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离散数学
离散数学
数理逻辑
集合论
代数结构
图论
在计算机科学中有着重要的作用
期末占比70%
数理逻辑
2017年9月15日
10:
09
用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科
这里所说的数学方法就是引进一套符号体系的方法
所以数理逻辑又称为符号逻辑,从量的角度来研究思维规律
计算机与计算机科学与数理逻辑有着十分密切的联系
电子计算机是数理逻辑与电子学结合的产物
当代数理逻辑分类
逻辑演算,证明论,公理集合论,递归论和模型论
本科的内容:
命题逻辑和谓词逻辑(一阶逻辑)
合式公式的层次:
原语言符号ABC…
若A是单个命题(常项或变项),p,q,r,…,pi,qi,ri,…,0,1,则称A是0层公式。
称A是n+1(n≥0)层公式是指A符合下列情况之一:
①A=B,B是n层公式;
②A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j);
③A=B∨C,其中B,C的层次同②
④A=B→C,其中B,C的层次同②
⑤A=BC,其中B,C的层次同②
若A的最高层次为k,则称A是k层公式
例:
(p∧q)→(r∨s)
命题逻辑基本概念
2017年9月15日
10:
17
命题及联结词
命题:
能判断真假的陈述句
真值:
一个命题总具有一个真值:
0/1
一切没有判断内容的句子(感叹,疑问,祈使)等无所谓是非的句子都不是命题
判断的关键:
是否是陈述句;真值是否是唯一的
命题种类:
简单命题(原子命题):
不能分解为更简单的陈述句
复合命题:
由联结词,标点符号把几个原子命题联结起来的命题
复合命题符号化的步骤:
分析出简单命题,符号化
用联结词联结简单命题
命题公式:
由命题常项或命题变项用联结词和圆括号按照一定的逻辑关系连接起来的符号串称为合式公式或命题公式
合式公式的层次:
原语言符号A,B,C
若A是单个命题,则称A是0层公式
称A是n+1(n>=0)时,A符合下列情况之一:
对一个公式的解释和赋值
A为一个命题公式,p1,p2….为出现在A中的所有的命题变项,给其指定一组真值,称为对A的一组赋值或解释。
这一组赋值使A为真,称其为成真赋值;反之,成假赋值。
真值表:
含n个命题变项的命题公式,共有2n组赋值,所有赋值成表,称为真值表
构造真值表的步骤:
找出公式中所有命题变项,列出所有可能赋值
从低到高写出各个层次
计算命题公式的值
合式公式分类:
重言式(永真式)
矛盾式(永假式)
可满足式
一阶逻辑基本概念
2017年10月9日
8:
11
一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑公式及解释
特性谓词:
定义的未知数前提条件为特性谓词
题型一:
一阶逻辑中的命题符号化
题型二:
一阶逻辑中将简单的数学命题符号化
题型三:
给定解释,解释给定公式
题型四:
证明某些公式不是永真式,也不是矛盾式
题型五:
证明永真式或矛盾式
方法一:
两条公式前后真假讨论
方法二:
用简单符号公式进行推理,最后公式作为代入实例
一阶逻辑等值演算与推理
2017年10月9日
9:
00
一阶逻辑等值式与置换规则
等值式:
基本等值式:
第一组:
命题逻辑中基本等值式的代换实例
第二组:
一阶逻辑中重要的等值式
在有限个体域中消去量词等值式
量词否定值试
量词辖域收缩与扩张等值式
量词分配等值式
三个主要规则:
置换规则
换名规则
代替规则
一阶逻辑前束式:
一阶逻辑推理理论:
一阶逻辑中重要的推理定律:
附加律
量词否定律
两条特殊的推理定律,存在和与所有或的联系
自然推理系统F的构成:
字母表,合式公式,推理规则
推理规则:
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
假言推理规则
附加规则
化简规则
拒取式规则
假言三段论规则
析取三段论规则
构造性二难规则
合取引入规则
Ui规则(全称量词消去规则)
Ug规则(全称量词引入规则)
Eg规则(存在量词引入规则)
Et规则(存在量词消去规则)
题型:
题型一:
由已知的等值式证明新的等值式
题型二:
在有限个体域中消去公式中的量词
不断缩小量词辖域消量词
题型三:
求给定公式的前束范式
前束范式并不是唯一的
量词否定等值式
换名规则
量词分配等值式
量词收缩与扩张等值式
题型四:
在自然推理系统中构造推理的证明
归谬法
附加前提证明法
题型五:
在自然推理系统F中,构造用自然语言描述的推理的证明
集合代数
2017年10月29日
11:
21
内容提要:
集合的基本概念:
元素与集合(属于不属于),特殊集合(自然数,有理数,实数集。
。
。
。
)
集合表示法:
列元素法,谓词表示法
文氏图:
用圆表示集合及其相互关系的一种图示方法
集合之间的关系:
空集是任何集合的子集
如果|A|=n,则|P(A)|=2^n
集合的基本运算:
并,交,相对补,绝对补,对称差
对称差的运算结果是A与B去除共有元素后的并集
集合的广义运算:
广义并:
集合的元素的元素构成的集合称为广义并
广义交:
集合所有元素的公共元素构成的集合
运算优先权的规定:
广义并、交,幂集,绝对补运算为一类运算
并,交,相对补,对称差为2类运算
一类运算优先于二类运算
一类运算之间由右向左顺序顺序进行
二类运算由括号决定相对顺序
又穷集合元素的计数:
计数方法:
文氏图或包含排斥原理
集合恒等式:
交换律,结合律,幂等律,分配律,吸收律,补元律,零律,同一律,德摩根律,双重否定律
习题课:
题型一:
判断元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系
判断元素与集合之间的隶属关系可把元素看成一个整体,检查在A中是否出现
判断集合之间子集关系的方法:
枚举法元素检查,谓词定义判断若P则Q,集合运算判断大小,关联等关系,通过文氏图判断集合的包含
包含关系具有传递性,但是属于是不能传递的
题型二:
集合的基本运算题:
题型三:
集合运算性质的分析题:
基本过程:
等式化简或恒等变形
查找运算的相关算律
注意一些等式成立的充要条件
文氏图表示集合
试着举出反例
找出集合等式成立的充要条件
直接利用已知的充分必要条件
先推出必要条件,再验证这个条件的充分性
题型四:
集合相等或者包含的证明题
恒等变形法
反证法
利用已知等式得到新的等式
证明集合是另一个集合子集的方法:
命题演算法
利用包含的传递性
反证法
证明集合相等的方法:
除了上述外,还有恒等变形法
题型五:
有穷集合的计数问题
文氏图法
包含排斥原理
二元关系
2017年11月5日
18:
25
题型一:
有序对与笛卡儿积
题型二:
关系的基本概念
A上的二元关系
E,I,R等概念
题型三:
关系的三种表示法及相关性质的判断
题型四:
关系的基本运算
关系
2017年11月28日
15:
30
两个元素按一定的顺序排列成的二元组为一个有序对
一个有序n元组是一个有序对,一个有序n元组记作
笛卡儿积:
记作A×B。
符号化表示为
A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}.不适用于结合律和交换律,但是对∪∩满足分配律
例7.2设A,B,C,D为任意集合,判断以下等式是否成立,说明为什么。
(1)(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D);
(2)(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D);
(3)(A—B)×(C—D)=(A×C)-(B×D);
(4)(AÅB)×(CÅD)=(A×C)Å(B×D)。
解.
(1)成立.因为对于任意的
ÛxÎA∩B∧yÎC∩D
ÛxÎA∧xÎB∧yÎC∧yÎD
Û
Û
(2)不成立。
举一反例如下:
若A=D=Æ,B=C={1}
则有:
(A∪B)×(C∪D)=B×C={<1,1>},
(A×C)∪(B×D)=Æ∪Æ=Æ。
(3)和(4)都不成立
二元关系:
如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对,则称这个集合是一个二元关系,一般记作R。
关系矩阵和关系图
总结(习题解答未看)
2018年1月18日
20:
46
第一章:
命题逻辑基本概念:
命题与真值,命题与真值的符号化,常用联结词及其符号化,基本复合命题,蕴含式与等价式,复合命题。
命题公式及其赋值,命题常量与命题变项,命题公式与赋值,命题公式的类型(重言式,矛盾式,可满足式),判断公式类型的方法
题型:
命题符号化:
排斥或和相容或的应用,只有才的符号表达,仅当=如果就,除非a否则b=b->a
求复合命题的真值与命题公式的赋值:
pqr的01带入复合命题即可求解,观察法,真值表法
判断公式的类型:
复合命题符号化:
简单命题符号化,形成各基本复合命题,然后得到更为复杂的基本命题
第二章:
命题逻辑等值验算
等值式与基本等值式(双重否定,幂等律,交换律,结合律,分配律,德摩根律,吸收律,零律,同一律,排中律,矛盾律,蕴含等值式,等价等值式,假言易位,等价否定等值式,归谬论),等值演算,置换规则,重言式与矛盾式判别法,析取范式与合取范式,求主析取范式的方法:
等值演算法(消去联结词->,否定联结词的内移,使用分配律)(将析取范式中不是极小项的简单合取式利用排中律,同一律,分配律化成若干个极小项,极小项用m表示,使用幂等律最后排序),真值表法(写出A的真值表,求出A的成真赋值,求出每个成真赋值对应的极小项,按角标从小到大进行析取)
求主合取范式的方法:
等值演算法,真值表法(写出A的真值表,成假赋值,求出每个成假赋值对应的极小项,按角标从小到大合取),由A的主析取范式求A的主合取范式
主析取范式的用途:
(与真值表相同)
求公式的成真复制与成假赋值;判断公式的类型,判断两个公式是否等值,解决实际问题
联结词的完备集:
真值函数:
n元真值函数
联结词完备集
题型:
用等值演算法证明重言式和矛盾式
用等值演算法证明等值式
通过求公式的主析取范式或主合取范式判断公式的类型(若A中含有两个命题变性,共产生4个及小项,A的主析取范式中含全部极小项,所以为重言式。
若验算到析取式时已经为1,直接写出m1234即可。
主合取范式取得是极大项。
成真赋值成假赋值和为2^n)
用主析取范式判断两个公式是否等值,任何公式都存在唯一的主析取范式(在演算中发现,求主合取范式比较方便)
将已知的命题公式等值地化成给定的联结词完备集中的公式(下箭头完备集)
用等值演算法等方法求解实际问题(将简单命题符号化,写出复合命题,求成真赋值,求解方法很多,观察法,等值演算法,主析取范式或析取范式法)
命题逻辑的基本推理理论
推理的形式结构,判断推理是否正确的方法(真值表法,等值演算法,主析取范式法),推理定律(重言蕴含式)(附加律,化简律,假言推理,拒取式,析取三段论,假言三段论,等价三段论,构造性二难,破坏性二难)自然推理系统(前提引入规则,结论引入规则,置换规则,假言推理规则,附加规则,化简规则,拒取式规则,假言三段论规则,析取三段论规则,破坏及构造性二难推理规则,合取引入规则),在自然推理系统P中构造证明(直接证明法,附加前提证明法,归谬证明法)
题型:
用等值演算法判断推理是否正确,用主析取范式法判断推理是否正确,在自然推理系统P中用直接证明法证明推理,在自然推理系统P中用附加前提证明证明推理(当结论是蕴含式时,用附加前提证明法比较方便),在自然推理系统P中,用归谬法证明推理,寻找正确推理的结论,在自然推理系统中构造用自然语言描述的推理(简单陈述句符号化,写出前提和结论,在自然推理系统中给出证明)
一阶逻辑基本概念
一阶逻辑命题符号化(个体词,谓词,量词及分类,命题符号化),一阶逻辑公式及解释(字母表,项,原子公式,合式公式),公式的解释及分类(量词辖域,指导变元,个体变项的自由出现与约束出现,闭式,解释,公式的类型,永真式,永假式,可满足式)
题型:
一阶逻辑中的命题符号化,一阶逻辑中将简单的数学命题符号化,给定解释,解释给定公式,(将各式翻译成数学公式,再讨论真值),证明某些公式不是永真式,也不是矛盾式(找出成真成假的解释各一个即可),证明永真式或永假式(逻辑判断或假言推理)
一阶逻辑等值演算与推理
一阶逻辑等值式与置换规则(等值式,基本等值式,命题逻辑中基本等值式的代换实例,在有限个体域中消去量词等值式),一阶逻辑中重要的等值式(在有限个体域中消去量词等值式,量词否定等值式,量词辖域收缩与扩张等值式,量词分配等值式),三个主要规则:
置换规则,换名,代替规则;
一阶逻辑前束范式(定义,公式A的前束范式,求给定公式的前束范式)
一阶逻辑的推理理论(形式结构),重要推理定律(命题逻辑推理定律的代换实例,一阶逻辑中每个基本等值式均生成两条推理定律(量词否定式)),两条特殊的推理定律
自然推理系统F的组成:
字母表,合式公式,推理规则(前提引入,结论引入,置换,假言推理,附加规则,化简规则,拒取式,假言三段论,析取三段论,构造性二难,合取引入,V+-,E+-),量词辖域收缩扩张等值式
题型:
由已知等值式证明新的等值式,从要证明的等式的左边或右边进行等值演算,演算过程中用到给定的等值式,最后得证
在有限个体域内消去公式中的量词,不缩小量词辖域消去量词,或者将量词辖域先缩小
求给定公式的前束范式,求否定式的前束范式,可用量词分配等值式求前束范式,不能用量词分配等值式求前束范式,不可替代规则求前束范式,不能用换名规则求前束范式,求前束范式
在自然推理系统F中构造推理的证明
在自然推理系统中构造用自然语言描述的推理的证明
集合论:
集合代数:
集合的基本概念,元素与集合,属于不属于,特殊集合,集合的表示法,文氏图,集合之间的关系,重要的结果(子集数=2^n),集合的基本运算,初级运算与广义运算,对称差集,绝对补集,广义交与广义并,广义运算在某些情况下可以转化成初级运算,运算的优先权规定(一类运算优先权由括号决定,二类运算从右向左进行,二类运算优于一类运算)又穷集合元素的计数,文氏图或包含排斥原理,集合恒等式,交换律,结合律,幂等律,分配律,吸收律,补元律,零律,同一律,德摩根律,双重否定律
题型:
判断元素与集合的隶属关系即集合之间的包含关系(枚举法及谓词定义法,文氏图)
集合的基本运算题(等式化简,运算规律)
集合运算性质的分析题(基本运算,判断命题真假,等式成立的充分必要条件)
集合相等或者包含的证明题(恒等变形法,反证法,利用已知等式通过运算得到新的等式,必要性充分性分开检验)
属于类基本的证明方法:
命题演算法,利用包含的传递性,反证法
等于类基本的证明方法:
命题演算法,恒等变形法,反证法,利用已知等式通过运算得到新的等式
有穷集合的计数问题(文氏图填图法,使用包含排斥原理)
二元关系:
有序对与笛卡儿积,有序对的性质,笛卡儿积,笛卡儿积运算性质(不适合交换律,结合律,但是对于并或交运算满足分配律,若AB间有一个空集,积为空集),笛卡儿积中元素的计数,二元关系(非空有序对或空集),xRy,从A到B的二元关系,A上的关系及个数,A上的某些特殊关系,关系的表示,关系图与关系矩阵,关系的性质(自反,反自反,对称,反对称,传递),运算的定义,定义域,值域,域,逆,右复合,限制,像,幂,自反闭包,对称闭包,传递闭包,关系运算的性质,关系运算与关系性质之间的联系,等价关系与划分,商集,集合A的划分,集合A上的等价关系与A的划分之间的一一对应,偏序关系与偏序集,自反,反对称和传递的关系,偏序关系与偏序集,哈斯图,特殊元素,极大元,极小元,最大元,最小元,上界,下界,上确界与下确界,
题型:
有序对与笛卡儿积
关系的基本概念
关系的三种表示法即关系性质的判断,集合表达式,关系矩阵,关系图
关系的基本运算
求关系的闭包
证明有关关系的恒等式或包含式
证明关系的性质
等价关系的等价类,商集及划分的对应
偏序集与哈斯图:
又穷pain续集一定存在极大元和极小元,不一定存在最大元和最小元,极大元和极小元可能存在多个,但最大最小元如果存在唯一,最大元一定是极大元,最小元一定是极小元,反之不对,鼓励元素本身既是极大元又是极小元,上界下界最小上界最大下界如果存在则唯一,最大元一定是最小上界,最小元一定是最大下界,反之不对
函数
代数系统:
二元运算与一元运算,算符与表示法
二元运算的性质:
涉及一个二元运算的算律,交换律,结合律,幂等律,消去律;涉及两个不同二元运算的算律,分配律,吸收律;二元运算的特异元素:
单位元,零元,幂等元,可逆元及其逆元
重要结果:
单位元如果存在,则是唯一的;零元同上;如果|S|>1,则单位元不等于零元;对于可结合的二元运算,可逆元素x只有唯一的逆元
代数系统:
子代数,平凡子代数与真子代数
题型:
未设课后题目
判断运算是否封闭(集合与运算是否构成代数系统),并对封闭的运算确定其性质及特异元素
确定子集是否构成子代数
群与环
格与布尔代数:
格的定义:
偏序集定义,格的代数系统定义,实例,幂集格,正整数的正因子格,群的子集格
格的性质:
对偶原理,偶命题
格的运算性质:
交换律,吸收律,结合律,幂等律,吸收律
偏序与运算的关系
保序性质,子格,子格判别
格同态:
格的直积
分配格,有补格,布尔代数
分配格的判别方法:
定义判别,只需要证明其分配格等式即可
设L是格,则L是分配格当且仅当L不含有与钻石格或五角格同构的子格
有界格:
全下界与全上界
有补格:
补元存在
布尔代数的定义:
有补分配格;布尔代数
>是没带书系统,其中有两个二元运算,满足交换律,分配律,同一律和补元律,德摩根律
布尔代数的子代数
布尔代数的同态映射
有限布尔代数的结构
题型:
关于格的概念题
有关格中的等式或不等式的证明
子格概念n元子格
判别特殊的格:
分配格,有补格,布尔格
格与布尔代数的判定
布尔代数中的化简或证明题
图论
图的定义,顶点与边的关联关系,顶点与顶点及边与边之间的关系,简单图与多重图,顶点的度数与握手定理,图的同构,自反性,对称性,传递性。
完全图与竞赛图,正则图,子图,补图,通路与回路,极大路径法,图的连通性与连通度,二部图,图的矩阵表示,任何图中,奇度顶点的个数为偶数个,握手定理及推论
题型:
握手定理及其应用
完全图,正则图,补图
无向图的连通性,连通度以及扩大路径法
有向图的连通性
完全图与二部图
欧拉图与哈密顿图
欧拉图,求欧拉回路的算法,哈密顿图,哈密顿图的一些充分与必要条件,带权图与货郎担问题,最短哈密顿回路,求最短哈密顿回路的算法
题型:
判断欧拉图,求欧拉回路
判断哈密顿图,求哈密顿回路
应用举例
树
无向树及其性质,分支点,树叶,平凡树,森林,主要性质
生成树,基本回路与基本回路系统,基本割集与基本割集系统,最小生成树,树根家族树,根子树,最优树与最佳前缀码
题型:
画非同构的无向树,生成树或根树
解无向树与生成树
基本回路与基本割集
最小生成树
根树
证明题
应用题
平面图及图的着色
平面图的基本概念,欧拉公式,判别定理,平面图的对偶图,图中顶点的着色
题型:
平面图的基本概念,欧拉公式及其相应定理,平面图的判断,对偶图,图的着色,
支配集,覆盖集,独立集与匹配
支配集,点覆盖集与独立集,二部图中的匹配,
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