10直角三角形复习.docx

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10直角三角形复习

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号：

年级：

初二课时数：

学员姓名：

辅导科目：

学科教师：

授课类型

T（同步知识主题）

C（专题方法主题）

T（学法与能力主题）

授课日期及时段

教学内容

直角三角形以及勾股定理

定义：

有一个角是直角的三角形是直角三角形

性质：

（1）有一个角为直角

（2）有两个锐角互余

（3）直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，且分得的两个三角形为等腰三角形

（4）在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一般。

勾股定理：

直角三角形两条边的平方和等于斜边的平方。

一般的345；6810；51213；72425及其倍数都是勾股数。

基本题型一：

特殊三角形角度，边长的熟练计算（重点）

1如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=3，BC=5，则DC的长度是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2.如图,在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB，垂足是E，D是AB的中点，如果AB=10，∠B=30°,DE=_______．

3.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是.

直角三角形的判定

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

角平分线的性质定理：

角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。

1、已知：

如图，∠A=∠D=90°，AC，BD交于O，AC=BD，求证：

OB=OC．

2、已知如图，AD⊥BC于D，∠B＝2∠C，求证：

AB＋BD＝DC

3、如图，在△ABC中，∠BAC＝900，AB＝AC，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E。

求证：

（1）∠1＝∠2；

（2）AB＝2CE

重要解题思想：

利用高线，建立面积的等量关系

例：

已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题：

（1）若点P在一边BC上（图1），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系，

（2）若当点P在△ABC内（图2）,此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系

（3）若点P在△ABC外（图3），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并选一种情况说明理由．

基本题型一：

一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.

例：

如图，火柴盒的一个侧面

（是一个长方形）倒下到

的位置，连结

，设

.

（1）试用

有关的代数式表示梯形

的面积;

（2）试用

有关的代数式分别表示△ABC、△

、△

的面积；

（3）由

（1）和

（2）的结论证明勾股定理：

。

提示：

利用图形的面积关系，证明公式。

旋转问题：

确定边或角的等量关系

1.如图所示，在△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=3：

5：

10，又△A′B′C′≌△ABC，则∠BCA′：

∠BCB′等于（）

（A）1：

2（B）1：

3（C）2：

3（D）1：

4

特殊化问题：

如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（）

（A）9（B）35（C）45（D）无法计算特殊点方法

角平分线如图所示，AC、BC分别平分∠BAE，∠ABF，如果△ABC的高CD=8cm，那么点C到AE、BF的距离和等于_______

“知二推一”等腰三角形，平行线，角平分线，

如图所示：

∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，则：

BD，CE，DE之间存在着什么关系？

请证明．

截取如图，在△ABC中，∠BAC＝90o，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，试说明BD＝2CE的理由．

折叠问题，确定等量关系

1.将一条两边沿平行的纸带如图折叠，若∠1＝62º，则∠2等于（）

A.62ºB.56ºC.45ºD.30º

综合2.如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF,②CD=CG=DE,③AD=BD,④BC=BE中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

课后作业：

1、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝28o，AD＝AE，则∠EDC＝．

2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为8cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2

第1题图

3、如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=

，且DE=2，则边BC的长为3．

4、受台风影响，一千年古樟在离地面6米处断裂，大树顶部落在离大树底部8米处，损失惨重，问大树折断之前有多高？

变式：

陈颖同学想知道学校旗杆的高，她发现从旗杆顶上挂下来的绳子垂直到地面还多1米，当她把绳子拉开离旗杆底部5米后，绳子下端刚好接触地面；请你帮她算一算学校旗杆高度．

5、如图，ADBC中，∠A=∠B=90度，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2

（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？

请说明理由。

（2）△CDE是不是等腰直角三角形？

请说明理由.

6、已知：

如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．

（1）求证：

AE=BE；

（2）若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．

7、如图

（1）所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。

求证：

（1）BD=DE＋CE。

（2）若直线AE绕A点旋转到图

（2）位置时（BD＜CE），其他条件不变，判断BD与DE，CE的关系并说明理由。

（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其他条件不变，则BD与DE，CE的关系又怎样？

请写出结果，不必证明。

8、在ΔABC中，AB=AC

（1），如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=__________

（2），如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=__________

（3），思考：

通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？

请用式子表示：

____________________

如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？

如有，请你写出来，并说明理由

（1）

（2）

（3）

9、如图，△ABC中,∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按

的路径运动，且速度为每秒1㎝，设出发的时间为t秒.

（1）出发2秒后,求△ABP的周长。

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按

的路径运动，且速度为每秒2㎝，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动。

当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？