届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学理试题解析.docx
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届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学理试题解析
绝密★启用前
2020届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学(理)试题学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
注意事项:
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1.已知命题,,则命题的否定为()
A.,B.,
C.,D.,
答案:
D
根据全称命题的否定是特称命题,可直接得出结果.
解:
命题,的否定为“,”。
故选D
点评:
本题主要考查全称命题的否定,只需改写量词与结论即可,属于基础题型.
2.已知集合,集合,则()
A.B.C.D.
答案:
D
由题意,再由集合并集的概念直接计算即可得解.
解:
由题意,
所以.
故选:
D.
点评:
本题考查了一元二次不等式的解法和集合并集的运算,属于基础题.
3.已知实数满足则的最大值为()
A.7B.5C.4D.
答案:
A
画出已知约束条件对应的可行域,求出直接,代入目标函数,得到结果.
解:
解:
实数,满足对应的可行域如下图所示:
由解得,经过可行域的时,
目标函数取得最大值.
当,时,,
故的最大值为7,
故选:
A.
点评:
本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中利用角点法是解答线性规划类小题最常用的方法,属于基础题.
4.某商场开展转转盘抽奖活动,每抽奖一次转动一次转盘(转盘如图),经测量可知一等奖,二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为,和,则抽奖一次中一等奖的概率为()
A.B.C.D.
答案:
C
由测度比是圆心角的弧度数比求解.
解:
解:
一等奖,二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为:
,和,
且三等奖对应等圆心角的两个区域,转动一次转盘指针指向位置是等可能的,
抽奖一次中奖的概率.
故选:
C.
点评:
本题考查几何概型概率的求法,明确测度比是圆心角的弧度数比是关键,属于基础题.
5.已知为圆上任一点,,为直线:
上的两个动点,且,则面积的最大值为()
A.9B.C.3D.
答案:
B
计算出圆上点到直线的最远距离为,利用面积公式即可得解.
解:
由题意知圆的圆心为,半径为1,
则圆心到直线的距离为,
所以圆上的点到直线的最大距离为,
所以的最大值为.
故选:
B.
点评:
本题考查了圆上点到直线距离最值的求解,考查了转化化归思想,属于基础题.
6.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题:
“今有竹七节,下两节容米四升,上两节容米二升,各节欲均容,问逐节各容几升?
”其大意为:
现有一根七节的竹子,最下面两节可装米四升,最上面两节可装米二升,如果竹子装米量逐节等量减少,问竹子各节各装米多少升?
以此计算,第四节竹子的装米量为()
A.1升B.升C.升D.升
答案:
B
由题意得,由等差数列的性质即可直接得解.
解:
设竹子自下而上的各节容米量分别为,…,
则有,由等差数列的性质可得,所以.
故选:
B.
点评:
本题考查了等差数列的应用,关键是对于题目条件的转化,属于基础题.
7.执行如图所示的程序框图,则输出的值为()
A.3B.2020C.3030D.1010
答案:
C
由已知中的程序语句可知:
该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
解:
解:
模拟程序的运行,可得
,,,,,
可知,
当时,.
故选:
C.
点评:
本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,属于基础题.
8.如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,为上靠近点的三等分点,则三棱锥与四棱锥的体积比为()
A.B.C.D.
答案:
B
根据等积法可知,,再根据点到面的距离等于点到面的距离的,以及,即可求出.
解:
设点到面的距离为,所以点到面的距离等于.
又,所以.而,
故.
故选:
B.
点评:
本题主要考查等积法的应用,以及棱锥的体积公式的应用,意在考查学生的转化能力,属于基础题.
9.在梯形中,,设,则()
A.B.
C.D.
答案:
D
利用向量的三角形法则得出,进而求出,最后利用,即可求解
解:
,,
,,
答案选D
点评:
本题考查向量的线性运算,属于基础题
10.已知函数在上有且仅有三个零点,则的取值范围是()
A.B.C.D.
答案:
D
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式,利用函数的零点个数,转化为方程的根的个数,利用三角函数的有界性,转化求解即可.
解:
解:
函数,
函数在上有且仅有三个零点,
就是在上有且仅有三个解,则或;
,解得.
故选:
D.
点评:
本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.
11.的展开式中,含项的系数为()
A.100B.300C.500D.110
答案:
A
转化条件得,则可写出其通项公式,通过分别给、赋值令,即可得解.
解:
由题意,
则其通项公式为:
,
其中,,则,
所以可取,,此时;
,,此时;
,,此时;
所以项的系数为.
故选:
A.
点评:
本题考查了二项式定理的应用,考查了计算能力和分类讨论思想,属于中档题.
12.双曲线:
,,为其左、右焦点,线段垂直直线,垂足为点,与交于点,若,则的离心率为()
A.B.2C.3D.
答案:
A
由题意,所在的直线方程为,求出点,进而求得,代入双曲线的方程化简后得,利用即可得解.
解:
由题意,
线段垂直直线,,
所在的直线方程为,与直线的交点为,
,为线段的中点,
,
代入双曲线方程得,得,
.
故选:
A.
点评:
本题考查了双曲线离心率的求解,考查了计算能力,属于中档题.
二、填空题
13.若复数,则_____.
答案:
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解.
解:
解:
,
.
故答案为:
.
点评:
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,属于基础题.
14.在一次考试后,为了分析成绩,从1,2,3班中抽取了3名同学(每班一人),记这三名同学为、、,已知来自2班的同学比成绩低,与来自2班的同学成绩不同,的成绩比来自3班的同学高.由此判断,来自1班的同学为______.
答案:
B
由题意先确定C来自2班,再根据“来自2班的同学比成绩低,的成绩比来自3班的同学高”,即可得解.
解:
由题,不是来自2班,不是来自2班,所以来自2班,
又的成绩比来自2班的同学高,的成绩比来自3班的同学高,
所以不能来自3班,只能来自1班.
故答案为:
B.
点评:
本题考查了简单的逻辑推理的应用,属于基础题.
15.数列中,其前项和为且,则_____.
答案:
9217
首先利用递推关系式求出数列的通项公式,进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和.
解:
解:
数列中,其前项和为且,①当时,解得.当时,且,②,
②①得,整理得(常数),故数列是以为首项为公差的等差数列,
所以,整理得
所以①,②,
①②得,整理得,
所以.
故答案为:
9217
点评:
本题考查的知识要点:
数列的递推关系式的应用,数列的通项公式的求法及应用,乘公比错位相减法的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于中档题.
16.若函数在其定义域上的最小值为0,则最小值为_____.
答案:
由题意,当时,恒成立,不存在最小值.
当时,则存在使得,得到,可得:
.令,利用导数研究其单调性即可得出.
解:
由题意,当时,恒成立,单调递增,∴不存在最小值.
当时,则存在使得,即,使得在上单调递减,在上单调递增,∴,
可得:
.
令,,
当时,取得极小值:
.
故答案为:
.
点评:
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、解答题
17.在中,三个内角,,所对的边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若,三角形的面积,求.
答案:
(1).
(2)
(1)由题意结合正弦定理得,再由余弦定理可得,即可得解;
(2)由
(1)结合三角形面积公式可得,则利用余弦定理可得,计算即可得解.
解:
(1)由得,
由正弦定理得即,
,,
由可得.
(2)由
(1)知,
则,解得,
又,,
解得.
点评:
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,属于中档题.
18.如图所示的多面体的底面为直角梯形,四边形为矩形,且,,,,,,分别为,,的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
答案:
(1)答案见解析.
(2)
(1)先证明平面,可得,取中点,利用等腰三角形的性质可得,由线面垂直的判定即可得证;
(2)建立空间直角坐标系,求出各点坐标后,再求出平面的一个法向量和直线的方向向量,求出两向量夹角的余弦值后利用平方关系即可得解.
解:
(1)证明:
,分别为,的中点,,
四边形为矩形,,
又,,,平面,
平面,平面,,
取中点,连接,,,则,
点,,,同在平面内.
在中,,,为中点,
,
又,,平面,平面.
(2)由
(1)知,,三条直线两两垂直且交于点,以为原点,,,分别为,,轴,建立空间直角坐标系,如图.
则,,,,
,分别为,中点,可得,,
,,,
设平面的一个法向量为,则,即,
令,可得,,,
所以.
所以与平面所成角的余弦值为.
点评:
本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面角,属于中档题.
19.移动支付(支付宝支付,微信支付等)开创了新的支付方式,使电子货币开始普及,为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关,对某地200人进行了问卷调查,得到数据如下:
60岁以上的人群中,习惯使用移动支付的人数为30人;60岁及以下的人群中,不习惯使用移动支付的人数为40人.已知在全部200人中,随机抽取一人,抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.
(1)完成如下的列联表,并判断是否有的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关,并说明理由.
习惯使用移动支付
不习惯使用移动支付
合计(人数)
60岁以上
60岁及以下
合计(人数)
200
(2)在习惯使用移动支付的60岁以上的人群中,每月移动支付的金额如下表:
每月支付金额
300以上
人数
10
20
30
现采用分层抽样的方法从中抽取9人,再从这9人中随机抽取4人,记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为,求的分布列及数学期望.
附:
,其中.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
答案:
(1)列联表见解析,有,理由见解析;
(2)分布列见解析,.
(1)根据题意填写列联表,计算的值,对照临界值得出结论;
(2)由题意知的可能取值,计算对应的概率值,写出分布列,求得数学期望值.
解:
解:
(1)列联表如图:
习惯使用移动支付
不习惯使用移动支付
合计(人数)
60岁以上
30
40
70
60岁及以下
90
40
130
合计(人数)
120
80
200
.
所以有的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关.
(2)由
(1)得,所以在抽取的9人中,月支付金额在的有1人,在的为2人,在的为3人,3000以上的为3人
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- 届百师 联盟 开学 摸底 联考 全国卷 学理 试题 解析