运筹学试的题目及详解.docx
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运筹学试的题目及详解
一、填空题:
(每空格2分,共16分)
1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解
四种。
2、在求运费最少的调度运输问题中,如果某一非基变量的检验数为4,则说明
如果在该空格中增加一个运量运费将增加4。
3、“如果线性规划的原问题存在可行解,则其对偶问题一定存在可行解”,这句
话对还是错?
错
4、如果某一整数规划:
MaxZ=X1+X2
Xi+9/14X2<51/14
-2X1+X2WI/3
X1,X2>0且均为整数
所对应的线性规划(松弛问题)的最优解为X1=3/2,X2=10/3,MaxZ=6/29,我们现在要对X1进行分枝,应该分为X1<1和X1沦。
5、在用逆向解法求动态规划时,fk(sk)的含义是:
从第k个阶段到第n个阶段的最优解。
6、假设某线性规划的可行解的集合为D,而其所对应的整数规划的可行解集合为B,那么
D和B的关系为D包含B
7、已知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表(极大化问题,约束条
件均为型不等式)其中X3,X4,X5为松驰变量
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
X4
3
0
0
-2
1
3
X1
4/3
1
0
-1/3
0
2/3
X2
1
0
1
0
0
-1
Cj-Zj
0
0
-5
0
-23
2
1
3
问:
(1)写出B-1=
1/3
.0
2/3
0
0
1
⑵对偶问题的最优解:
丫=(5,0,23,0,0)T
8.线性规划问题如果有无穷多最优解,则单纯形计算表的终表中必然有___某一
个非基变量的检验数为0;
9.极大化的线性规划问题为无界解时,则对偶问题_无解
10.若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求,假设Xi=bi不符合整数要求,INT(bi)是不超过bi的最大整数,则构造两个约束条件:
Xi>INT(bi)+
1和Xi 分支,即两个后继问题。 11.知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表(极大化问题,约束条件均为“W”型不等式)其中X4,X5,X6为松驰变量。 Xb b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X1 2 1 1 0 2 0 1 X3 2/3 0 0 1 1 0 4 X5 1 0 -2 0 1 1 6 Cj-Zj 0 0 0 -4 0 -9 问: (1)对偶问题的最优解: 丫二(4,0,9,0,0,0)T (2)写出B-1= 201 104 116 二、计算题(60分) 1、已知线性规划(20分) MaxZ=3X1+4X2 2Xi+4X2<12 3Xi+2X2<8 sXi,X2 其最优解为: 基变量 X1 X2 X3 X4 X5 X3 3/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X2 5/2 0 1 0 3/8 -1/4 X1 1 1 0 0 -1/4 1/2 0 0 0 -3/4 -1/2 1)写出该线性规划的对偶问题。 2)若C2从4变成5,最优解是否会发生改变,为什么? 3)若b2的量从12上升到15,最优解是否会发生变化,为什么? 4)如果增加一种产品X6,其P6=(2,3,1)t,C6=4该产品是否应该投产? 为什么? 解: 1)对偶问题为 Minw=5y1+12y2+8y3 Iy1+2y2+3y3>3 y1+4y2+2y3>4 y1,y2» 2)当C2从4变成5时, o4=_9/8 o5=-1/4 由于非基变量的检验数仍然都是小于0的,所以最优解不变。 3)当若b2的量从12上升到15 X=9/8 29/8一 1/4 由于基变量的值仍然都是大于0的,所以最优解的基变量不会发生变化 4)如果增加一种新的产品,则 P6'=(11/8,7/8,-1/4)T o6=3/8>0 所以对最优解有影响,该种产品应该生产 2、已知运输问题的调运和运价表如下,求最优调运方案和最小总费用。 (共15 分)。 产地 B1 B2 B3 产量 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 11 A3 6 2 8 20 销量 18 12 16 解: 初始解为 Bi B2 B3 产量/t Ai 15 15 A2 11 11 A3 18 1 1 20 销量/t 18 12 16 计算检验数 B1 B2 B3 产量/t A1 5 13 0 15 A2 -2 0 0 11 A3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16 由于存在非基变量的检验数小于0,所以不是最优解,需调整 调整为: B1 B2 B3 产量/t A1 15 15 A2 11 11 A3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 重新计算检验数 B1 B2 B3 产量/t A1 5 13 0 15 A2 0 2 2 11 A3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16 所有的检验数都大于等于0,所以得到最优解 3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者,规定 每个承包商只能且必须承包一个项目,试在总费用最小的条件下确定各个项目的 承包者,总费用为多少? 各承包商对工程的报价如表2所示: (15分) 项目 投标者、、 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 答最优解为: X=0100 J000/ 0010 0001 总费用为50 4.考虑如下线性规划问题(24分) Maxz=-5x1+5x2+13x3 s.t.|-xi+x2+3x3<20 12xi+4x2+10x3<90 xi,X2,X3>0 回答以下问题: 1)求最优解 2)求对偶问题的最优解 3)当b1由20变为45,最优解是否发生变化。 4)求新解增加一个变量X6,C6=10,a16=3,a26=5,对最优解是否有影响 5)C2有5变为6,是否影响最优解 答: 最优解为 1) Cj -5 5 13 0 0 9 Cb Xb b X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 20 -1 1 3 1 0 20/3 0 X5 90 12 4 10 0 1 9 Cj-Zj -5 5 13 0 0 13 X3 20/3 -1/3 1/3 1 1/3 0 20 0 X5 70/3 46/3 22/3 0 -10/3 1 70/22 Cj-Zj -2/3 2/3 0 -13/3 0 13 X3 185/33 -34/33 0 1 2/11 -1/22 5 X2 35/11 23/11 1 0 -5/11 3/22 -68/33 0 0 -1/11 -1/11 最优解为Xi=185/33,X3=35/11 2)对偶问题最优解为 Y=(1/22,1/11,68/33,0,0)T 3) 当b1=45时 X=45/11 VJ -11/90 由于X2的值小于0,所以最优解将发生变化 3)P6'=(3/11,-3/4)T o6=217/20>0 所以对最优解有影响。 5)当C2=6 ”=-137/33 04=4/11 ”=-17/22 由于04大于0所以对最优解有影响 5.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集),每弧旁的数字是(Cij,fij)。 (15分) ► V3Vt (6,0) (4,1) (9,7)(8,8) Vt V3(6,6) 6.考虑如下线性规划问题(20分) Maxz=3xi+x2+4x3 s.t.I6xi+3x2+5x3<9 3xi+4x2+5x3<8 xi,X2,X3>0 回答以下问题: 1)求最优解; 2)直接写出上述问题的对偶问题及其最优解; 3)若问题中X2列的系数变为(3,2)T,问最优解是否有变化; 4)C2由1变为2,是否影响最优解,如有影响,将新的解求出。 Cj 3 1 4 0 0 Cb Xb b X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 9 6 3 5 1 0 0 X5 8 3 4 5 0 1 Cj-Zj 3 1 4 0 0 0 X4 1 3 -1 0 1 -1 4 X3 8/5 3/5 4/5 1 0 1/5 Cj-Zj 3/5 -11/5 0 0 -4/5 3 X1 1/3 1 -1/3 0 1/3 -1/3 4 X3 7/5 0 1 1 -1/5 2/5 Cj-Zj 0 -2 0 -1/5 -3/5 最优解为X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2)对偶问题为 Minw=9y1+8y2 6y1+3y2>3 w 3y1+4y2>1 5y1+5y2>4 y1,y2> 对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/5 3)若问题中X2列的系数变为(3,2)T 则P2‘=(1/3,1/5)T o2=-4/5v0 所以对最优解没有影响 4)C2由1变为2 o2=-1v0 所以对最优解没有影响 )。 10 7.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集),每弧旁的数字是(Cij,fij分) (7,5) (5,3) V2(5,4)V4 解: (5,4)(7,7) V2(5,5)V4 最大流=11 8.某厂I、n、川三种产品分别经过A、B、C三种设备加工。 已知生产单位各种产品 所需的设备台时,设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表: I n 设备能力(台.h) A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单位产品利润(元) 10 6 4 1)建立线性规划模型,求获利最大的产品生产计划。 (15分) 2)产品川每件的利润到多大时才值得安排生产? 如产品川每件利润增加到50/6元,求 最优计划的变化。 (4分) (2分) 3)产品I的利润在多大范围内变化时,原最优计划保持不变。 4)设备A的能力在什么范围内变化时,最优基变量不变。 (3分) 5)如有一种新产品,加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3h,预期每件为8 元,是否值得生产。 (3分) 6)如合同规定该厂至少生产10件产品川,试确定最优计划的变化。 (3分) 解: 1)建立线性规划模型为: MaxZ=10x1+6x2+4x3 x1+x2+x3<100 10x1+4x2+5x3<600 2x1+2x2+6x3<300 xj>0,j=1,2,3 获利最大的产品生产计划为: X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)'=(100/3,200/3,0,0,0,100)' Z*=2200/3 2)产品川每件利润到20/3才值得生产。 如果产品川每件利润增加到50/6元,最优计划的 变化为: X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)'=(175/6,275/6,25,0,0,0)'Z*=775 3)产品I的利润在[6,15]变化时,原最优计划保持不变。 4)设备A的能力在[60,150]变化时,最优基变量不变。 5)新产品值得生产。 6)最优计划的变化为: X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)'=(190/6,350/6,10,0,0,60)'Z*=706.7 9.给出成性规划问题: (15分) Minz=2x1+3x2+6x3 X1+2X2+x3>2 -2x1+x2+3x3<-3 Xj>0 j=1,…,4 要求: (1)写出其对偶问题。 (5分) (2)利用图解法求解对偶问题。 (5分) (3)利用 (2)的结果,根据对偶问题性质写出原问题最优解。 (5分) 解: 1)该问题的LD为: MaxW=2y1-3y2 y1-2y2<2 2y1+y2<3 y1+3y2<6 y1>0,y2WO 2)用图解法求得LD的最优解为: Y*=(y1,y2)'=(8/5,-1/5)'W*=19/5 3)由互补松弛定理: 原问题的最优解为: X*=(x1,x2,x3)'=(8/5,1/5,0)' 10. (元/t)示于下 某部门有3个生产同类产品的工厂(产地),生产的产品由4个销售点(销地)出售,各工厂的生产量,各销售点的销售量(单位.t)以及各工厂到各销售点的单位运价 B1 B2 B3 B4 产量 A1 4 12 4 11 32 A2 2 10 3 9 20 A3 8 5 11 6 44 销量 16 28 28 24 96^96 表中,要求研究产品如何调运才能使总运量最小? (10分) 解: 最优调运方案为: A1-B3和B428t和4t A2-B1和B416t和4t A3-B2和B428t和16t 最小总运费为: 460元 11.求解下列0-1规划问题maxz=3x1+2x2-5x3-2x4+3x5 Xl+X2+X3+2X4+X5<4 I 7xi+3x3-4x4+3x5<8 11xi-6x2+3x4-3x5>3 k Xj=0或1(j=1,…,5) ,最优目标函数值为5 解: 最优解为: x仁x2=1,其他为0
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