完整版莫迪图.docx
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完整版莫迪图
莫迪图表示沿程阻力系数λ与△/d、Re之间的函数关系,查莫迪图首先确定流动的雷诺数Re,到莫迪图上查对应横坐标;查表“管道的管壁绝对粗糙度△”,除以管道直径d,如果是非圆管道,则除以当量直径de,计算△/d,这个值对应着莫迪图的右边纵坐标和莫迪图区域中央的曲线。
由横坐标的雷诺数Re,右边纵坐标△/d,对应确定莫迪图区域中央曲线上的一个点,这个点对应着莫迪图左边纵坐标的沿程阻力系数λ,再由λ计算管道内的沿程阻力。
莫迪图以及尼古拉兹图的区别
尼古拉兹实验:
人工粗糙管,5个阻力区的沿程阻力系数的计算公式及各公式的适用条件(详见课堂笔记),尼古拉兹图;莫迪图(用以查工业管道,与尼古拉兹图查人工粗糙管不同)
插值法
插值法又称“内插法”,是利用函数f(x)在某区间中插入若干点的函数值,作出适当的特定函数,在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值,这种方法称为插值法。
如果这特定函数是多项式,就称它为插值多项式。
主要有lagrange插值、newton插值、hermite插值、分段多项式插值及样条插值法等。
1内容简介
2主要类别
Lagrange插值
Newton插值
Hermite插值
分段多项式插值
样条插值
1内容简介
插值法是函数逼近的一种重要方法,是数值计算的基本课题。
该节只讨论具有唯一插值函数的多项式插值和分段多项式插值,对其中的多项式插值主要讨论n次多项式插值的方法,即给定n+1各点处的函数值后,怎样构造一个n次插值多项式的方法。
虽然理论上可以用解方程组⑵(那里m=n)得到所求插值多项式,但遗憾的是方程组⑵当n较大时往往是严重是病态的。
故不能用解方程组的方法获得插值多项式。
介绍内容有:
lagrange插值、newton插值、hermite插值、分段多项式插值及样条插值。
2主要类别
Lagrange插值
Lagrange插值是n次多项式插值,其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数问题。
★基本思想 将待求的n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式,再利用插值条件⑴确定其中的待定函数,从而求出插值多项式。
Newton插值
Newton插值也是n次多项式插值,它提出另一种构造插值多项式的方法,与Lagrange插值相比,具有承袭性和易于变动节点的特点。
★基本思想 将待求的n次插值多项式Pn(x)改写为具有承袭性的形式,然后利用插值条件⑴确定Pn(x)的待定系数,以求出所要的插值函数。
Hermite插值
Hermite插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,起其提法为:
给定n+1个互异的节点x0,x1,……,xn上的函数值和导数值
求一个2n+1次多项式H2n+1(x)满足插值条件
H2n+1(xk)=yk
H'2n+1(xk)=y'kk=0,1,2,……,n⒀
如上求出的H2n+1(x)称为2n+1次Hermite插值函数,它与被插函数
一般有更好的密合度.
★基本思想
利用Lagrange插值函数的构造方法,先设定函数形式,再利
用插值条件⒀求出插值函数.
分段多项式插值
插值多项式余项公式说明插值节点越多,误差越小,函数逐近越好,但后来人们发现,事实并非如此,例如:
取被插函数,在[-5,5]上的n+1个等距节点:
计算出f(xk)后得到Lagrange插值多项式Ln(x),考虑[-5,5]上的一点x=5-5/n,分别取n=2,6,10,14,18计算f(x),Ln(x)及对应的误差Rn(x),得下表
从表中可知,随节点个数n的增加,误差lRn(x)l不但没减小,反而不断的增大.这个例子最早是由Runge研究,后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为Runge现象.出现Runge现象的原因主要是当节点n较大时,对应
的是高次插值多项式,此差得积累"淹没"了增加节点减少的精度.Runge现象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法,本节的分段插值就是克服Runge现象引入的一种插值方法.
分段多项式插值的定义为
定义2:
a=x0 取[a,b]上n+1个节点并给定在这些节点上的函数值f(xR)=yRR=0,1,…,n 如果函数Φ(x)满足条件 i)Φ(x)在[a,b]上连续 ii)Φ(xr)=yR,R=0,1,…,n iii)Φ(x)zai每个小区间[xR,xR+1]是m次多项式, R=0,1,…,n-1则称Φ(x)为f(x)在[a,b]上的分段m次插值多项式 实用中,常用次数不超过5的底次分段插值多项式,本节只介绍分段线性插值和分段三次Hermite插值,其中分段三次Hermite插值还额外要求分段插值函数Φ(x) 在节点上与被插值函数f(x)有相同的导数值,即 ★基本思想 将被插值函数f〔x〕的插值节点由小到大排序,然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用m次多项式去近似f〔x〕. 例题 例1已知f(x)=ln(x)的函数表为: 试用线性插值和抛物线插值分别计算f(3.27)的近似值并估计相应的误差。 解: 线性插值需要两个节点,内插比外插好因为3.27(3.2,3.3),故选x0=3.2,x1=3.3,由n=1的lagrange插值公式,有 所以有,为保证内插对抛物线插值,选取三个节点为x0=3.2,x1=3.3,x2=3.4,由n=2的lagrange插值公式有 故有 所以线性插值计算ln3.27的误差估计为 故抛物线插值计算ln3.27的误差估计为: 显然抛物线插值比线性插值精确。 样条插值 样条插值是一种改进的分段插值。 定义若函数在区间〖a,b〗上给定节点a=x0 ⒈S(xj)=yj,j=0,1,2,…,n; 插值法主要用于道路桥梁,机械设计,电子信息工程等很多工科领域的优化方法
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