不等式的基本性质及绝对值不等式教案.docx

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不等式的基本性质及绝对值不等式教案

不等式的基本性质及绝对值不等式教案

适用学科

高中数学

适用年级

高中三年级

适用区域

全国通用

课时时长（分钟）

60

知识点

不等式的性质、意义、和含参数不等式的解法

教学目标

考查不等式的应用和解决实际问题的应用

教学重点

不等式的基本形式，意义和变形

教学难点

1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．

2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养

教学过程

一、课堂导入

1.前面我们学习了不等式的基本性质，那我们如何去解决含有绝对值的不等式呢？

二、复习预习

1．两个实数大小关系

2．不等式的基本性质

3．绝对值三角不等式

4．绝对值不等式的解法

三、知识讲解

考点1含绝对值不等式的解法

我们可以通过两边平方的方法去掉绝对值，然后再根据不等式的解法去解。

考点2绝对值三角不等式的放缩功能

考点3含参绝对值不等式的最值问题

含有绝对值的最大值和最小值我们可以借助数轴来分析。

考点4含绝对值不等式的恒成立问题

四、例题精析

考点一含绝对值不等式的解法

【例1】设函数f（x）＝|x－a|＋3x，其中a>0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x＋2的解集；

（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

【规范解答】

（1）当a＝1时，f（x）≥3x＋2可化为|x－1|≥2.

由此可得x≥3或x≤－1

故不等式f（x）≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．

（2）由f（x）≤0得，|x－a|＋3x≤0.

此不等式化为不等式组

或

即

或

因为a>0，所以不等式组的解集为

.由题设可得－

＝－1，故a＝2.

【总结与反思】形如|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型的不等式主要有三种解法：

（1）分段讨论法：

利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为（－∞，a]，（a，b]，（b，＋∞）（此处设a

（2）几何法：

利用|x－a|＋|x－b|>c（c>0）的几何意义：

数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－（x－b）|＝|a－b|.（3）图象法：

作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．

考点二绝对值三角不等式的放缩功能

例2已知实数x，y满足：

|x＋y|<

，|2x－y|<

，求证：

|y|<

.

【规范解答】证明　因为3|y|＝|3y|＝|2（x＋y）－（2x－y）|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<

，|2x－y|<

从而3|y|<

＋

＝

，所以|y|<

.

【总结与反思】含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|a＋b|≤|a|＋|b|及推广形式|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|进行放缩．

应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件

考点三含参绝对值不等式的最值问题

例3设函数f（x）＝|x－1|＋|x－a|.

（1）若a＝－1，解不等式f（x）≥3；

（2）如果对于∀x∈R，f（x）≥2，求实数a的取值范围

【规范解答】解　

（1）当a＝－1时，f（x）＝|x－1|＋|x＋1|，

由f（x）≥3得：

|x－1|＋|x＋1|≥3，

法一　由绝对值的几何意义知不等式的解集为

.

法二　不等式可化为

或

或

∴不等式的解集为

.

（2）若a＝1，f（x）＝2|x－1|，不满足题设条件；若a<1，f（x）＝

f（x）的最小值为1－a；若a>1，f（x）＝

f（x）的最小值为a－1.

所以对于∀x∈R，f（x）≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为（－∞，－1]∪[3，＋∞）．

【总结与反思】对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用均值不等式求最值．

考点四含绝对值不等式的恒成立问题

例4设a∈R，函数f（x）＝ax2＋x－a（－1≤x≤1），

（1）若|a|≤1，求证：

|f（x）|≤

；

（2）求a的值，使函数f（x）有最大值

【规范解答】设g（a）＝f（x）＝ax2＋x－a＝（x2－1）a＋x.

∵－1≤x≤1，当x＝±1，即x2－1＝0时，

|f（x）|＝|g（a）|＝1≤

；当－1

∵|a|≤1，∴－1≤a≤1，∴g（a）max＝g（－1）＝－x2＋x＋1＝－

2＋

；

g（a）min＝g

（1）＝x2＋x－1＝

2－

.∴|f（x）|＝|g（a）|≤

.

（2）解　当a＝0时，f（x）＝x，当－1≤x≤1时，f（x）的最大值为f

（1）＝1，不满足题设条件，∴a≠0.

又f

（1）＝a＋1－a＝1，f（－1）＝a－1－a＝－1，

故f

（1）和f（－1）均不是最大值，

∴f（x）的最大值

应在其对称轴上的顶点位置取得，

∴命题等价于

解得

∴a＝－2.

【总结与反思】含绝对值不等式的证明题主要分为两类：

一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元

法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：

||a|－|b||≤|a±b|

≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑

利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．

课程小结

1.知识总结：

基本不等式的性质，含有绝对值的不等式

2.思想方法总结：

分类讨论，待定系数法，数形结合。

3.对于不等式的放缩法应用起来较难，平时通过一些典型的例题让学员知道如何去放缩，常见的放缩，通常与与

哪些题型结合。