解向量,
可取为
②n的通解为X1
k2,X2
k12k2,X3
k1
k2k12k2
0
k2
k1
2k?
k?
0
20,又已知某齐次线性方程组(U)
40
:
①方程组(I)的基础解系;②方
若有则求出所有的非零公共解。
2
(0,0,1,0)和(1,1,0,1)
2k2,X4k2,代入I可得
⑹设有向量组(I)
ki(0,1,1,0)k2(1,2,21)ki(1,1,1,1)
和向量组(n):
1(1,2,a3)t,2(2,1,a6)T,3(2,1,a4)T。
1(1,0,2)t,2(1,1,3)t,3(1,1,a2)t
试问:
当a为何值时,向量组(I)与(n)等价?
当a为何值时,向量组(I)与(n)不等价?
解解对,构成的矩阵做初等行变换,
所以,①当a
1时,R(1,2,3)3
122
另外,
1,2,3
211
60,所以R(1,2,3)3
a3a6a4
故R(1,2,3,
1,
2,3)3R(1,
2,3)R(1,2,3),向量组等价
1111
②当a1时,(1,2,3,1)
X1
X2
X3
0
X1
2x2
ax3
0
X1
4x2
a2x30
x12x2x3a1
对该方程组的增广矩阵做初等行变换,得到
1
0
1
1
a
0
1
0
a
1
B,因方程组有解,故(a1)(a2)0a1或a2
0
0a1
1
a
000(a1)(a2)
1
0
1
0
1
0
1
0
0
,因此公共解为k0,k为任意常数。
0
0
0
0
1
0
0
0
0
当a1时,B
1
0
11
0
0
1
01
a2时,B
,因此公共解为1
0
0
11
1
0
0
00
三、思考与深化
r线性表出,证明表示法唯一的充分必要条件是
如果可以被向量1,2
1,2,,r线性无关。
证明:
略。
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