概率统计知识点汇总.docx
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概率统计知识点汇总
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概率统计知识点汇总
1.分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有mi种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事情,共有N=m+mFm种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有mi种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N=mxmx^xm种不同的方法.
3•两个原理的区别
分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数•它们的区别在于:
分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依
存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.
4.排列与排列数公式
(1)排列与排列数
所有不同、排列的个数
(2)
n!
n—m!
排列数公式
Am=n(n—1)(n—2)…(n—计1)=
⑶排列数的性质
①An=n!
;②0!
=1.
5•组合与组合数公式
(1)
从n个不同元素中取出mmWn个元素
组合与组合数
合成一组闽所有不同>人>
I合I组合的个数
组合数
(2)组合数公式
cm=常
nn—1n—2…n—m+1m!
n!
m!
n—m!
'
(3)组合数的性质
①Cn=1;②cm=Cn;③cm+cm1=cn+1.
6•排列与组合问题的识别方法
识别方法
排列
右交换某两个兀素的位置对结果产生影响,则是排列问题,即排列问题与选取元素顺序有关
组
合
右交换某两个兀素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即组合问题与选取元素
顺序无关
7.二项式定理
⑴定理:
(a+b)n=Cnan+Cnan_1b+•••+Cnan-kbk+…+Cnbn(n€N*).
(2)通项:
第k+1项为:
Tk+1=Cnan"kbk.
(3)二项式系数:
二项展开式中各项的二项式系数为:
cn*=
0,1,2,…,n).
8.二项式系数的性质
/对称性一与首末等距的两个二项式系数相等,即
当y弓时,二项式系数是递增的
增减性一当O号1时,二项式系数是递减的
二项式系数的和
—'
CJ+Cl+-.+C;+^+C:
rf-
CJ+CS+C1+—C1+CJ+C;+-=2-1
的二项式系数最大
当/I为奇数时匚.的二项式系数相等且星大
与聂大值——
.F当伪偶数时,
9•概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数
nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)
=:
为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常
数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小,并把这个常数称为随机事件A的概率,记作P(A).
10•事件的关系与运算
定义
符号表示
如果事件A发牛则事件B
包含
关系
一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B?
A
(或A?
B)
相等
关系
若B?
A且A?
B,那么称
事件A与事件B相等
A=B
并事
件
(和事
件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
AUB
(或A+B)
交事
件
(积事
件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
AHB
(或AB)
互斥
若AAB为不可能事件,则
APB=?
事件
称事件A与事件B互斥
对立
若AAB为不可能事件,AUB为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
AAB=?
;
P(AUB)=
P(A)+P(B)
=1
事件
11.理解事件中常见词语的含义:
(1)A,B中至少有一个发生的事件为AUB;
(2)A,B都发生的事件为AB;
(3)A,B都不发生的事件为AB;
(4)A,B恰有一个发生的事件为ABUAB;
(5)A,B至多一个发生的事件为ABUABUAB.
12.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
0
(2)必然事件的概率:
P(E)=1.
(3)不可能事件的概率:
P(F)=0.
(4)概率的加法公式:
如果事件A与事件B互斥,则P(AUB)=P(A+P(B).
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1—
P(B)•
13•互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.
14•基本事件的特点
(1)任意两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
15.古典概型
(1)定义:
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
①试验中所有可能出现的基本事件只
有有限个.
②每个基本事件出现的可能性相等.
(2)古典概型的概率公式:
P(A)=
A包含的基本事件的个数
基本事件的总数.
16•几何概型
(1)定义:
如果每个事件发生的概率只与构成该
事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
(2)几何概型的概率公式:
P(A)=
构成事件A的区域长度面积或体积
试验的所构成的区域长度面积或体积.
仃.条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用
PAB符号P(BA)来表示,其公式为P(B|A)=pa=nAB
(2)条件概率具有的性质:
1OWP(B|A)<1;
2如果B和C是两个互斥事件,则P(BUC|A)=
P(B|A)+P(C|A).
18.相互独立事件
(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称AB是相互独立事件.
⑵若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),
P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).
⑶若A与B相互独立,则A与6,~A与B,~A与6也都相互独立.
⑷若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.
19.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X,Y,En…表示•所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.
20.离散型随机变量的分布列及其性质
(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为X1,X2,…,Xi,…,Xn,X取每一个值Xi(i=
1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
X
X1
X2
•••
Xi
•••
Xn
P
•••
•••
P1
P2
Pi
Pn
称为离散型随机变量X的概率分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质:
n
1p>0(i=1,2,…,n);②篙p=1.
21.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布:
若随机变量X服从两点分布,则其分布列为
X
0
1
P
1—p
p
其中p=P(X=1)称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X
kn—k
CmCN—M,,r■■
CN
=k)=n,k=0,1,2,•…m,其中m=min{M
n},且n X 0 1 ••• m P 错误! 错误! ••• Ncn—mCmCn-m Cn (3)二项分布 1独立重复试验是指在相同条件下可重复进行 的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 2在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则p(x=k)=Cnpk(i—p)n「k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X〜B(n,p),并称p为成功概率. 22.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X X1 X2 ••• Xi ••• Xn P P1 P2 ••• Pi ••• Pn <1>均值: 称E(X)=Xipi+X2p2FXipiHF Xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平. <2>方差: 称D(X)=艺(Xi—E(X))2pi为随机变量 X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根-DX为随机变量X的标准差. <3>均值与方差的性质 1 (a,b为常数). EaX+b= 2DaX+b=<4>两点分布与二项分布的均值、方差 X X服从两点分布 X〜B(n,p) E(X) p(p为成功概率) np D(X) p(1—p) np(1—p) 23.正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x=[1对称; 1 (3)曲线在x=卩处达到峰值& (4)曲线与x轴之间的面积为1; (5)当b—定时,曲线随着卩的变化而沿x轴平移; (6)当卩一定时,曲线的形状由b确定.b越小, 曲线越"瘦高",表示总体的分布越集中;b越 大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. (7)正态分布的三个常用数据(不需记忆) 1P(a—a 2P(a—2o 3P(a—3o 24.简单随机抽样 (1)定义: 般地,设个总体含有N个个体,从 中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nwN),且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等,就称这样的抽样方法为简单随机抽样. (2)常用方法: 抽签法和随机数表法. 25.系统抽样 (1)步骤: ①先将总体的N个个体编号; 2根据样本容量n,当N是整数时,取分段间隔k N =n; 3在第i段用简单随机抽样确定第一个个体编号 i(i 4按照一定的规则抽取样本. (2)适用
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