最优控制理论考试重点.docx

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最优控制理论考试重点

1=to,x（to）=xot=tf,x（tf）^S

1.最优控制问题的性能指标

（1）积分型性能指标（拉格朗日型）：

J（u）=（tfL[x（t）,u（t）,t]dt

」0

反映控制过程偏差在某种意义下的平均或控制过程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。

（2）末值型性能指标（梅耶型）：

J（u）=8[x（tf）,tf],接近目标集程度，即末态控制精度的度量。

tf

（3）综合性能指标（鲍尔扎型）：

J（u）=8[x（tf）,tf]十LL[x（t）,u（t）,t]dt。

2.最优控制问题的数学模型

给定系统的状态方程：

x（t）=f[x（t）,u（t）,t]；状态方程的边界条件:

给定性能指标：

J（u）=8[x（tf）,tf]+「L[x（t）,u（t）,t]dt;允许控制域u（t）:

u（t）^U。

3.最优控制应用的几种类型：

最短时间控制，最小能量控制，线性调节器，最少燃料消耗控制，线性跟踪器。

4.选取性能指标注意：

应能反映对系统的主要技术条件要求，便于对最优控制进行求解，所导出最优控制易于实现。

5.边界条件：

指状态向量在起点或终点的所有容许值的集合。

6.横截条件：

依据性能指标的要求，从容许值的集合中选择哪一点作为始态或终态的问题。

1.泛函：

对于某一类函数y（-）中的每一个函数y（x），变量J都有一个值与之相对应，那么变量府作依赖于函数

y（x）的泛函。

记为:

J=J[y（x）],y（x）称为泛函的宗量。

宗量的变分：

Sy=y（x）-y0（x）。

2.泛函的连续性：

对任意给定的正数总存在另一个正数5,当

y（x）-yo（x）<5,y（x）-yo（x）<5,...,y（k）（x）-y0k）（x）曷,...时，J[y（x）]-J[y。

（x）]|<尊，则称泛函J[y（x）]在点yo（x）处是连续的，而此时y（x）与yo（x）具有k阶接近度。

J[y（x）]满足：

（1）J[yi（x）+y2（x）]=J[yi（x）]+J[y2（x）],

（2）J[ay（x）]=aJ[y（x）]则称其为线性泛函。

3.泛函的变分（计算题）

设泛函J[y（x）]为连续泛函，则泛函增量的线性主部称为泛函的变分，记为：

Jo泛函的变分是唯一的。

泛函J[y（x）]的求解：

6J[y（x）]=£j[y（x）+^y（x）]从。

■,

。

.fL[t,x（t）,x（t）].

x（t）

-'方（t）

例=确定点A01）至给定直线y/（r）=2-r的最短的曲线方程。

解：

由氏至w的M长*=』（时+陵渲=J1+戈财

性能指标为y、

/[/（*）]=|A'l+

0

由欧拉方程二』孑

-）=0

煮^s/1+X

积分得，

根据始端Sr件:

根摒终端横截条件'

[Li<^-x）£5.I-Jl+x2+（-1

得最优敦或方程，

沿最优轨线函数H相对最优控制u*（t）取绝对极小值，这是极小值原理的一个重要结论。

H[x*（t）"（t）,u*（t）,t]=m）irjH[x*（t）,（t）,u（t）,t]

设系统的状态方程为x'（t）=f[x（t）,u（t）,t]，控制u（t）是有第一类间断点的分段连续函数，属于p维空间中的有界闭集Q,满足不等式约束：

G[x（t）,u（t）,t]芝0，在终端时刻tf未知的情况下，为使状态自初态x（t0）=x0,

tf一、一一

转移到7两足边界条件M[x（tf）,tf]=0的终态，并使性能指标J=8[x（tf）,tf]+[F[x（t）,u（t）,t]dt达极小值。

设哈密而顿函数为H=F（x,u,t）+7：

f（x,u,t）则最优控制u*（t），最优轨线x*（t）和最优伴随向量入*（t）必须满足下列条件：

（1）沿最优轨线满足正则方程：

x=—，九=一也一（坦）T「，式中「是与时间t无关的拉格朗日乘子向

xjx

量，其维数与G相同，若G中不包含x,贝U：

九=—^―o

；:

x

（2）横截条件及边界条件：

—_'MTMT

A（tf）=[十（）v]t±,[H（x,u,Z,t）+十（）v]t土=0,x（to）=xo,M[x（tf）,tf]=0。

；x；x:

t:

t

・.，*K**・、八

⑶在最优轨线x*（t）上与最优控制u*（t）相对应的H函数取绝对极小值，即H（x,九，u,t）玄H（x,%,u,t）,

并且沿最优轨线，下式成立—=4-^）^°

；:

u；:

u

上述条件与不等式约束下的最优控制的必要条件相比较，横截条件及端点边界条件没有改变，仅“H=0这

:

u

一条件不成立，而代之以与最优控制相对应的函数为绝对极小，其次是正则方程略有改变，仅当G中不包含x

时，方程才不改变。

1.砰-砰控制原理：

若线性定常系统x（t）=Ax+Bu属于平凡情况，则其最短时间控制为u*（t）=-Msgn[BT7「（t）],u*（t）的各个分量都是时间的分段恒值函数，并均取边界值，称此为Bang-Bang原理。

n

即u*j（t）=-sgn[qj（t）]=-sgn{\bij（t）」t）},（j=1,2,...,m）i4

或u*j（t）=—sgn[Q（t）]=-sgn{BT[x*（t）,t]L*（t）}。

2.平凡最短时间控制系统：

q：

只是在各个孤立的瞬刻才取零值，u*是有第一类间断点的分段恒值函数。

.........-..*^

3.奇异（非平凡）最短时间控制系统：

qj在一段区间取零值。

..…一・・，,*T

并不意味着在该区间内最优控制不存在，仅表明，从必要条件不能推出确切美系式。

如果九（t）bj在某一时

....*，一・...、・...........

间区间内保持为零，则uj（t）为不确定值，这种情况称为奇异问题或非平凡问题，相应的时间区段称为奇异区段。

当整个时间区间内不出现奇异区段时，则称为非奇异问题或平凡问题，对于平凡问题，有以下几个定义及定理。

砰--砰控制原理也称为继电器型控制或开关控制，其主要特点是控制向量的分量都取控制域的边界，而且不断的从一个边界值切换到另一个边界值，从而构成一种最强的控制作用。

砰-砰控制实质是平凡时间最优问题，其最

优解也就是控制器的输出是一个类似于继电器动作的开关式动作。

最短时间控制存在定理：

若线性定常系统x（t）=Ax+Bu完全能控，矩阵A的特征值均具有非正实部，控制变量满足不等式约束|u（t）|vM,则最短时间控制存在。

最短时间控制的唯一性定理：

若线性定常系统x（t）=Ax+Bu属于平凡情况，若时间最优控制存在，则必定是唯一的。

开关次数定理：

若线性定常系统x（t）=Ax+Bu控制变量满足不等式约束|u（t）|

若最短时间控制存在。

则必为Bang-Bang控制，并且每个控制分量在两个边界值之间的切换次数最多不超过n-1

次。

切换点为q.（t）=bj禹=0。

系统平凡的充要条件：

当且仅当m个矩阵Gj=[bj,Abj,A2bj，…,A^bj]中全部为非奇异矩阵时，系统是平凡

的。

（至少有一个为奇异矩阵时，系统是奇异的。

）

双积分模型的物理意义：

惯性负载在无阻力环境中运动。

双积分模型J

'（t）=X2（t）的最短时间控制问题，求解过程为：

、X2（t）=u（t）

*_.•、_

1）应用最小值原理得出最优控制表达式u=-sgn[7・2（t）]；2）解协态方程，结合开关次数定理，列出最优控制的

候选函数序列（4种）；3）在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律；

4）计算状态转移的最短时间。

解题步骤：

1）

列写H函数：

H=L+Vf；3）伴随方程:

控制肯定是燃料最优控制。

6）以此为依据来选择最优控制序列（最优轨线）

双积分模型的最少燃料控制问题，求解过程为：

1）应用最小值原理得出最优控制表达式；2）解协态方程，列出最优控制的候选函数序列（9个）；

3）燃料消耗量的下限为；4）在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律；

5）计算状态转移的所需时间、消耗燃料。

结论：

（1）（X10,X20）€7+

平凡情况：

只有｛+1｝序列可驱使系统状态到达原点，故为问题的解。

非干凡情况：

因为u（t）=-sgnQ20），v（t）,v（t）<1,则系统状态不可能到达原点。

*一.一…--,、f*f*tf

1）u=1为最优解；2）消耗燃料P（*0,x20）=「u（t）dt=Lu（t）dt=X20=—X20

^0'00

（2）（X10,x20）=R4

且燃料消耗为X20

八一一一*,、，、，.、..

非平凡情况：

u（t）=-sgn0、20）.v（t）,V（t）

因而都是最优控制。

平凡情况：

只有序列｛0,+1｝和（-1,0,+1｝可驱使系统状态到达原点。

其中：

（0,+1｝控制下，燃料消耗为x20,

｛-1,0,+1｝,燃料消耗大于X20。

结论：

（0,+1｝为最优控制序列，且在各种情况下其响应时间最短。

（3）（X10,X20）匚R1

平凡情况：

只有序列（-1,0,+1｝可驱使系统状态到达原点。

结论：

燃料控制问题无解（8-燃料最优控制）。

双积分装置最少燃料问题的控制规律如下：

=+1）一尸+

tt:

=O（X］》U氏耳

根据什么原则选取状态转移颗迹?

最小能量控制问题指在控制过程中，控制系统的能量消耗为最小，与最小燃料消耗问题类似，也只有在有限时间内有意义。

最少燃料控制为三位式控制，存在（+1,0,-1）三种控制状态，与最短时间控制相比，多1个u=0的控制

状态，这意味着：

在状态转移的某些阶段，可借助系统中积存的能量来维持运动，根本不需要消耗能量。

双积分装置最少燃料系统的最优解取决于初态的位置。

即可无解，也可唯一解或多个解。

这意味着，同一个

问题，在某些初值下是平凡的，在另一些初值下是非平凡的。

单考虑燃料最少，相应可能太慢，应与时间综合考

tf

虑。

如：

米用时间燃料综合最优的指标函数，J[u（t）]=[[K+|u（t）]dt。

□最短时间控制与最少燃料控制的相互关系

统性二次型问8!

的提法：

祯）=.4（小（/）+3（顷（/）（6-1：

设线性时变系统的状态方程为

yv）一VV7'V7

假设控制向星响）不受约束，用】，Q）表示期望轴出，则误差向量为

e（t）=!

>（/）一｝«）（6-2）

求最优控制『（/）,使下列二次型性能指标最小.

./（〃）=-eT（tf）Fe（tJ.）4-[er。

）0。

心）+〃。

/&（，）〃（，）]出（6-3

■—1

F一半正定对定常效加权矩阵

W）—半王定对称时交加权矩阵

R（ty正定对称时变加权矩阵

In及人固定

正定二次型••…寸*黄0••…./出*）0••…半正定二次型…Vx^O••…,/Av>0;

实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0<>0）.

加权矩阵总可化为对称形式。

OOO

（ii）=^eT（〃）Fe（fj）+；[：

"+u（t）TR（t）u（t）]（1t（6—3）。

。

~~oo

性能指标的物理含义：

4=^e（t）TO（t）e（t）>0—状态转移过程中衡量川）大小的代价函数

Lu=:

〃（。

以（/）〃（/）>0—状态转移过程中衡量〃⑺大小的代价函数

0（O）=X（〃）'R（o）zo一终端代价函数（衡量终点误差）

线性二次型问题的本质：

用不大的控制，来保持辕小的误差.以达到能量和误差螺含最优的目的

统性二次型问题的三种重要情形:

t（/）=（6—D

y（i）=C（t）x（f）

照）=乂（。

一即）（6-2）

|1）d=OE）=Hf）=-e0状^^

B）i顷）=。

即）=用）输出调节器

|3）=0e（f）=»U）-v（f）跟踪问题

矩阵F,Q（t）,R（t）的每一元素，都是对应二次项的系数。

意义：

是借以权衡各个误差分量和控制分量重要程度的

加权矩阵。

对于重要的误差分量或控制分量，其系数取较大值；对于次要的误差分量或控制分量，系数取较小值;

而对于互不相关的误差分量或控制分量，系数取零值。

状态调节器：

用不大的控制能量，使状态保持在零值附近，因而称之为状态调节器问题。

输出调节器：

用不大的能量控制，使输出状态保持在零值附近，因而称之为输出调节器问题。

跟踪问题：

用不大的控制能量，使y（t）跟踪yr（t）的变化，因而称之为跟踪问题。

3.状态调节皆的设计步骤

<1>根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F.Q.R

（2）求醒黎卡提徽分方程.求懈矩阵P僧）

PBR~}BTP-O（6-21）

gAF

（3）求反馈增益矩阵K（t）及最优控制u*（V

=二-A_iy（6-18）

<4>求解最优SU#/。

佣）计算性能指标最优值

*•1r,7

J[.Y（/折]=7.v（f）rP（t）x（r}T〔6-23）

r越小，p（t）越平稳，x（t）衰减越快,u（t）幅值越大。

无限时间状态调节器问题：

“（f）"--Kx（t）=-R~]BrPx（t）

P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。

PA+AtP-PBR-"P+Q=。

最优轨线满足下列线性定常齐次方程：

x（t）^[Ax-BR~}BTP]x（t）=[A-BK]x（f）

性能指标最优值

尸[的）]=[点）「*（"

线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。

有限时间输出调节器问题：

物理意义：

以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。

根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题。

u（f）-

P=-PA-AtP一PBR~xBtP-CtQC

（1）仍然是状态反馈，而不是输出反馈,说明构成最优控制系统需要全部信息。

（2）从工程上讲，x（t）是通过y（t）观测出来的，所以控制的先决条件是，受控系统应是可观测的。

无限时间输出调节器问题：

=-Kx（f）=Px（t）

PA-AtP-PBRWP+CtQC=0

线性时变系统的跟踪问题：

物理意义：

以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。