数学广角.docx
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数学广角.docx
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数学广角
1.一个袋子里放有红,黄,白,三种颜色的乒乓球各10个。
至少要取出多少个乒乓球才能保证三种颜色的乒乓球都取到?
为什么?
(并写出算式)
1.一个袋子里放有红,黄,白,三种颜色的乒乓球各10个。
至少要取出多少个乒乓球才能保证三种颜色的乒乓球都取到?
为什么?
(并写出算式)
最坏的情况,
取出10个全是同一种颜色
又取出10个还全是同一种颜色
这时,只要取出1个就是第三种颜色
算式是:
10×(3-1)+1=21个
2.一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1,2,3,4的各有10块。
问:
一次至少要取出多少木块,才能保证其中至少有3块号码相同的木块?
为什么?
(并写出算式)
第一次取出4个,分别是1,2,3,4
第二次又取出4个,还分别是1,2,3,4
这时,只要取出1个,就会有3个相同的号码
算式是:
4×(3-1)+1=9个
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(1)
\1.一个袋子里放有红,黄,白,三种颜色的乒乓球各10个。
至少要取出多少个乒乓球才能保证三种颜色的乒乓球都取到?
为什么?
(并写出算式)
最坏的情况,
取出10个全是同一种颜色
又取出10个还全是同一种颜色
这时,只要取出1个就是第三种颜色
算式是:
10×(3-1)+1=21个
2.一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1,2,3,4的各有10块。
问:
一次至少要取出多少木块,才能保证其中至少有3块号码相同的木块?
为什么?
(并写出算式)
第一次取出4个,分别是1,2,3,4
第二次又取出4个,还分别是1,2,3,4
这时,只要取出1个,就会有3个相同的号码
算式是:
4×(3-1)+1=9个
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(1)
1.一个袋子里放有红,黄,白,三种颜色的乒乓球各10个。
至少要取出多少个乒乓球才能保证三种颜色的乒乓球都取到?
为什么?
(并写出算式)
最坏的情况,
取出10个全是同一种颜色
又取出10个还全是同一种颜色
这时,只要取出1个就是第三种颜色
算式是:
10×(3-1)+1=21个
2.一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1,2,3,4的各有10块。
问:
一次至少要取出多少木块,才能保证其中至少有3块号码相同的木块?
为什么?
(并写出算式)
第一次取出4个,分别是1,2,3,4
第二次又取出4个,还分别是1,2,3,4
这时,只要取出1个,就会有3个相同的号码
算式是:
4×(3-1)+1=9个
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|用红、黑、白三种颜色给长方体各面涂色,(每面只涂一种颜色),无论怎么涂,至少有2个面相同,你知道为什么吗?
(请列出算式)
1.一个袋子里放有红,黄,白,三种颜色的乒乓球各10个。
至少要取出多少个乒乓球才能保证三种颜色的乒乓球都取到?
为什么?
(并写出算式)
2.一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1,2,3,4的各有10块。
问:
一次至少要取出多少木块,才能保证其中至少有3块号码相同的木块?
为什么?
(并写出算式)评论
(1)
因为:
6/3=2(面)
所以:
至少有2个面相同.
其实抽屉原理(也就是数学广角)并不难!
难就只在于辨别那个是抽屉,那个是物体.
"只要物体比抽屉多1,不管怎样放,总有一个抽屉至少要放2个物体."
21个
取出的前20如果只有2种颜色不能满足要求,
取第10+10+1=21个的时候袋子里只剩一种颜色的球
最倒霉原理
4*2+1=9个
先每种颜色都取2个,再取一个即可满足要求
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12
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1.任意7个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是6的倍数,这是为什么?
2.在1,2,3,...,49,50中,至少要取出多少个不同的数,才能保证其中一定有一个数能被5整除?
3.某班有63名同学,他们都参加了课外兴趣小组。
活动内容有数学、美术、书法和英语,每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。
班级至少有几名同学参加的项目完全相同?
4.将400张卡片分给若干名同学,每人都能分到,但不超过11张,试证明:
至少有7名同学得到卡片的张数相同。
1\因为任意一个自然数除以6的余数的可能结果有:
0,1,2,3,4,5共6种,而有7个数,这样会产生7个余数,那么在7个余数中至少有两个余数相同,找出这两个数作差,刚好就可以把余数减掉,那么结果就能够被6整除了...
2\在1,2,3,4……49,50中,能被5整除的数共有10个
所以至少要取出50-10+1=41个不同的数,才能保证其中一定有一个数能被5整除
因为如果取40个,有可能取到的都不是5的倍数
3\四个科目,一共有15个不同的项目,63/15=4余3,所以至少有4个人完全相同.
4\1+2+3+-----+11=66
66*6=396<400
根据抽屉原理可知:
至少有6+1=7名同学得到卡片的张数相同
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23
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2006年某街道办事处统计人口显示,本街道直辖区当年共有366名婴儿出生。
统计员断定:
至少有两名婴儿是在同一天出生。
这是为什么?
(写出理由来)我就是不会写理由--!
2:
某次篮球比赛,5名队员共投进了41个球,一定有一名运动员至少投进了9个球,请说明理由。
3:
在任意的37人中,至少有4个人同属相,为什么?
4:
如果两个数之和等于1,那么一定有一个数大于或等于2分之1.试试看是否这样。
5:
如果三个数之和等于1,你能看得出与上面类似的什么结论?
求啦%>_<%!
小明有2元和5元共100张,共320元,求2元和5元各多少?
如果全是五元,则应该是:
5*100=500元
比实际多了:
500-320=180
所以,二元的有:
180/(5-2)=60张
五元的有:
100-60=40张.
例1(古典题)鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?
分析如果46只都是兔,一共应有4×46=184只脚,这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔,就要减少4-2=2(只)脚.那么,46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢?
显然,56÷2=28,只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以,鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18。
解:
①鸡有多少只?
(4×6-128)÷(4-2)
=(184-128)÷2
=56÷2
=28(只)
②免有多少只?
46-28=18(只)
答:
鸡有28只,免有18只。
我们来总结一下这道题的解题思路:
先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡;将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来,解鸡兔同笼问题的基本关系式是:
鸡数=(每只兔脚数×兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)
兔数=鸡兔总数-鸡数
当然,也可以先假设全是鸡。
例2鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?
分析这个例题与前面例题是有区别的,没有给出它们脚数的总和,而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢?
假设100只全是鸡,那么脚的总数是2×100=200(只)这时兔的脚数为0,鸡脚比兔脚多200只,而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此,鸡脚与兔脚的差数比已知多了(200-80)=120(只),这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡,鸡的脚数将增加2只,兔的脚数减少4只.那么,鸡脚与兔脚的差数增加(2+4)=6(只),所以换成鸡的兔子有120÷6=20(只).有鸡(100-20)=80(只)。
解:
(2×100-80)÷(2+4)=20(只)。
100-20=80(只)。
答:
鸡与兔分别有80只和20只。
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|评论(4)
典型应用题之鸡兔同笼
一,基本问题
"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--"假设法"来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.
例1有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只
解:
我们设想,每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是
244÷2=122(只).
在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数
122-88=34,
有34只兔子.当然鸡就有54只.
答:
有兔子34只,鸡54只.
上面的计算,可以归结为下面算式:
总脚数÷2-总头数=兔子数.
上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!
能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,"脚数"就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了
88×4-244=108(只).
每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡
(88×4-244)÷(4-2)=54(只).
说明我们设想的88只"兔子"中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数).
当然,我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚2×88=176(只),比244只脚少了
244-176=68(只).
每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,
68÷2=34(只).
说明设想中的"鸡",有34只是兔子,也可以列出公式
兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数).
上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.
假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为"假设法".
现在,拿一个具体问题来试试上面的公式.
例2红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红,蓝铅笔各买几支
解:
以"分"作为钱的单位.我们设想,一种"鸡"有11只脚,一种"兔子"有19只脚,它们共有16个头,280只脚.
现在已经把买铅笔问题,转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式,就有
蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3(支).
红笔数=16-3=13(支).
答:
买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.
对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想,脚数是
8×(11+19)=240.
比280少40.
40÷(19-11)=5.
就知道设想中的8只"鸡"应少5只,也就是"鸡"(蓝铅笔)数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.
实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,"兔数"为10,"鸡数"为6,就有脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
就知道设想6只"鸡",要少3只.
要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子.
例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时
解:
我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份).
现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.
根据前面的公式
"兔"数=(30-3×7)÷(5-3)
=4.5,
"鸡"数=7-4.5
=2.5,
也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.
答:
甲打字用了4小时30分.
例4今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年
解:
4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄的年龄是
(25×4-86)÷(4-3)=14(岁).
1998年,兄年龄是
14-4=10(岁).
父年龄是
(25-14)×4-4=40(岁).
因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是
(40-10)÷(3-1)=15(岁).
这是2003年.
答:
公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只
解:
因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种.利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)
=5(只).
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13(只).
也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式
蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6(只).
因此蜻蜓数是13-6=7(只).
答:
有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.
例6某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人
解:
对2道,3道,4道题的人共有
52-7-6=39(人).
他们共做对
181-1×7-5×6=144(道).
由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样
兔脚数=4,鸡脚数=2.5,
总脚数=144,总头数=39.
对4道题的有
(144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).
答:
做对4道题的有31人.
习题一
1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只
2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副
3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个
4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元的张数一样多.那么2元,5元,10元各有多少张
5.一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天
6.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段
7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张
二,"两数之差"的问题
鸡兔同笼中的总头数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢
例7买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张
解一:
如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
(680-8×40)÷(8+4)=30(张),
这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.
因此8分邮票有
40+30=70(张).
答:
买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.
也可以用任意假设一个数的办法.
解二:
譬如,假设有20张4分,根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分.以"分"作为计算单位,此时邮票总值是
4×20+8×60=560.
比680少,因此还要增加邮票.为了保持"差"是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是
(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).
因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).
例8一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天
工程要多少天才能完成
解:
类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有
(150-8×3)÷(10+8)=7(天).
雨天是7+3=10天,总共
7+10=17(天).
答:
这项工程17天完成.
请注意,如果把"雨天比晴天多3天"去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢
例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只
解一:
假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是
(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).
鸡是
100-38=62(只).
答:
鸡62只,兔38只.
当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是
(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).
也可以用任意假设一个数的办法.
解二:
假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是
4×50-2×50=100,
比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是
(100-28)÷(4+2)=12(只).
兔只数是
50-12=38(只).
另外,还存在下面这样的问题:
总头数换成"两数之差",总脚数也换成"两数之差".
例10古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.
解一:
如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差
13×5×4+20=280(字).
每首字数相差
7×4-5×4=8(字).
因此,七言绝句有
28÷(28-20)=35(首).
五言绝句有
35+13=48(首).
答:
五言绝句48首,七言绝句35首.
解二:
假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460(字),28×10=280(字),五言绝句的字数,反而多了
460-280=180(字).
与题目中"少20字"相差
180+20=200(字).
说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加
200÷8=25(首).
五言绝句有
23+25=48(首).
七言绝句有
10+25=35(首).
在写出"鸡兔同笼"公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与"鸡兔同笼"公式对照一下,就会发现非常有趣的事.
例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是
(680-8×40)÷(8+4)=30(张).
例9,假设都是兔,鸡的只数是
(100×4-28)÷(4+2)=62(只).
10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是
(20×13+20)÷(28-20)=35(首).
首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与"鸡兔同笼"公式比较,这三个算式只是有一处"-"成了"+".其奥妙何在呢
当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.
例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只
解:
如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是
(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).
答:
这次搬运中破损了17只玻璃瓶.
请你想一想,这是"鸡兔同笼"同一类型的问题吗
例12有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分
解一:
如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是
8×6-2×(15-6)=30(分).
两次相差
120-30=90(分).
比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少
6+10=16(分).
(90-10)÷(6+10)=5(题).
因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11(题).
第一次得分
5×19-1×(24-9)=90.
第二次得分
8×11-2×(15-11)=80.
答:
第一次得90分,第二次得80分.
解二:
答对30题,也就是两次共答错
24+15-30=9(题).
第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分).
如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件"第一次得分多10分",要少了6×9+10.因此,第二次答错题数是
(6×9+10)÷(6+10)=4(题)·
第一次答错9-4=5(题).
第一次得分5×(24-5)-1×5=90(分).
第二次得分8×(15-4)-2×4=80(分).
习题二
1.买语文书30本,数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数学书的价格各是多少
2.甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克
3.一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天
4.某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题
5.甲,乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10发,共命中14发.结算分数时,甲比乙多10分.问甲,乙各中几发
6.甲,乙两地相距12
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