相似三角形中证明技巧.doc
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相似三角形中证明技巧.doc
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相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧
在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种:
一、作平行线
例1.如图,的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证:
证明:
过点C作CG//FD交AB于G
小结:
本题关键在于AD=AE这个条件怎样使用。
由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法:
相似、成比例。
例2.如图,△ABC中,AB AB·DF=AC·EF。 分析: 证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对应边成比例来证明。 不相似,因而要通过两组三角形相似,运用中间比代换得到,为构造相似三角形,需添加平行线。 方法一: 过E作EM//AB,交BC于点M,则△EMC∽△ABC(两角对应相等,两三角形相似)。 方法二: 如图,过D作DN//EC交BC于N 二、作垂线 3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证: 。 证明: 过B作BM⊥AC于M,过D作DN⊥AC于N∴∽ ∴∴ (1) 又∽∴∴ (2) (1)+ (2) 又∴AN=CM ∴ 三、作延长线 例5.如图,RtABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FGAB于G,求证: FG=CFBF 解析: 欲证式即由“三点定形”,ΔBFG与ΔCFG会相似吗? 显然不可能。 (因为ΔBFG为RtΔ),但由E为CD的中点,∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。 不妨延长GF与AC的延长线交于H 则 ∴ 又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB ∴∴FG·FH=CF·BF ∵FG=FH∴FG2=CF·BF 四、作中线 例6如图,中,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC。 解: 取BC的中点M,连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C 又BD=DC∴∴ ∴∽∴又DC=1MC=BC ∴ (1) 又∽又∵EC=1∴ (2) 由 (1) (2)得,∴ 小结: 利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,取BC中点M,构造与相似是解题关键 练习题 1、在△ABC中,D为AC上的一点,E为CB延长线上的一点,BE=AD,DE交AB于F。 求证: EF×BC=AC×DF 2、中,,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过Q且MN⊥CP,交AC、BC于M、N,求证: 。 例1: 已知: 如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D. 求证: BC2=2CD·AC. 证法一(构造2CD): 如图,在AC截取DE=DC, ∵BD⊥AC于D, ∴BD是线段CE的垂直平分线, ∴BC=BE,∴∠C=∠BEC, 又∵AB=AC, ∴∠C=∠ABC. ∴△BCE∽△ACB. ∴,∴ ∴BC2=2CD·AC. 证法二(构造2AC): 如图,在CA的延长线上截取AE=AC,连结BE, ∵AB=AC, ∴AB=AC=AE. ∴∠EBC=90°, 又∵BD⊥AC. ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°, ∴∠E=∠DBC, ∴△EBC∽△BDC ∴即 ∴BC2=2CD·AC. 证法三(构造): 如图,取BC的中点E,连结AE,则EC=. 又∵AB=AC, ∴AE⊥BC,∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE∽△BCD. ∴即. ∴BC2=2CD·AC. 证法四(构造): 如图,取BC中点E,连结DE,则CE=. ∵BD⊥AC,∴BE=EC=EB, ∴∠EDC=∠C 又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, ∴△ABC∽△EDC. ∴J即. ∴BC2=2CD·AC. 例2.已知梯形中,,,是腰上的一点,连结 (1)如果,,,求的度数; (2)设和四边形的面积分别为和,且,试求的值 (1)设,则 解法1 如图,延长、交于点 ,,,为的中点 又,又为等边三角形故 解法2 如图 作分别交、于点、 则,得平行四边形 同解法1可证得为等边三角形 故 解法3 如图 作交于,交的延长线于 作,分别交、于点、 则,得矩形 , 又,故为、的中点 以下同解法1可得是等边三角形 故 解法4 如图, 作,交于,作,交于,得平行四边形,且 读者可自行证得是等边三角形,故 解法5 如图 延长、交于点,作,分别交、于点、,得平行四边形 可证得为的中点,则,故 得为等边三角形,故 解法6 如图(补形法), 读者可自行证明是等边三角形, 得 (注: 此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等) (2)设,则 解法1(补形法)如图 补成平行四边形,连结,则 设,则, 由得,, 解法2 (补形法)如图,延长、交于点, ,,又 设,则,, , 解法3(补形法)如图 连结,作交延长线于点 连结 则∽,故 (1) , 故 (2) 由 (1)、 (2)两式得 即 解法4(割补法)如图 连结与的中点并延长交延长线于点,如图,过、分别作高、,则且, ,又 ,,故 说明本题综合考查了等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,解题关键是作辅助线,构造相似三角形. 例3.如图4-1,已知平行四边ABCD中,E是AB的中点,,连E、F交AC于G.求AG: AC的值. 解法1: 延长FE交CB的延长线于H, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴,∴∠H=∠AFE,∠DAB=∠HBE 又AE=EB,∴△AEF≌△BEH,即AF=BH, ∵,∴,即. ∵AD∥CH,∠AGF=∠CGH,∠AFG=∠BHE,∴△AFG∽△CGH.∴AG: GC=AF: CH, ∴AG: GC=1: 4,∴AG: AC=1: 5. 解法2: 如图4—2,延长EF与CD的延长线交于M,由平行四边形ABCD可知,,即AB∥MC, ∴AF: FD=AE: MD,AG: GC=AE: MC.∵,∴AF: FD=1: 2, ∴AE: MD=1: 2. ∵.∴AE: MC=1: 4,即AG: GC=1: 4, ∴AG: AC=1: 5 例4、如图4—5,B为AC的中点,E为BD的中点,则AF: AE=___________. 解析: 取CF的中点G,连接BG.∵B为AC的中点, ∴BG: AF=1: 2,且BG∥AF,又E为BD的中点, ∴F为DG的中点. ∴EF: BG=1: 2. 故EF: AF=1: 4,∴AF: AE=4: 3. 例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,E为AB延长线上一点,OE交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的长. 解法1: 过O点作OM∥CB交AB于M, ∵O是AC中点,OM∥CB, ∴M是AB的中点,即, ∴OM是△ABC的中位线,, 且OM∥BC,∠EFB=∠EOM,∠EBF=∠EMO. ∴△BEF∽△MOE,∴, 即,∴. 解法2: 如图4-8,延长EO与AD交于点G,则可得△AOG≌△COF, ∴AG=FC=b-BF,∵BF∥AG,∴.即, ∵∴. 解法3: 延长EO与CD的延长线相交于N,则△BEF与△CNF的对应边成比例,即. 解得. 例6、已知在△ABC中,AD是∠BAC的平分线.求证: . 分析1比例线段常由平行线而产生,因而研究比例线段问题,常应注意平行线的作用,在没有平行线时,可以添加平行线而促成比例线段的产生.此题中AD为△ABC内角A的平分线,这里不存在平行线,于是可考虑过定点作某定直线的平行线,添加了这样的辅助线后,就可以利用平行关系找出相应的比例线段,再比较所证的比例式与这个比例式的关系,去探求问题的解决. 证法1: 如图4—9,过C点作CE∥AD,交BA的延长线于E.在△BCE中,∵DA∥CE,∴① 又∵CE∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4,且AD平分∠BAC, ∵∠1=∠2,于是∠3=∠4, ∴AC=AE.代入②式得. 分析2由于BD、CD是点D分BC而得,故可过分点D作平行线. 证法2: 如图4—10,过D作DE∥AC交AB于E,则∠2=∠3. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠3. 于是EA=ED. 又∵,∴,∴. 分析3欲证式子左边为AB: AC,而AB、AC不在同一直线上,又不平行,故考虑将AB转移到与AC平行的位置. 证法3: 如图4—11,过B作BE∥AC,交AD的延长线于E,则∠2=∠E. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠E,AB=BE. 又∵,∴. 分析4由于AD是∠BAC的平分线,故可过D分别作AB、AC的平行线,构造相似三角形求证. 证法4如图4—12,过D点作DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F. 易证四边形AEDF是菱形.则DE=DF. 由△BDE∽△DFC,得. 又∵,∴. 一、如何证明三角形相似 例1、如图: 点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则△AGD∽∽。 例2、已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线,求证: △ABC∽△BCD 例3: 已知,如图,D为△ABC内一点连结ED、AD,以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD 求证: △DBE∽△ABC 例4、矩形ABCD中,BC=3AB,E、F,是BC边的三等分点,连结AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形? 请证明你的结论。 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例5、△ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证: DFAC=BCFE 例6: 已知: 如图,在△ABC中,∠BAC=900,M是BC的中点,DM⊥BC于点E,交BA的延长线于点D。 求证: (1)MA2=MDME; (2) 例7: 如图△ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F,求证: AE: ED=2AF: FB。 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例8: 已知: 如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点,且。 求证: ∠AEF=∠FBD 例9、在平行四边形ABCD内,AR、BR、CP、DP各为四角的
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