专题讲座高中数学统计教学研究.docx

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专题讲座高中数学统计教学研究

专题讲座

高中数学“统计”教学研究

梁丽平人民大学附属中学

一、整体把握“统计”教学内容

（一）统计的起源

统计学的英文词statistics源于拉丁文，是由status（状态、国家）和statista（政治家）衍化而来的，可见统计与国家事务的管理需求有关.

的确，统计起源于古代政府管理，例如统计人口、寿命等一些数字，但最重要的、超出描述性统计范围的成就是高斯和勒让德关于最小二乘法的工作，二人均独立地发现了最小二乘法，并应用于观测数据的误差分析，导致统计思想上的重大进展:

数据是来自服从一定概率分布的总体，而统计学就是用这些可观察到的数据去推断这个分布的未知属性.这个观点强调了推断的地位，使统计学摆脱了单纯描述的性质，是统计的基本的思想.20世纪由于概率论的建立，数理统计才逐步形成一门应用数学学科．

（二）知识结构图

义务教育阶段，学生已经学习了一些简单的统计知识，了解简单的收集、整理、描述和分析数据的方法，已经会用平均数、中位数、众数等样本数据特征和简单的统计图表（如扇形图等）描述数据，高中阶段，将在此基础上进一步学习统计，不仅学习更多的统计知识和方法，更注重体会用样本估计总体及其特征的统计思想，体会统计思维与确定性思维的差异．顺着这条线索，我们可以整理出高中阶段统计学习的知识结构图。

（三）重点、难点分析

统计所涉及的知识位于必修三和选修2-3的相关章节．（对于文科来说，是必修三和选修1-2）.文理对于统计部分的要求相同．统计在教学内容中占有相当大的比重，课程标准中指出：

统计，已成为高中数学的基础知识之一．

而在新的高考考试大纲中也明确指出，高考考查的能力要求包括：

“空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力”以及应用意识和创新意识.

其中，“数据处理能力”是考纲中新增加的内容，怎么考查？

考纲中也明确指出：

主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.

因此，在高中阶段，我们应通过对统计知识的学习，不仅学会收集、整理、分析数据的方法，学会从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出准确的判断；同时也要逐步培养数据意识，学会用数据说话，将统计知识主动运用于实践．这就是统计教学的重点．而统计不同于一般的数学内容，统计思维不同于确定性思维，统计推断有可能犯错，教学中如何把握统计思想，而不是把统计教成画图表、或按照公式计算，则是统计教学的难点．

突破难点，把握重点的关键在于统计教学，应采用案例教学的方式．

二、高中“统计”教与学的策略

（一）从实例出发，帮助学生理解抽样的重要性，掌握三种抽样方法

统计的特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质，因此，样本的选取就非常重要，如果样本不具有代表性，统计推断就必然要犯错误．

下面的例子容易说明抽样的重要性．

1948年：

杜鲁门VS杜威——民意调查落笑柄

1948年的美国总统大选堪称最出人意料的一次，舆论界一致认为必败的杜鲁门，竟以100多张选举人票的优势击败了共和党人托马斯·杜威，蝉联第二任，令许多人大跌眼镜，也令许多美国媒体颜面扫地．

就大选前的形势看，美国历史上恐怕没有哪位在职总统比杜鲁门更不占优势了．作为富兰克林罗斯福的继承者，杜鲁门注定了要生活在伟人的阴影下，加上民主党已连续执政15年，积累了无数社会矛盾，人们对政府怨声载道，舆论认为杜鲁门必定下台．粗略统计，当时预言杜鲁门失败的就有《纽约时报》、《纽约每日镜报》、《芝加哥论坛报》、《生活》周刊、《读者文摘》等多家极富影响力的媒体，以及著名的盖洛普民意测验创始人乔治·盖洛普，《生活》周刊干脆登出杜威的大幅照片，下面标注是“下届美国总统”！

他们为什么这么肯定呢？

也不完全是主观臆断，主要原因是他们从事的民意调查无一例外地倒向了杜威．根据民意测验的结果，盖洛普最后一次的预测是，杜威将赢得49%的普选票，杜鲁门只能赢得44%．而事实上，1948年大选的最后统计结果是：

民主党候选人杜鲁门获得49.5%的普选票，305张选举人票；共和党候选人、纽约州州长杜威获得45.1%的普选票，187张选举人票；这个结果与盖洛普民意测验的结果正好相反，这也是历次盖洛普民意测验的最大误差——几乎整整5个百分点．

当杜鲁门赢得这次选举，手持印有“杜威战胜杜鲁门”大幅标题的《芝加哥论坛报》回到华盛顿时，受到75万人的热烈欢迎，而新闻界则沦为全国的笑柄．

美国媒体在事后总结教训时认为，民意测验的失误主要是忽略了普通民众的看法．这些调查大都采用电话问询的方式进行，在1948年的美国，电话还是个新鲜玩艺儿，远没有在消费者中得到普及，装有电话的大都是富裕的上流人士．这些人并不能代表美国广大的普通民众．

也就是说：

样本不具有代表性．那么样本应该如何选取呢？

这样的例子容易引发同学的兴趣，就此引入抽样方法．

在中学阶段，我们主要学习三种抽样方法：

1.简单随机抽样（抽签法、随机数表法）

2.系统抽样

3.分层抽样

可以通过一些例子，说明三种抽样方法的特点及适用范围，并通过比较，分析三种抽样方法的异同．

类别

共同点

各自特点

联系

适用范围

简单随机抽样

（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等

（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样

从总体中逐个抽取

总体个数较少

系统抽样

将总体均分成几部分，按预先制定的规则在各部分抽取

在起始部分抽样时采用简单随机抽样

总体个数较多

分层抽样

将总体分成几层，分层进行抽取

分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

总体由差异明显的几部分组成

在学习三种抽样方法之后，再通过一些简单的实例让同学去判断和选择方法．

简单的实例如下：

例1要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行试验

随机数表法

例2某校高中三年级的2950名学生已经编号为1，2，……，2950，为了了解学生的学习情况，要按1：

5的比例抽取一个样本.

系统抽样

例3一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家，为掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本.

前两个例子中，总体没有呈现明显的差异，用简单随机抽样（随机数表法）或系统抽样均可．而第三个例子，必须用分层抽样．

分层抽样

抽样完成之后，则应该是整理数据，用样本估计总体．

（二）教学要从具体问题入手，使学生经历数据处理的过程

要使学生接受统计基本思想，最有效的方法是让他们真正投入到统计的全过程中去：

提出问题，收集、整理数据，分析数据，作出决策，进行交流、评价与改进等．

例4中国香港风帆选手李丽珊，以惊人的耐力和斗志，勇夺奥运金牌，为香港体育史揭开了“突破零”的新页．在风帆比赛中，成绩以低分为优胜．比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．前7场比赛结束后，排名前5位的选手积分如下表所示：

根据比赛结果，我们如何比较各选手之间的成绩及稳定情况呢?

如果此时让你预测谁将获得最后的胜利，你会怎么看？

解：

由上表，我们可以分别计算5位选手前7场比赛积分的平均数和标准差，分别量度各选手比赛的成绩及稳定情况．（结果如下表所示）

培养学生的数据意识，让学生学会用数据说话，不能从死记硬背入手，而应该从原始的数据出发，给学生较少的限制，使学生经历较为系统的数据处理全过程，并在此过程中学习一些数据处理的方法．

下面的问题是较好的问题：

例5：

为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁~18岁的男生的体重情况,结果如下（单位：

kg）

56.7

69.3

65

61.5

64.5

66.5

64

64.5

76

58.5

72

73.6

56

67

70

57.2

65.5

68

71

75

62

68.8

62.6

66

59.3

63.3

64.5

67.5

73

68

55

72

66.9

74

63

60

55.7

70

64.5

58

64

70.8

57

62.5

65

69

71.4

73

62

58

76

71

66

63.2

56

59.4

63.5

65

70

74.8

68.6

64

55.5

72.5

66.6

68

76

57.5

60

71.2

57

69.5

74

64.6

59

61.5

67

68

63.8

58

59

65.5

62.5

69.2

72

64.5

75.5

68.5

64

62

65.4

58.6

67.1

70.5

65

66

66.5

70

63

59.5

试根据上述数据对相应的这个年龄段男生的体重情况作出估计．

选题目的：

学会画频率分布直方图，利用频率分布直方图对总体分布作出估计，并为随机变量的密度函数做准备．

各类统计图表的特点

1．频率分布表：

反映总体频率分布的表格.

编制频率分布表的步骤如下：

（1）计算极差（全距），

（2）决定组数和组距，

；（3）决定分点，分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（4）登记频数，计算频率，列出频率分布表.

2．频率分布直方图：

反映样本的频率分布规律.

作频率分布直方图的步骤如下：

（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；

（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的

（频率密度），这样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.

3．频率分布折线图：

如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.

4．总体密度曲线：

如果样本容量越大，所分组数越多，上述图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小．设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y=f（x）来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．落在（a，b）内的百分率就是图中带斜线部分的面积．

几点说明：

1．在编制频率分布表时，要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据的分布情况.

2．在编制频率分布表时，如果取全距时不利于分组（如不能被组数整除），可适当增大全距，如在左右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）.

选取决定分点一般比原始数据多一位小数，确保每个原始数据都落在某组内部，而不是边界上.

3．频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线.

例6．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：

mm），根据所得数据设计了如下茎叶图：

请根据茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：

①__________________________；

②__________________________.

了解茎叶图的特点（课标例题）．

作茎叶图：

将所有三位数的百位、十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般由内到外按从小到大的顺序同行列出.

茎叶图刻画数据有两个优点：

一是所有的信息都可以从图中得到，从统计图上没有信息的损失；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．

统计结论：

（1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：

乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．

（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：

乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．

（3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．

（4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．

（三）线性回归方程和统计案例的教学中，适度说理，注重展现知识形成过程

1.关于变量的相关性，课标要求

①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．

②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

通过前面的介绍我们已经知道：

高斯和勒让德发现了最小二乘法，并应用于观测数据的误差分析，导致了统计思想上的重大进展，使统计学摆脱了单纯描述的性质，强调了推断的地位，是我们现在强调的统计的基本思想.

因此，这一部分的教学，一定要注意的是：

不要把统计教成根据公式运算．

学生在小学、初中就开始学习统计，对于统计的很多名词、甚至方法都不陌生，如果只是为了应付考试，那么这一部分的教学就会成为记忆或单纯的模仿，枯燥乏味．

应要求学生自己探索回归直线的求法（事实上，通过老师启发学生可以给出许多方法）．在统计中，重要的是寻找好的方法，而不是套用公式计算．从历史上看，拉普拉斯、欧拉等许多大数学家都曾为寻找这一直线而努力，他们的做法并不成功．后来，由勒让德、高斯提出了最小二乘法．套用公式计算回归系数，对学生来说并不困难．但这里应该让学生体会到，数学中介绍的方法是前人经过长期探索才得到的．体会在统计中寻找方法的重要．

作为老师应该清楚，之所以用最小二乘法，是因为这样得到的估计量，在许多标准下是‘好’的．而这些标准我们在中学无法讲授．另外，根据实际问题的需要，完全可以用别的方法，例如，把误差的平方改为误差的绝对值，或把误差改为求点到直线的‘距离’等等．人们现在正是这样做的．不应该让学生错误地以为最小二乘法是绝对的、永远是最优的．

例7线性回归方程教学案例

【统计问题】一般说来，一个人的身高越高，他的手就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系．这种说法正确吗？

【收集数据】为了回答这个问题，我们首先需要收集数据，如何收集？

分层抽样？

收集到的数据应如何整理？

（散点图）

【整理数据】以下是某校高三年级96名男生的身高与右手一拃长的数据，制成散点图．你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？

【相关分析】如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．

从散点图上可以发现，身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线，也就是说，它们之间是线性正相关的．那么，怎样确定这条直线呢？

你是怎么想的？

与同学进行交流．如：

方案1：

选择能反映直线变化的两个点，例如（153，16），（191，23）二点确定一条直线．

方案2：

取一条直线，使得它通过的点最多．

方案3：

取一条直线，使得所有的点在它的两侧尽可能均匀分布．

方案4：

先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如下图，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多．

方案3：

在方案二的基础上，选一条直线通过尽可能多的点．

……

讨论中，方案逐渐趋于：

让直线离这些点最近．如何刻画这个最近？

介绍用最小二乘法确定回归直线的方法．

【统计预测】如果一个学生的身高是188cm，你能估计他的右手一拃大概有多长吗？

“回归”这个词是由英国著名统计学家FrancilsGalton提出来的．1889年，他在研究祖先与后代身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高．Galton把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”，后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归方法．

适度说理，展现知识的形成过程，既可以让学生了解历史，也可以让学生感受统计思维与确定性思维的差异．在用不同的估算方法描述两个变量线性相关的过程中，体会没有最好，只有更好．鼓励学生探索用多种方法确定线性回归直线，在此基础上，引导学生体会最小二乘法的思想，根据给出的公式求线性回归方程．对感兴趣的学生，可以鼓励他们尝试推导线性回归方程．

在这里需要强调的是，身高和右手一拃长之间没有函数关系．我们得到的直线方程，只是对其变化趋势的一个近似描述．对一个给定身高的人，人们可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长．这是十分有意义的．

这一部分内容的教学，还应该注意前后联系，埋下伏笔．

函数应用题à线性回归方程à回归分析.这样会让统计的教学更有层次，更有意思．

2.关于统计案例，课标要求：

通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题．

①通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用．

②通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用．

总体来说，统计案例的内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不做要求．但为了避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算，还需适度说理．如：

独立性检验的理论基础是概率中事件的独立性，对理科同学来说，由于在选修2-3中学习了事件的独立性，在此处不妨就“两个事件相互独立”的含义做一理解，知道公式的来源，但对于公式的推导过程则不必深究，公式的结果也不必记忆．而对于文科同学，没有相应的概率基础，便不一定要补上相关的内容，加重学生负担，只需对“两个事件相互独立”作模糊处理．

（四）通过案例教学，体会统计思想，体现统计的应用价值

案例教学是统计教学的基本方式．

一方面，统计方法看起来不难，但是理解起来还是有困难的，通过大量的具体案例可以帮助学生理解；另一方面，在统计课程中，通过对案例的学习，易于体会统计思想．

统计的核心思想是：

归纳的思想和随机的思想．

前面已经说过：

处理统计问题的思维方式和传统的数学思维方式有所不同，它是一种归纳的思维方式，传统的数学思维则更强调演绎．在统计教学中，通过收集样本数据、利用图表整理和分析数据、求出数据的数字特征、对总体进行统计推断，这个过程，实际是通过对样本数据的处理，归纳出总体数据的特征，是一种归纳的思维方式．

用样本估计总体是统计的核心方法，而样本来源于随机抽样的结果，因此，统计结果具有随机性，统计推断是有可能犯错误的，但是，在自然界和人类事物中，随机现象是大量存在的，概率统计正是对随机变化的数学描述，它能够帮助我们作出合理的决策，并能告诉我们犯错误的概率．随机思想是理解统计问题的一个基本思想．

让学生经历统计过程，才能培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点．不仅如此，大量与生活有关的案例，还能体现统计与生活的密切联系，体会统计应用的广泛性．

在统计案例的教学中，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践．特别地，教师应独立或与同事合作，亲自解决一些实际问题，从事实践活动，以积累经验，并获得对基本思想的直观体验．

如处理成绩：

经历数据处理的过程，并根据实际问题选择合适的方法．

平均数、标准差、频率分布、从评价自己到评价试卷．

数学成绩与物理成绩是否相关？

（五）在统计教学中，恰当运用现代教育技术，简化运算

Excel应用举例．

相关系数与线性回归

步骤一：

进入Excel，并输入如下图所示资料．

步骤二：

点击“插入”，再选择函数．

步骤三：

在插入函数视窗中，类别项目中选择“统计”，在选取函数项目中选择“CORREL”，按确定．

步骤四：

——ARRAY1（输入资料X），以鼠标左键圈选范围[A1：

A6]

——ARRAY2（输入资料Y），以鼠标左键圈选范围[B1：

B6]

——按确定，得出r=0.842873，如图．

步骤五：

点击「工具」，再选择「数据分析」，在数据分析视窗中选择「回归」，按确定，如图．

——若“工具”菜单中没有“数据分析”，按如下步骤执行：

●工具

加载宏

●在列表中，选中“分析工具库”框，再单击确定

步骤六：

在回归视窗中，输入Y范围，用鼠标左键圈选[B1：

B6]；输入X范围，用鼠标左键圈选[A1：

A6]；点选标志，输出选项点选「新工作表」，线性拟合图．按确定，如图．

输出结果如图．

三、学生学习目标检测分析（用二级标题划分）

（一）课程标准与高考对“平面向量专题”的要求

结合课标和考试说明，本专题的主要检测内容与标准如下：

1．必修部分

（1）随机抽样

①理解随机抽样的必要性和重要性.

②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.

（2）总体估计

①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.

②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.

③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释.

④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

（3）变量的相关性

①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.

②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

2．选修部分

统计案例：

了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.

（1）独立性检验：

了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.

（2）回归分析：

了解回归的基本思想、方法及其简单应用.

（二）典型题目的检测分析

由于在高考中不能使用计算器、是否给出公式等诸多限制，所以，考试中的统计并不完全等同于应用于生活的统计．其次，考试中，统计问题及其答案一般是唯一的，确定的；而生活应用中的统计却有其多样性和不确定性．

因此，作为目标检测来说，最好的方法是要求学生亲自实践，（从抽样开始，处理数据，最后到预测和估计，）提交一个完整的统计案例．

在考试中，则可以检测学生对于统计方法的掌握情况为目的，如：

例1.某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取M名同学的成绩，数据的分组统计表如下：

分组

频数

频率

频率/组距

（40,50]

2

0.02

0.002

（50,60]

4

0.04

0.004

（60,70]

11

0.11

0.011

（70,80]

38

0.38

0.038

（80,90]

m

n

p

（90,100]

11

0.11

0.011

合计

M

N

P

（Ⅰ）求出表中m,n,p,M,N,P的值；

（Ⅱ）根据上表，请在给出的坐标系中画出频率分布直方图；

（Ⅲ）若该区高二学生有5000人，试估计这次统考中该区高二学生的平均分数及分数在区间（60,90]内的人数．

【选题目的】全面考察学生对于频率分布表、频率分布直方图的理解，并考察学生用样本估计总体的能力（均值……）

例2.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为____.（用“>”连接）

解答：

s1>s2>s3.

【选题目的】考察学生对于方差概