小学数学疑难难题汇总.docx
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小学数学疑难难题汇总
1.【题目】甲乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发绕水池的边沿顺时针方向行走.甲的速度是每分钟50米,乙的速度是每分钟46米,则甲乙第一次在同一边上行走,是发生在出发后的第多少分钟?
第一次在同一边上行走了多少分钟?
【解答】要使两人在同一边行走,甲乙相距必须小于一条边,并且甲要迈过顶点。
甲追乙1600÷4=400米,至少需要400÷(50-46)=100分钟,
此时甲行了50×100=5000米,5000÷400=12条边……200米。
因此还要行200÷50=4分钟,出发后100+4=104分钟在同一边上行走。
此时甲乙相距400×2-104×(50-46)=384米,乙行完这条边还有16米,
因此第一次在同一边上走了16÷46=8/23分钟。
2.【题目】甲乙两地相距35千米,小张,小李都要从甲地去乙地,他们只有一辆自行车,小张先步行,小李先乘车,同时出发.小张步行的速度是每小时5千米,小李步行的速度是每小时4千米.两人乘车的速度都是每小时20千米.那么两人从甲地到乙地最短需要时间多少小时?
【解答】如图,假设小李先乘车到丙地再步行,小张步行到丙地再乘车,要使两人时间最短,则必须满足同时到达。
则有从甲地到丙地两人的时间差相当于两人从丙地到乙地的时间差。
从甲地到丙地,车和小张的速度比是20:
5=4:
1,时间比是1:
4;
从丙地到乙地,小李和车的速度比是4:
20=1:
5,时间比是5:
1;
由于时间差相同,则相差[3,4]=12份的时间。
则有从甲地到丙地,车和小张的时间比是4:
16
还有从丙地到乙地,小李和车的时间比是15:
3
行完全程车行了7份的时间,则每份的时间是35÷20÷7=1/4小时
每人行完全程用了19份的时间,则共用去19×1/4=19/4小时。
3.【题目】现有速度固定的甲、乙两车。
如果甲车以现在速度的2倍追乙车,5小时能追上;如果甲车以现在速度的3倍去追乙车,3小时能追上,那么甲以现在的速度去追乙车,几小时能追上乙车?
【解答】根据牛吃草问题的工程解法并且这题的速度的倍数的特殊性来解答。
因为2×2-3=1,所以1÷(1/5×2-1/3)=15小时。
4.【题目】在一个边长17米的正方形ABCD的A点,有红、蓝两个甲虫.9:
00同时沿着边以相同的速度爬行.红甲虫沿A→B→C→D;蓝甲虫沿A→D→C→B.9:
30红甲虫爬到AB间距离A点10米的E点后继续向前爬去,10:
15到BC间的F点,再经C向前爬去.蓝甲虫爬到AD间距离D点5米的G点休息了一会儿再往前爬去.当两个甲虫在CD上的H点相遇时,凑巧四边形EFHG的面积是正方形面积的一半.求蓝甲虫在G点休息了多长的时间?
【解答】
要满足面积是一半,由于F、G不在同一水平线上,H、E在同一竖直线上,EH垂直正方形的边AB。
则有红甲虫比蓝甲虫多行(17-10)×2=14米。
每米需要30÷10=3分钟,所以蓝甲虫休息了14×3=42分钟。
5.【题目】甲、乙两地公路长74千米,8:
15一辆汽车从甲地到乙地,半个小时后,又有一辆同样速度的汽车从甲地开往乙地.王叔叔8:
25从乙地骑摩托车出发去甲地,在差5分不到9点时,他遇到了第一辆汽车,9:
16遇到第二辆汽车,王叔叔骑摩托车的速度是多少?
【解答】
汽车和摩托车的速度比是(51-30):
(40-31)=7:
3,
摩托车行完需要40÷3/7+30=370/3分钟。
摩托车小时行74÷370/3×60=36千米
6.【题目】红光农场原定9时来车接601班同学去劳动,为了争取时间,8时同学们就从学校步行向农场出发,在途中遇到准时来接他们的汽车,于是乘车去农场,这样比原定时间早到12分钟。
汽车每小时行48千米,同学们步行的速度是每小时几千米?
【解答】
学生步行的路程,汽车需要12÷2=6分钟,
说明是在9:
00前6分钟接到学生,即8:
54分,说明学生行了54分钟。
汽车的速度是步行的54÷6=9倍,步行的速度是每小时行48÷9=16/3千米。
7.【题目】一条公路,由甲乙两个筑路队合修要12天完成。
现在由甲队修3天后,再由乙队修1天,共修这条公路的3/20,如果这条公路由甲队单独修要多少天完成?
【解答】
把甲队修3天乙队修1天,看作合修1天甲队又修2天。
则甲队2天修了3/20-1/12=1/15
所以甲队单独修需要2÷1/15=30天
8.题目】一批任务,师徒二人合作了30天完成,合作时,徒弟中途休息5天,然后又合作完成全部任务。
结果师傅做的是徒弟的二倍。
已知师傅每天比徒弟多做2个,求全部任务是多少?
【解答】
师傅和徒弟的工作效率的比是(30-5):
(30÷2)=5:
3
徒弟每天做2÷(5-3)×3=3个,徒弟做了3×(30-5)=75个
全部任务就是75×(1+2)=225个。
9.【题目】一件工程,甲独做50小时完成,乙独做30小时完成,现在甲先做1小时,然后乙做2小时,再由甲做3小时,接着乙做4小时,……,两人如此交替工作,完成任务共需多少小时?
【解答】
由于单独做甲50小时,乙30小时,所以交替做的天数要超过30小时。
工作1+2+3+…+6+7+8=36小时
完成了(1+3+5+7)×1/50+(2+4+6+8)×1/30=74/75,
还剩下1-74/75=1/75,此时是甲做,需要1/75÷1/50=2/3小时,
因此共需要36小时40分钟
10.【题目】一项工程,如果甲队独做,正好在计划规定的时间内完成,如果乙队独做,则要超过计划规定的时间10天才能完成,如果甲乙两队先合作6天。
然后让乙队单独做,则正好在计划规定的时间完成。
完成这项工程计划用多少天?
【解答】
甲队做6天相当于乙队做10天,单独做甲队比乙队少做10天,
甲队需要10÷(10-6)×6=15天,即计划用的天数15天
11.【题目】甲乙两名工人加工数量相等的一批零件,甲先花去2.5小时改装机器才开始工作,因此前4小时后甲比乙少做400个零件,又同时工作4小时后,甲总共加工的零件反而比乙多4200个,求甲乙每小时各做多少零件?
【解答】
甲4小时比乙多做4200+400=4600个,
甲2.5小时做4600+400=5000个,
甲每小时做5000÷2.5=2000个,
乙每小时做(2000×1.5+400)÷4=850个
12.【题目】一件工程甲独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,在由已接着甲单独做完余下的部分,这样前后共用了16天,甲做了多少天?
【解答】
假设16天都是乙做的,就会差1-16/18=1/9没有完成,
甲参加一天,就会多做1/12-1/18=1/36,
所以甲做了1/9÷1/36=4天
13.【题目】甲、乙、丙三个仓库,各存放着同样数量的化肥,甲仓库用一台皮带输送机和12个工人,需要5小时候才能把甲仓库搬空;乙仓库用一台皮带输送机和28个工人,需3小时才能把乙仓库搬空;丙仓库有两台皮带输送机,如果要求2小时把丙仓库搬空,同时还需要多少名工人?
(皮带输送机的功效相同,每个工人每小时的搬运量相同,皮带输送机与工人同时往外搬运化肥。
)
【解答】与大家分享四种解法。
解法一:
假设每个工人每小时做1份,甲仓库需要工人搬了12×5=60份,乙仓库工人搬了28×3=84份,相差的84-60=24份,就是皮带运送机5-3=2小时搬的。
说明皮带运送机每小时送24÷2=12份,总共有(12+12)×5=120份,两台皮带运送机2小时运送2×12×2=48份,工人2小时运送120-48=72份,则工人每小时运送72÷2=36份,即配备36个工人。
解法二:
假设每个工人每小时做1份,甲仓库需要工人搬了12×5=60份,乙仓库工人搬了28×3=84份,相差的84-60=24份,就是皮带运送机5-3=2小时搬的。
说明皮带运送机每小时送24÷2=12份,丙仓库如果2台皮带运送机需要5小时,多出的5-2=3小时的运送量,需要配备12×3=36个工人。
解法三:
比较甲乙两个仓库,相差28-12=16个工人,工作效率相差1/3-1/5=2/15,每个工人每小时做2/15÷16=1/120。
综合甲乙两个仓库2皮带运送机和28+12=40个工人每小时运送1/3+1/5=8/15,比规定的多了8/15-1/2=1/30,则需要减少1/30÷1/120=4个工人,即需要配备40-4=36个工人。
解法四:
甲乙两个仓库工作效率的比是3:
5,那么甲仓库每小时相当于(28-12)÷(5-3)×3=24个工人做的。
一个皮带运送机就相当于24-12=12个工人送的。
那么每个仓库2台运送机可以运送5小时,多出的3小时需要配备3×12=36个工人。
14.【题目】加工一个零件,甲、乙、丙所需时间分别是6分钟、7分钟、8分钟。
现在有3650个零件要加工,如果规定3人用同样的时间完成任务,各应加工多少个?
【解答】
工作效率的比是1/6:
1/7:
1/8=28:
24:
21,
完成任务时,甲做28/73,乙做24/73,丙做21/73。
甲加工了3650×28/73=1400个,
乙加工了3650×24/73=1200个,
丙加工了3650×21/73=1050个。
15.【题目】货场上有一堆沙,如果用3辆卡车来运4天就可以运完。
如果用4辆马车来运5天可以运完,如果用20辆小板车来运6天可以运完。
现在用2辆卡车、3辆马车、七辆小板车共同运了2天,余下的改用小板车云且要在2天内运完,则每天要用多少辆小板车?
【解答】与大家分享两种解法。
解法一:
份数法
假设小板车每天运1份,共有20×6=120份。
每辆卡车每天运120÷3÷4=10份,每辆马车每天运120÷4÷5=6份。
2天搬完,每天搬120÷2=60份,需要小板车60-2×10-3×6=22份。
剩下的就需要22-7=15辆小板车。
解法二:
工程法
2辆卡车2天运了2×2÷(3×4)=1/3,
3辆马车2天运了3×2÷(4×5)=3/10,
7辆小板车2天运了2×7÷(20×6)=7/60,
剩下1-1/3-3/10-7/60=1/4,每天运1/4÷2=1/8,
需要1/8×20×6=15辆小板车。
16.【题目】两只小爬虫甲和乙,从A点同时出发,沿长方形ABCD的边,分别按箭头方向爬行,在离C点32厘米的E点它们第一次相遇,在离D点16厘米的F点第二次相遇,在离A点16厘米的G点第三次相遇,长方形的边AB长多少厘米?
【解答】如图2,每次相遇两虫都是合行1周,则每次相遇乙虫行的路程相同。
蓝色路线和紫色路线比较,CF比AB短16厘米,那么BE比CE短16厘米,可以知道BE=32-16=16厘米。
根据长方形对边相等,可以知道DG=CE=32厘米。
比较蓝色路线和红色路线,可以知道AB=DG=32厘米。
解法二:
第三次相遇,用AG替换DF,可以知道乙每次相遇行长方形的长。
第一次相遇和第二次相遇比较,AB+BE=BE+EC,即AB=EC=32厘米。
17.【题目】在一个周长400米的圆形跑道上,甲乙两车同时从一点A沿相反方向出发,甲车每小时行18千米,乙车每小时行72千米,当两辆车第一次相遇时,甲车速度提高,每秒比原来多走1米,乙车则每秒少走1米,仍各自按原方向行进,以后每次两车相遇,两车的速度都如此变化,直到两车第18次相遇.那么在此过程中,两车有没有恰在A点相遇过?
如果有,说明理由并求出是哪几次相遇?
【解答】甲车和乙车速度分别是5米/秒和20米/秒。
由于速度和不变,则把总路程看作20+5=25份,甲行的路程和是25的倍数时,就相遇在A点。
甲行的路程的份数是5+6+7+8+…。
经检验,当相遇次数是16时,甲车行了(5+20)×16÷2=200份,是25的倍数。
18.【题目】已知梯形ABCD底边BC上一点E,角AED=90°,角C=45°。
各边长度已经标在了图上。
求梯形ABCD的面积。
【解答】如下图,过点A作AF垂直BC,过点D作DG垂直BC。
长方形AFGD的面积是20×15=300,DG长300÷25=12,CG长12,EG长21-12=9,EF长是25-9=16,BF的长也是16。
则梯形面积是(25+16×2+21)×12÷2=468。
19.【题目】ABCD表示一个四位数,EFG表示一个三位数,ABCDEFG表示1~9中不同的数字,已知ABCD+EFG=2005,那么ABCD×EFG的最大值和最小值的差是多少?
【解答】和的数字和除以9余数是7,那么加数的数字和除以9的余数是7。
7个数字的数字和在28~42之间,则数字和是34。
9个数字中去掉的两个数字的数字和是45-34=11。
有四种情况:
2+9=3+8=4+7=5+6。
A不能是2,只能是1。
如果D+G=5,则C+F=10,B+E=9,数字和不是34。
只有D+G=15,C+F=9,B+E=9才符合条件。
由于两数和一定,乘积的有最大值,则两数尽量接近。
所以E最大是7,B就是2,D就只能是6,G只能是9,去掉的两个数字是3和8。
则C=4,F=5。
由此当乘积最大时两数是1246和759,乘积最小时两数是1759和246。
则乘积之差是
1246×759-1759×246
=(1000+246)×759-(1000+759)×246
=1000×759+246×759-1000×246-759×246
=1000×759-1000×246
=1000×(759-246)
=1000×513
=513000
20.【题目】有六个不同的自然数的倒数之和为1,且六个自然数恰好能分成三组数,每组中两数成2倍关系,那么这六个数中的最大数最小是多少?
【解答】设这六个自然数分别是a,2a,b,2b,c,2c,则有1/a+1/(2a)+1/b+1/(2b)+1/c+1/(2c)=1,整理得1/a+1/b+1/c=2/3。
设a<b<c,则a<4,因为1/4+1/5+1/6<2/3。
当a=2时,有1/b+1/c=1/6,b和c最接近的是10和15。
当a=3时,有1/b+1/c=1/3,则b和c分别是4和12最接近。
因此这六个数中最大数2c=24
附:
把已知分数拆分成1/n两个分数1/a与1/b的和的形式的公式。
(a-n)(b-n)=n×n。
21.【交流题目】算式中填入数字,使等式成立有多少种可能。
【题目】A和B是三位数,且1/A+1/306=1/B,使得等式成立有多少种可能。
【解答】原式变形1/B-1/A=1/306,有(306-B)(306+A)=306×306。
设x=306-B,y=306+A,因为A和B是三位数,则有1<x<206,406<y<1305。
因为306×306≈90000,x>90000÷1305≈70,则缩小x的取值范围为70<x<206。
因为306×306=2×2×3×3×3×3×17×17,在x的取值范围内可以取值为:
①17×2×3;②17×3×3;③17×2×2×3;
④3×3×3×3;⑤3×3×3×3×2;⑥3×3×3×2×2
则a的结果是204,153,102,225,144,198,
且b的结果是612,306,153,850,272,561。
即这题有6种情况可以使等式成立。
附:
本题利用一个拆分公式,在1/a-1/b=1/n时,则(n-a)(n+b)=n×n
22.【交流题目】根据条件填出九宫格中的每个数据。
【解答】根据条件2,只有5,4,3才满足条件,可以确定“人”=5,“迎”和“你”不能确定。
当“迎”=3时,“你”=4。
则“大”和“附”是1或6。
如果“大”是1,则“欢”是3,不符合条件;
如果“大”是6,则“欢”是8,这样就剩下2,7,9填中间,但“校”比“中”大4,没有符合条件的数。
这样可推出,“迎”=4,“你”=3。
这时,如果“大”是6,“附”是1,则“欢”是7,剩下2,8,9填第二行,“校”比“中”大4,没有符合条件的数。
那么“大”是1,“附”是6,“欢”是2,第二行中的“校”比“中”小1,剩下的数有7,8,9,则最终有两种结果。
“人大附中欢迎
你”:
516897243,516978243
23.
【解答】将这两个式子改变成如下形式:
1000A+110B+C=D×(110×D+E)
1000C+110B+A=D×(110×F+G)
两式相减得999×(A-C)=D×【110×(D-F)+(E-G)】
必有E-G=D-F,两边除以111变形成9×(A-C)=D×(D-F),由于F≠0,则D-F≠9,再因为D>A且D>C,可知D>A-C,则D是3的倍数。
当D=9时,99□×9=899△,△只能是1,则□是9,不符合要求。
当D=6时,66□×6=399△,可△993不是6的倍数,也不符合要求。
当D=3时,33□×3=100△,△001÷3是三位数,则△<3,则只有△=2时才可以。
即334×3=1002,667×3=2001才满足条件,所以B+D+F=0+3+6
=9。
24.
【解答】用含有未知数的式子代替进行计算。
第二行分别是1+x,x+5,0,4,
第三行分别是2x+6,x+5,4,
第四行分别是3x+11,x+9
第五行只能是4x+8
当x=1时,余数是0;当x=2时,余数是4;当x=3时,余数是8;然后周期出现,则最底层的数一共有3种取值,分别是0,4,8
25.【题目】由红点与蓝点组成的16行与16列的正方形点阵中,相邻同色两点用与点同色的线段连结,相邻异色两点均用黄色的线段连结.已知共有133个红点,其中32个点在方阵的边界上,2个点在方阵的角上.若共有196条黄色线段,试问应有________条蓝色线段.
【解答】把每个条线段都看作有方向的,角上每个点可以画出2条线段,边上每个点可以画出3条线段,中间每个点可以画出4条线段。
133个红点有2个在角上,32个在边上,有133-2-32=99个在中间,共可画出的有向线段长度是2×2+32×3+99×4=496条,其中有196条连着蓝点,则有496-196=300条有向线段连着红点,即有300÷2=150条红色线段。
总共有15×16×2=480条线段,则蓝色线段有480-150-196=134条。
26.
【解答】最小的十个合数分别是4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。
要使最后一行的和尽量小,那么上面一行的数就尽量大。
有几个数是很容易确定的。
10和15分别填在5下面的两格;12和18分别填在6下面的两格;14和16分别填在2下面的两格;剩下的6和9填在3下面的两格;4和8填在4下面的两格。
所以最下面一行的五个数的和是16+9+8+15+18=66。
27.【交流题目】共有多少种填法?
【解答】基本思想:
计算四个三角形的和时,小正方形的数加了两次。
并且小正方形四个数的2倍加上大正方形四个顶点上的数,必定是4的倍数。
第一问:
如果四个顶点是奇数,每个三角形的三个数是两个偶数一个奇数,其和是奇数。
可四个顶点:
1+3+5+7=16,小正方形:
2+4+6+8=20,三角形:
(20×2+16)÷4=14。
矛盾了。
如果四个顶点的数都是偶数,则三角形的三个数是一个偶数两个奇数,其和是偶数。
可三角形三数之和是(20+16×2)÷4=13,因此矛盾了。
第二问:
⑴大正方形的四个顶点必须是两个奇数两个偶数,并且是4的倍数。
无论是一个奇数三个偶数还是三个奇数一个偶数,和都是奇数,小正方形的和2倍是偶数,四个三角形的总和是奇数不是4的倍数。
大、小正方形都是两个奇数两个偶数,其和都是偶数,小正方形的2倍是4的倍数,大正方形的四个数的和是4的倍数才能满足三角形的总和是4的倍数。
⑵大正方形相对的两数和相等。
因为每个三角形的数字和相等,去掉对着的两个三角形,剩下的两数和是顶点上的,和就应该是相等的。
⑶大正方形四个顶点的数的和是12、16、20、24。
四个数最小是1+2+3+4=10,最大是5+6+7+8=26,在这范围内,4的倍数有12、16、20、24。
⑷分类进行探讨:
①当四个数的和为12时,顶点的两数和为6,6=1+5=2+4,有一种情况满足条件。
②当四个数的和为16时,顶点的两数和为8,8=1+7=2+6=3+5,则有1、7、2、6和2、6、3、5两种情况。
③当四个数的和为20时,顶点的两数和为10,10=2+8=3+7=4+6,则有3、7、2、8和3、7、4、6两种情况。
④当四个数的和为24时,顶点的两数和为12,12=8+4=7+5,有一种情况满足条件。
因此一共有6种填法。
28.【交流题目】求满足下面各小题条件的整数a
【解答】第一题:
a在最高位不能是0,a在个位必须是偶数,a4a的百位是偶数,偶数个100是8的倍数,则看4a是8的倍数,则只有a=8时满足条件。
第二题:
根据9的倍数的特征,各位数字和是9的倍数,则有5a+10是9的倍数,也说明a+2是9的倍数,则a=7满足条件。
第三题:
根据11的倍数的特征,奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数,则有5a-10是11的倍数,也说明a-2是11的倍数,由于a<10,则a=2满足条件。
29.
【解答】要使末尾恰有5个零,则质因数5和2的个数都不能少于5个。
725里面包含2个质因数5,730里面包含1个质因数5,735里面包含1个质因数5,则最后一个三位数至少包含1个质因数5。
730里面包含1个质因数2,742里面包含1个质因数2,则最后一个三位数至少包含3个质因数2。
因为十万位数字是奇数,说明质因数2的个数只能是5个,则最后一个三位数包含3个质因数2,如果质因数5的个数是2个,则这个三位数是8×25=200的倍数,显然不符合要求,那么质因数5的个数是1个,则这个三位数是8×5=40的奇数倍,则最后一个三位数是760。
29.【题目】如果六位数2005□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____;如果将“2005”改成其它四位数,可能会使得问题无解,这个是本题无解的四位数最小是_____。
【解答】
第一问:
假设这个数是200599,它除以105后余数是49,所以□里面填99-49=50。
第二问:
因为100099÷105的余数是34,则最小的105的倍数是100065。
这时,每增加一个105,则百位增加1,当末两位要向百位进位时,百位就增加2,此时在百位只增加1,就满足条件了。
当10065+105×7时,末两位刚好进位。
所以四位数最小是1000+7=1007。
30.
【解答】
因为52=13×4,则六位数是4的倍数,末两位也是4的倍数,则y是2或6。
这个六位数也是13的倍数,根据7、11、13的倍数的特征,可以知道910+y-100x-19=891+y-100x=13×(68-8x)+7+y+4x是13的倍数。
则7+y+4x是13的倍数,当y=2时,x=1满足条件。
31.
【分析】根据5的倍数的特征确定个位数字,根据7、11、13的数的特和3的倍数的特征,结合最小与最大综合考虑。
【解答】根据5的倍数的特征,个位是0或者5。
第一问:
要求最小值,我们不妨假设这个五位数是10AB5,A+B是3的倍数,AB5-10是11和7的倍数,由于差的个位是5,则77×5=385,AB5是395,3+9=12是3的倍数,符合条件。
则这个数是10395。
第二问:
要求最大值,我们不妨假设这个五位数是98CD5,C+D除以3余2,CD5-98是1
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