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高中数学公式口诀大全
一、《集合与函数》
内容子交并补集,还有幂指对函数。
性质奇偶与增减,观察图象最明显。
复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。
指数与对数函数,两者互为反函数。
底数非1的正数,1两边增减变故。
函数定义域好求。
分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;
正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。
两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;
求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。
幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。
二、《三角函数》
三角函数是函数,象限符号坐标注。
函数图象单位圆,周期奇偶增减现。
同角关系很重要,化简证明都需要。
正六边形顶点处,从上到下弦切割;中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,
顶点任庖缓扔诤竺媪礁S盏脊骄褪呛茫夯蟠蠡。
?
nbsp;变成税角好查表,化简证明少不了。
二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。
两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。
和差化积须同名,互余角度变名称。
计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。
逆反原则作指导,升幂降次和差积。
条件等式的证明,方程思想指路明。
万能公式不一般,化为有理式居先。
公式顺用和逆用,变形运用加巧用;1加余弦想余弦,1减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;
三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集;
三、《不等式》
解不等式的途径,利用函数的性质。
对指无理不等式,化为有理不等式。
高次向着低次代,步步转化要等价。
数形之间互转化,帮助解答作用大。
证不等式的方法,实数性质威力大。
求差与0比大小,作商和1争高下。
直接困难分析好,思路清晰综合法。
非负常用基本式,正面难则反证法。
还有重要不等式,以及数学归纳法。
图形函数来帮助,画图建模构造法。
四、《数列》
等差等比两数列,通项公式N项和。
两个有限求极限,四则运算顺序换。
数列问题多变幻,方程化归整体算。
数列求和比较难,错位相消巧转换,取长补短高斯法,裂项求和公式算。
归纳思想非常好,编个程序好思考:
一算二看三联想,猜测证明不可少。
还有数学归纳法,证明步骤程序化:
首先验证再假定,从K向着K加1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。
五、《复数》
虚数单位i一出,数集扩大到复数。
一个复数一对数,横纵坐标实虚部。
对应复平面上点,原点与它连成箭。
箭杆与X轴正向,所成便是辐角度。
箭杆的长即是模,常将数形来结合。
代数几何三角式,相互转化试一试。
代数运算的实质,有i多项式运算。
i的正整数次慕,四个数值周期现。
一些重要的结论,熟记巧用得结果。
虚实互化本领大,复数相等来转化。
利用方程思想解,注意整体代换术。
几何运算图上看,加法平行四边形,减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长短。
1
三角形式的运算,须将辐角和模辨。
利用棣莫弗公式,乘方开方极方便。
辐角运算很奇特,和差是由积商得。
四条性质离不得,相等和模与共轭,两个不会为实数,比较大小要不得。
复数实数很密切,须注意本质区别。
六、《排列、组合、二项式定理》
加法乘法两原理,贯穿始终的法则。
与序无关是组合,要求有序是排列。
两个公式两性质,两种思想和方法。
归纳出排列组合,应用问题须转化。
排列组合在一起,先选后排是常理。
特殊元素和位置,首先注意多考虑。
不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。
排列组合恒等式,定义证明建模试。
关于二项式定理,中国杨辉三角形。
两条性质两公式,函数赋值变换式。
七、《立体几何》
点线面三位一体,柱锥台球为代表。
距离都从点出发,角度皆为线线成。
垂直平行是重点,证明须弄清概念。
线线线面和面面、三对之间循环现。
方程思想整体求,化归意识动割补。
计算之前须证明,画好移出的图形。
立体几何辅助线,常用垂线和平面。
射影概念很重要,对于解题最关键。
异面直线二面角,体积射影公式活。
公理性质三垂线,解决问题一大片。
八、《平面解析几何》
有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典范。
笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者—一来对应,开创几何新途径。
两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方程组思想。
三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。
四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数求。
解析几何是几何,得意忘形学不活。
图形直观数入微,数学本是数形学。
坐标几何
一对垂直相交于平面的轴线,可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。
轴线的交点是
(0,0),称为
原点。
水平与垂直方向的位置,分别用
x与y代表。
一条直线可以用方程式
y=mx+c来表示,m是直线的斜率(gradient)。
这条直线与
y轴相交于(0,
c),与x轴则相交于(–c/m,0)。
垂直线的方程式则是
x=k,x为定值。
通过(x0,y0)这一点,且斜率为
n的直线是
y–y0=n(x–x0)
一条直线若垂直于斜率为
n的直线,则其斜率为
–1/n。
通过(x1,y1)与(x2,y2)两点的直线是
y=(y2–y1/x2–x1)(x–x2)+y2
x1≠x2
若两直线的斜率分别为
m与n,则它们的夹角
θ满足于
tanθ=m–n/1+mn
半径为r、圆心在(a,b)的圆,以(x–a)2+(y–b)2=r2表示。
2
三维空间里的坐标与二维空间类似,只是多加一个z轴而已,例如半径为r、中心位置在(a,b,c)的球,
以(x–a)2+(y–b)2+(z–c)2=r2表示。
三维空间平面的一般式为ax+by+cz=d。
三角学
边长为a、b、c的直角三角形,其中一个夹角为θ。
它的六个三角函数分别为:
正弦(sine)、余弦
(cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。
sinθ=b/ccosθ=a/ctanθ=b/a
cscθ=c/bsecθ=c/acotθ=a/b
若圆的半径是1,则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。
a=cosθb=sinθ
依照勾股定理,我们知道a2+b2=c2。
因此对于圆上的任何角度θ,我们都可得出下列的全等式:
cos2θ+sin2θ=1
三角恒等式
根据前几页所述的定义,可得到下列恒等式(identity):
tanθ=sinθ/cos,cotθθ=cosθ/sinθ
secθ=1/cos,θcscθ=1/sinθ
分别用cos2θ与sin2θ来除cos2θ+sin2θ=1,可得:
sec2θ–tan2θ=1及csc2θ–cot2θ=1
对于负角度,六个三角函数分别为:
sin(–θ)=–sinθcsc(–θ)=–cscθ
cos(–θ)=cosθsec(–θ)=secθ
tan(–θ)=–tanθcot(–θ)=–cotθ
当两角度相加时,运用和角公式:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
3
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
tan(α+β)=tanα+tanβ/1–tanαtanβ
若遇到两倍角或三倍角,运用倍角公式:
sin2α=2sinαcosαsin3α=3sinαcos2α–sin3α
cos2α=cos2α–sin2αcos3α=cos3α–3sin2αcosα
tan2α=2tanα/1tan–2α
tan3α=3tanα–tan3α/13tan–2α
二形
下面是一些二形的周与面公式。
:
半径=r直径d=2r
周=2πr=πd
面=πr2(π=3.1415926⋯⋯.)
:
面=πab
a与b分代表短与的一半。
矩形:
面=ab
周=2a+2b
平行四形(parallelogram):
面=bh=absinα
周=2a+2b
梯形:
面=1/2h(a+b)
周=a+b+h(secα+secβ)
4
正n边形:
面积=1/2nb2cot(180/n)°
周长=nb
四边形(i):
面积=1/2absinα
四边形(ii):
面积=1/2(h1+h2)b+ah1+ch2
三维图形
以下是三维立体的体积与表面积(包含底部)公式。
球体:
体积=4/3πr3
表面积=4πr2
方体:
体积=abc
表面积=2(ab+ac+bc)
圆柱体:
体积=πr2h
表面积=2πrh+2πr2
圆锥体:
体积=1/3πr2h
表面积=πr√r2+h2πr2
三角锥体:
若底面积为A,
体积=1/3Ah
5
平截头体(frustum):
体积=1/3πh(a2+ab+b2)
表面积=π(a+b)c+πa2+πb2
椭球:
体积=4/3πabc
环面(torus):
体积=1/4π2(a+b)(b–a)2
表面积=π2(b2–a2)
1.诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(π2-a)=cos(a)
cos(π2-a)=sin(a)
sin(π2+a)=cos(a)
cos(π2+a)=-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)=-sin(a)
cos(π+a)=-cos(a)
2.两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)
6
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)
3.和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)
sin(a)-sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)
cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)
cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)
4.二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(b)
cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)
5.半角公式
sin2(a2)=1-cos(a)2
cos2(a2)=1+cos(a)2
tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)
6.万能公式
sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)
cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)
tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)
7.其它公式(推导出来的)
a?
sin(a)+b?
cos(a)=a2+b2sin(a+c)其中tan?
=ba
a?
sin(a)+b?
cos(a)=a2+b2cos(a-c)其中tan?
=ab
1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2
1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2
数学公式数学公式,是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系,它确切的反映了事物内部和外部的关系,是我们从一种事物到达另一种事物的依据,使我们更好的理解事物的本质和内涵。
如一些基本公式
7
抛物:
y=ax*+bx+c
就是y等于ax的平方加上bx再加上c
a>0开口向上
a<0开口向下
c=0抛物原点
b=0抛物称y
有点式y=a(x+h)*+k
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是点坐的x
k是点坐的y
一般用于求最大与最小
抛物准方程:
y^2=2px
它表示抛物的焦点在x的正半上,焦点坐(p/2,0)准方程x=-p/2
由于抛物的焦点可在任意半,故共有准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py
:
体=4/3(pi)(r^3)
面=(pi)(r^2)
周=2(pi)r
的准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注:
(a,b)是心坐
的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注:
D2+E2-4F>0
(一)周算公式
周公式:
L=2πb+4(a-b)
周定理:
的周等于短半半径的周(2πb)加上四倍的半(a)与短半
(b)的差。
(二)面算公式
面公式:
S=πab
面定理:
的面等于周率(π)乘半(a)与短半(b)的乘。
以上周、面公式中然没有出周率T,但两个公式都是通周率T推演而来。
常数体,
公式用。
形物体体算公式的半径*短半径*PAI*高
三角函数:
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A)cot2A=(cot2A-1)/2cota
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sinα+sin(α+2
π/n)+sin(
α+2
π*2/n)+sin(
α+2π*3/n)+
-⋯⋯1)/n]=0+sin[α+2
π*(n
cosα+cos(α+2
π/n)+cos(
α+2
π*2/n)+cos(
α+2π*3/n)+
⋯⋯-1)/n]=0+cos[以α及+2
π*(n
sin^2(α)+sin^2(-2πα/3)+sin^2(
α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四倍角公式:
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式:
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
8
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角公式:
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式:
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)
八倍角公式:
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式:
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式:
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8
+tanA^10)
·万能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(
α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(
α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
半角公式
sin(A/2)=
√-cosA)/2)((1
sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=
√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=
√-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-
√((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=
√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-
√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB-cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+
⋯+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+⋯+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+
⋯+(2n)=n(n+1)1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+
⋯+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+⋯n^3=(n(n+1)/2)^21*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+
⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:
其中R表示三角形的外接半径
余弦定理
b2=a2+c2-2accosB注:
角B是a和c的角
乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|-b||a≤|a|+|b|≤b<=>-≤a≤b
|a-b|≥-|a||b|-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系
x1+x2=-b/ax1*x2=c/a
注:
达定理
判式b2-4a=0
注:
方程有相等的两根
9
b2-4ac>0注:
方程有两个不相等的个实根
b2-4ac<0注:
方程有共轭复数根
公式分类公式表达式
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2注:
(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程
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