小学数学典型应用题5.docx
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小学数学典型应用题5.docx
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小学数学典型应用题5
21 方阵问题
【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
(1)方阵每边人数与四周人数的关系:
四周人数=(每边人数-1)×4
每边人数=四周人数÷4+1
(2)方阵总人数的求法:
实心方阵:
总人数=每边人数×每边人数
空心方阵:
总人数=(外边人数)?
-(内边人数)?
内边人数=外边人数-层数×2
(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:
总人数=(每边人数-层数)×层数×4
【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。
例1 在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?
解 22×22=484(人) 答:
参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。
解 10?
-(10-3×2)?
=84(人) 答:
全方阵84人。
例3 有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是28人,这队学生共多少人?
解
(1)中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14(人)
(2)中空方阵内层每边人数=28÷4-1=6(人)
(3)中空方阵的总人数=14×14-6×6=160(人)
答:
这队学生共160人。
例4 一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?
解
(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)
(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷2=7(只)
(3)原有棋子数=7×7-9=40(只)
答:
棋子有40只。
例5 有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,最下面一排有5棵树。
这个树林一共有多少棵树?
解 第一种方法:
1+2+3+4+5=15(棵)
第二种方法:
(5+1)×5÷2=15(棵)
答:
这个三角形树林一共有15棵树。
22 商品利润问题
【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题,包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。
【数量关系】利润=售价-进货价 利润率=(售价-进货价)÷进货价×100%
售价=进货价×(1+利润率)
亏损=进货价-售价 亏损率=(进货价-售价)÷进货价×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%,到二月份又下调了10%,这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何?
解 设这种商品的原价为1,则一月份售价为(1+10%),二月份的售价为(1+10%)×(1-10%),所以二月份售价比原价下降了
1-(1+10%)×(1-10%)=1%
答:
二月份比原价下降了1%。
例2 某服装店因搬迁,店内商品八折销售。
苗苗买了一件衣服用去52元,已知衣服原来按期望盈利30%定价,那么该店是亏本还是盈利?
亏(盈)率是多少?
解 要知亏还是盈,得知实际售价52元比成本少多少或多多少元,进而需知成本。
因为52元是原价的80%,所以原价为(52÷80%)元;又因为原价是按期望盈利30%定的,所以成本为 52÷80%÷(1+30%)=50(元)
可以看出该店是盈利的,盈利率为 (52-50)÷50=4%
答:
该店是盈利的,盈利率是4%。
例3 成本0.25元的作业本1200册,按期望获得40%的利润定价出售,当销售出80%后,剩下的作业本打折扣,结果获得的利润是预定的86%。
问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣?
解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。
从题意可知,每册的原定价是0.25×(1+40%),所以关键是求出剩下的每册的实际售价,为此要知道剩下的每册盈利多少元。
剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差,即
0.25×1200×40%×86%-0.25×1200×40%×80%=7.20(元)
剩下的作业本每册盈利 7.20÷[1200×(1-80%)]=0.03(元)
又可知 (0.25+0.03)÷[0.25×(1+40%)]=80%
答:
剩下的作业本是按原定价的八折出售的。
例4 某种商品,甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%,甲店按30%的利润定价,乙店按20%的利润定价,结果乙店的定价比甲店的定价贵6元,求乙店的定价。
解 设乙店的进货价为1,则甲店的进货价为 1-10%=0.9
甲店定价为 0.9×(1+30%)=1.17
乙店定价为 1×(1+20%)=1.20
由此可得 乙店进货价为 6÷(1.20-1.17)=200(元)
乙店定价为 200×1.2=240(元)
答:
乙店的定价是240元。
23 存款利率问题
【含义】 把钱存入银行是有一定利息的,利息的多少,与本金、利率、存期这三个因素有关。
利率一般有年利率和月利率两种。
年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。
【数量关系】 年(月)利率=利息÷本金÷存款年(月)数×100%
利息=本金×存款年(月)数×年(月)利率
本利和=本金+利息=本金×[1+年(月)利率×存款年(月)数]
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。
例1 李大强存入银行1200元,月利率0.8%,到期后连本带利共取出1488元,求存款期多长。
解 因为存款期内的总利息是(1488-1200)元,
所以总利率为 (1488-1200)÷1200 又因为已知月利率,
所以存款月数为 (1488-1200)÷1200÷0.8%=30(月)
答:
李大强的存款期是30月即两年半。
例2 银行定期整存整取的年利率是:
二年期7.92%,三年期8.28%,五年期9%。
如果甲乙二人同时各存入1万元,甲先存二年期,到期后连本带利改存三年期;乙直存五年期。
五年后二人同时取出,那么,谁的收益多?
多多少元?
解 甲的总利息
[10000×7.92%×2+[10000×(1+7.92%×2)]×8.28%×3
=1584+11584×8.28%×3=4461.47(元)
乙的总利息 10000×9%×5=4500(元)
4500-4461.47=38.53(元)
答:
乙的收益较多,乙比甲多38.53元。
24 溶液浓度问题
【含义】 在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。
这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。
例如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混合物叫溶液。
溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度。
【数量关系】 溶液=溶剂+溶质 浓度=溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。
例1 爷爷有16%的糖水50克,
(1)要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克?
(2)若要把它变成30%的糖水,需加糖多少克?
解
(1)需要加水多少克?
50×16%÷10%-50=30(克)
(2)需要加糖多少克?
50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(克)
答:
(1)需要加水30克,
(2)需要加糖10克。
例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%和15%的糖水各多少克?
解 假设全用30%的糖水溶液,那么含糖量就会多出
600×(30%-25%)=30(克)
这是因为30%的糖水多用了。
于是,我们设想在保证总重量600克不变的情况下,用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。
这样,每“换掉”100克,就会减少糖 100×(30%-15%)=15(克) 所以需要“换掉”30%的溶液(即“换上”15%的溶液) 100×(30÷15)=200(克)
由此可知,需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液 600-200=400(克)
答:
需要15%的糖水溶液200克,需要30%的糖水400克。
例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克,乙容器有500克水。
把甲中盐水的一半倒入乙中,混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中,混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中,使甲乙两容器中的盐水同样多。
求最后乙中盐水的百分比浓度。
解 由条件知,倒了三次后,甲乙两容器中溶液重量相等,各为500克,因此,只要算出乙容器中最后的含盐量,便会知所求的浓度。
下面列表推算:
甲容器
乙容器
原 有
盐水500
盐500×12%=60
水500
第一次把甲中一半倒入乙中后
盐水500÷2=250
盐60÷2=30
盐水500+250=750
盐30
第而次把乙中一半倒入甲中后
盐水250+375=625
盐30+15=45
盐水750÷2=375
盐30÷2=15
第三次使甲乙中
盐水同样多
盐水500
盐45-9=36
盐水500
盐45-36+15=24
由以上推算可知,乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24÷500=4.8%
答:
乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。
25 构图布数问题
【含义】 这是一种数学游戏,也是现实生活中常用的数学问题。
所谓“构图”,就是设计出一种图形;所谓“布数”,就是把一定的数字填入图中。
“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。
【数量关系】 根据不同题目的要求而定。
【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。
按照题意来构图布数,符合题目所给的条件。
例1 十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子。
解 符合题目要求的图形应是一个五角星。
4×5÷2=10
因为五角星的5条边交叉重复,应减去一半。
例2 九棵树苗子,要栽十行子,每行三棵子,请你想法子。
解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形,
一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。
例3 九棵树苗子,要栽三行子,每行四棵子,请你想法子。
解 符合题目要求的图形是一个三角形,每边栽4棵树,三个顶点上重复应减去,正好9棵。
4×3-3=9
例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和,有几种写法?
请设计一种图形,填入这七个数,每个数只填一处,且每条线上三个数的和都等于12。
解 共有五种写法,即 12=1+4+7 12=1+5+6 12=2+3+7
12=2+4+6 12=3+4+5
在这五个算式中,4出现三次,其余的1、2、3、5、6、7各出现两次,因此,4应位于三条线的交点处,其余数都位于两条线的交点处。
据此,我们可以设计出以下三种图形:
- 配套讲稿:
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