全等三角形问题中常见的辅助线的作法分类精析精.docx
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全等三角形问题中常见的辅助线的作法分类精析精
DCB
A
E
DFC
BA
全等三角形问题中常见的辅助线的作法分类精析
常见辅助线的作法有以下几种:
1遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变
换中的“对折”.
2遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用
的思维模式是全等变换中的“旋转”.
3遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三
角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的
“平移”或“翻转折叠”
5截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某
条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
一、倍长中线(线段造全等
例1、(“希望杯”试题已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
EDC
B
A
应用:
1、(09崇文二模以ABC∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD∆和等腰RtACE∆,90,BADCAE∠=∠=︒连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置关系及数量关系.
(1如图①当ABC∆为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是;
(2将图①中的等腰RtABD∆绕点A沿逆时针方向旋转︒
θ(0<θ<90后,如图②所示,(1问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
二、截长补短
1、如图,ABC∆中,AB=2AC,AD平分BAC∠,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
2、如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD
E
D
C
B
A
C
D
B
A
P
21
D
C
B
A
3、如图,已知在ABC内,0
60BAC∠=,0
40C∠=,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是BAC∠,ABC∠的角平分线。
求证:
BQ+AQ=AB+BP
4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分ABC∠,
求证:
0
180=∠+∠CA
5、如图在△ABC中,AB>AC,∠
1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC应用:
D
C
B
A
P
Q
C
B
A
O
E
D
C
B
A
三、平移变换
例1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为
AP,△EBC周长记为
BP.求证BP>AP.
例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:
AB+AC>AD+AE.
E
DC
BA
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:
OE=OD
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.(1说明BE=CF的理由;(2如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.应用:
E
D
G
F
C
B
A
NMEF
A
CBAFED
CBA
1、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全
等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA
的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(2如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1中的其它条件不变,请问,你
在(1中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
五、旋转
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
例2D为等腰RtABC∆斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1当MDN∠绕点D转动时,求证DE=DF。
(2若AB=2,求四边形DECF的面积。
例3如图,ABC∆是边长为3的等边三角形,BDC∆是等腰三角形,且0
120BDC∠=,以D为顶点做一个060角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则AMN∆的周长为;
应用:
(第23题图
OPA
MNEBCD
FACEFB
D
图①图②图③B
C
D
NM
A
o1、已知四边形ABCD中,AB^AD,BC^CD,AB=BC,∠ABC=120,∠MBN=60o,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF.当∠MBN绕B点旋转到AE¹CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.ABEMBAAEMDBFCFDCCNFDEMNN(图3)(图1)(图2)2、(西城09年一模)已知:
PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.3、在等边DABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为VABC外一点,且
ÐMDN=60°,ÐBDC=120°,BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及DAMN的周长Q与等边DABC的周长L的关系.图1图2图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时Q=L;(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM¹DN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=(用x、L表示).
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